Oppgave: Studie av koordinatmetoden i et grunnleggende skolegeometrikurs. Metodiske anbefalinger om temaet "koordinatmetode" Opplegg for løsning av geometriske problemer ved bruk av koordinatmetoden

Utdanningsdepartementet i den russiske føderasjonen

Kommunal utdanningsinstitusjon "Videregående skole nr. 18"

ABSTRAKT

VED GEOMETRI

TEMA: METODE FOR KOORDINATER I ROMMET

Fullført av elev "C" i 11. klasse

Melnik Roman

Veileder

matematikklærer Baksheeva I.K.

Biysk - 2008

Innhold

Introduksjon……………………………………………………………..… 3.

Kapittel 1.

1. Koordinatmetode: utviklingshistorie…………………………………………4

   Koordinater til et punkt i rommet……………………………….…...5

   Definere figurer i rommet……………………………………….……...8

Kapittel 2.

1. Dekomponering av en vektor til koordinatvektorer. Koordinater

vektor………………………………………………………………………..……..10

1. Lineære operasjoner på vektorer i koordinater…………..………12

   Betingelse for kollinearitet av to vektorer i koordinater…………………..13

   De enkleste problemene i koordinater………………………………………….....14

   Punktprodukt av vektorer og beregning av vinkelen mellom vektorer gjennom deres koordinater……………………………………………………………….…………15

   Beregning av vinkler mellom rette linjer og plan…………………..16

4. Kapittel 3.

4.1. Anvendelse av koordinatmetoden for å løse stereometriske problemer

oppgaver ………………………………………………………..…………….. 19

Konklusjon. …………………………………………………………………..26

Bibliografi……………………………………………………... 27

Introduksjon

Emnet for arbeidet mitt er "Metode for koordinater i rommet." Dette emnet er relevant i dag for enhver videregående skole fordi:

lar mange eksamensgeometriproblemer løses analytisk, noe som krever mindre kunnskap i geometri og reduserer gjennomføringstiden betydelig;

Denne metoden ligger til grunn for analytisk geometri, som studeres i løpet av høyere matematikk.

• Målet med arbeidet: systematisere kunnskap om dette emnet og vurdere bruken av denne metoden for å løse ulike stereometriske problemer.

  For å nå målet ble følgende satt oppgaver:

• studere teoretisk materiale om emnet;

  systematisere og oppsummere det studerte materialet;

  identifisere funksjonene ved bruk av metoden;

  vurdere bruken av koordinatmetoden for å løse stereometriske problemer;

  sammenligne anvendelsen av koordinatmetoden med andre metoder for å løse stereometriske problemer.

Metoder som brukes :

metode for analyse og syntese,

sammenligningsmetode.

Kapittel 1

1. Koordinatmetode: utviklingshistorie.

Koordinatmetoden er en måte å bestemme posisjonen til et punkt eller en kropp ved hjelp av tall eller andre symboler.

Tallene som brukes til å bestemme posisjonen til et punkt kalles punktkoordinater.

Geografiske koordinater som er godt kjent for oss bestemmer posisjonen til et punkt på jordens overflate - hvert punkt på jordens overflate har to koordinater: breddegrad og lengdegrad.

For å bestemme posisjonen til et punkt i rommet, trengs tre tall. For å bestemme posisjonen til en satellitt kan du for eksempel spesifisere høyden over jordens overflate, samt breddegrad og lengdegrad til punktet den befinner seg over.

Ved hjelp av koordinatmetoden kan du presentere nesten hele kurset i skolegeometri uten en eneste tegning, kun ved å bruke tall og algebraiske operasjoner. For eksempel kan en sirkel defineres som et sett med punkter som tilfredsstiller en ligning, og en rett linje kan defineres som et sett med punkter som tilfredsstiller en ligning. Dermed var det ved hjelp av denne metoden mulig å koble sammen de tilsynelatende helt forskjellige vitenskapene om algebra og geometri. Denne forbindelsen var i hovedsak en revolusjon innen matematikk. Det gjenopprettet matematikk som en enhetlig vitenskap.

Skaperen av koordinatmetoden anses å være den franske filosofen og matematikeren Rene Descartes (1596-1650), som i siste del av Descartes’ store filosofiske avhandling, publisert i 1637, beskrev koordinatmetoden og dens anvendelse for å løse geometriske problemer.

Utviklingen av Descartes ideer førte til fremveksten av en spesiell gren av matematikken, som nå kalles analytisk geometri.

Dette navnet i seg selv uttrykker den grunnleggende ideen om teorien. Analytisk geometri er den delen av matematikken som løser geometriske problemer analytisk (dvs. algebraisk) ved hjelp av midler.

Sammen med Descartes er grunnleggeren av analytisk geometri den bemerkelsesverdige franske matematikeren P. Fermat. Ved å bruke koordinatmetoden studerte Fermat rette linjer og andreordens kurver. Studiet av analytisk geometri i tredimensjonalt rom ble betydelig avansert på 1700-tallet av A. Clairaut. Eksplisitt og konsekvent analytisk geometri på planet og i tredimensjonalt rom ble presentert av L. Euler i 1748 i læreboken "Introduction to the Analysis of Infinites".

I XIXårhundre ble det tatt et nytt skritt i utviklingen av geometri - flerdimensjonale rom ble studert. Hovedideen for skaperne av teorien var analogien med Descartes "Geometri". For ham er et punkt på et plan et tallpar, et punkt i tredimensjonalt rom er en trippel av tall; i den nye teorien er et punkt i firdimensjonalt rom en firedobbel av tall. Descartes har ligningen av en sirkel på et plan, ligningen av overflaten til en ball i tredimensjonalt rom; i den nye teorien, overflaten av en kule i firedimensjonalt rom. Tilsvarende in - dimensjonal geometri vurderer plan, rette linjer, avstander mellom punkter, vinkler mellom rette linjer, etc.

Ideene om flerdimensjonal geometri ble solid etablert i matematikken på sluttenXIXårhundre, og helt i begynnelsenXXårhundre har de funnet anvendelse i den spesielle relativitetsteorien, hvor en fjerde er lagt til de tre romlige koordinatene - tid. Dermed ligger ideene til Descartes 'geometri, utviklet av forskere fra påfølgende generasjoner, på grunnlaget for moderne vitenskap.

2. Koordinater til et punkt i rommet .

De sier at et rektangulært (kartesisk) koordinatsystem er gitt hvis tre parvise perpendikulære linjer trekkes gjennom et punkt i rommet, en retning velges på hver av dem, og en måleenhet for segmentene velges. Flyene som går gjennom henholdsvis koordinataksene og , og , og , kalleskoordinere fly og er betegnet med , ,.

Koordinatene til et punkt i rommet er koordinatene til projeksjonene av dette punktet på koordinataksene.

Punktkoordinater: , , , , , , .

I rommet er det i tillegg til koordinatakser praktisk å vurdere koordinatplan, dvs. fly som passerer gjennom to akser. Det er tre slike fly:

Et plan (som går gjennom aksene og ) er et sett med punkter i formen, hvor og er eventuelle tall;

Et plan (som går gjennom aksene og ) er et sett med punkter i formen , hvor og er eventuelle tall;

Et plan (som går gjennom aksene og ) er et sett med punkter i formen , hvor og er alle tall.

For ethvert punkt M i rommet kan du finne tre tall som vil tjene som koordinatene.

For å finne det første tallet trekker vi gjennom punktet M et plan parallelt med koordinatplanet (vinkelrett på aksenx).Skjæringspunktet for dette planet med aksen (punkt M 1 ) har en koordinat på denne aksen. Dette tallet er koordinaten til punktet M 1 på aksen - kaltabscisse poeng M.

For å finne den andre koordinaten, tegn et plan parallelt med planet (vinkelrett på aksen) gjennom punktet My), funnet på aksen y punkt M 2. Antall y– koordinaten til punkt M 2 per akse y- kalt ordinere poeng M.

Vi finner den tredje koordinaten til punktet M ved å utføre lignende konstruksjoner, men vinkelrett på z-aksen. La oss kalle det resulterende nummeret z søknad poeng M.

3. Definere figurer i rommet.

Akkurat som på et plan, gjør koordinater i rommet det mulig å spesifisere ikke bare punkter, men også linjer, overflater og andre sett med punkter ved hjelp av tall og numeriske forhold. La oss for eksempel se hvilket sett med punkter som vil bli oppnådd hvis vi spesifiserer bare to koordinater og anser den tredje som vilkårlig.

(for eksempel ), definer en rett linje i rommet parallelt med aksen.

Alle punkter på en slik linje har samme abscisse og samme ordinat. Koordinaten kan ha hvilken som helst verdi.

La oss se på noen flere eksempler som viser hvordan du kan sette inn

forskjellige sett i rommet ved hjelp av ligninger og andre relasjoner mellom koordinater.

1). Tenk på ligningen.

Siden avstanden til et punkt fra opprinnelsen til koordinatene er gitt av uttrykket, er det klart at, oversatt til geometrisk språk relasjonen betyr at punktet med koordinater , er på avstandR fra opprinnelsen. Dette betyr at settet av alle punkter som relasjonen gjelder for er ballens overflate - en kule med et senter ved origo og radiusR .

2). La oss vurdere hvor punktene er plassert hvis koordinater tilfredsstiller forholdet.

Siden denne relasjonen betyr at avstanden til et punkt fra origo er mindre enn én, er det nødvendige settet settet med punkter som ligger inne i en ball med et senter ved origo og en radius lik én.

Kapittel 2

1. Dekomponering av en vektor til koordinatvektorer. Vektorkoordinater.

Grunnlaget for et mellomrom er en hvilken som helst ordnet trippel av ikke-koplanare vektorer , , , angitt med symbolet .

Et spesialtilfelle er en rektangulær ortonormal basis, hvor er enhetsvektoren til abscisseaksen, gjennom er enhetsvektoren til ordinataksen og gjennom er enhetsvektoren til applikataksen, dvs. , , , .

Dette grunnlaget og opprinnelsen OM definere et rektangulært kartesisk koordinatsystem i rommet.

Teorem 1

Enhver romvektor kan utvides til koordinatvektorer, dvs. tilstede i form -

og ekspansjonskoeffisientene bestemmes på en unik måte.

Tallkalles vektorkoordinater, dvs. . Siden nullvektoren kan representeres i formen, er alle koordinatene til nullvektoren lik null, .

2. Lineære operasjoner på vektorer i koordinater.

Regel 1.

Koordinater av like vektorer er henholdsvis like, de. hvis vektorer Og er like, da , og .

Regel 2.

Hver koordinat av summen av to eller flere vektorer er lik summen av de tilsvarende koordinatene til disse vektorene.

Med andre ord, hvis Og er gitt vektorer, så har vektoren koordinater .

Regel 3.

Hver koordinat av forskjellen mellom to vektorer er lik forskjellen til de tilsvarende koordinatene til disse vektorene.

Med andre ord, hvis Og -gitte vektorer, så har vektoren koordinater

Regel 4.

Hver koordinat av produktet av en vektor og et tall er lik produktet av de tilsvarende koordinatene til vektoren og dette tallet.

Med andre ord, hvis -gitt vektor, -gitt tall, så har vektoren koordinater. .

Eksempel.

Finn koordinatene til vektoren hvis , , .

Løsning.

En vektor har koordinater, og en vektor har koordinater.

Siden , kan dens koordinater beregnes som: , , Så vektoren har koordinater .

3. Sammenheng mellom vektorkoordinater og punktkoordinater.

Definisjon.

En vektor hvis ende sammenfaller med et gitt punkt, og hvis begynnelse sammenfaller med opprinnelsen til koordinatene, kalles radius vektor dette punktet.

Radius vektor

Regel 5.

Koordinatene til ethvert punkt er lik de tilsvarende koordinatene til radiusvektoren. ,.

Regel 6.

Hver vektorkoordinat er lik forskjellen mellom de tilsvarende koordinatene til slutten og begynnelsen.

4. Betingelse for kollinearitet av to vektorer i koordinater.

La to vektorer spesifiseres i koordinatsystemet ved deres koordinater og .

Regel 7.

Vektorer Og er kollineære hvis og bare hvis deres tilsvarende koordinater er proporsjonale, .

Eksempel.

a) Tenk på vektorene og .

Koordinatene til en vektor er proporsjonale med de tilsvarende koordinatene til vektoren: Derfor, og derfor er vektorene kollineære.

b) Tenk på vektorene og .

Koordinatene til en vektor er ikke proporsjonale med de tilsvarende koordinatene til vektoren, for eksempel Dette betyr at vektorene ikke er kollineære.

5. De enkleste problemene i koordinater.

Oppgave 1.

Hver koordinat i midten av et segment er lik halvparten av summen av de tilsvarende koordinatene til endene.

Hvor, og.

,, ,

b) Beregning av lengden til en vektor fra dens koordinater.

Tenk på en vektor ,

vektorlengden beregnes av formelen .

Fordi ==, ==, ==, og , så fra likheten får vi formelen: .

V) Avstanden mellom to punkter.

Tenk på to vilkårlige punkter: punkt og punkt . La oss uttrykke avstandend mellom punkter og gjennom deres koordinater.

Tenk på vektoren hvor .

Men . Dermed,avstand mellom punkter og

beregnet med formelen .

6. Punktprodukt av vektorer og beregning av vinkelen mellom vektorer gjennom deres koordinater.

1) Punktprodukt av vektorer

Skalarproduktet av to vektorer er produktet av deres lengder og cosinus til vinkelen mellom dem.

de.- krydret.

Skalarproduktet av vektorer som ikke er null er negativt hvis og bare hvis vinkelen mellom vektorene er stump,

de.- sløv.

For alle vektorer , , , og et hvilket som helst tallk likhetene er gyldige:

1. 0 og >0 ved 0.

2. (fortrengningsloven).

3. (fordelingsrett).

4. (kombinativ lov).

2) Beregning av vinkelen mellom vektorer ved hjelp av deres koordinater.

Cosinus for vinkelen mellom vektorer som ikke er nullOg beregnet med formelen ,

Hvor

7. Beregning av vinkler mellom rette linjer og plan.

1) Vinkel mellom rette linjer.

For å løse dette problemet introduserer vi konseptet med en retningsvektor av en rett linje.

Definisjon.

En vektor som ikke er null kalles en retningsvektor for en linje a hvis den ligger enten på en linje a eller på en linje parallelt med a.

Eksempel

Vektorer og retningslinjer for rette linjeren Og b , henholdsvis.

Definisjon.

Vinkelen mellom linjer er vinkelen mellom retningsvektorene til disse linjene.

Vinkel mellom rette linjeren Og b er lik vinkelen mellom retningsvektorene til de gitte linjene, og .

2). Vinkel mellom en rett linje og et plan.

Definisjon.

Vinkelen mellom en linje og et plan er vinkelen mellom retningsvektoren til en gitt linje og en vektor som ikke er null vinkelrett på planet (normal).

La , ( , a er ønsket vinkel ().

Deretter

Midler .

Kapittel 3.

Anvendelse av koordinatmetoden for å løse stereometriske problemer.

Problem.1

Ved bunnen av MABC-pyramiden ligger høyre trekant ABC. ,A.C.=3, B.C.=5. Edge AM er vinkelrett på AC, AM=4, . Finn volumet til pyramiden.

Løsning.

1) La oss introdusere et rektangulært koordinatsystem med origo i punkt . La oss rette aksen langs kantenAC, og flyet Åh y langs bunnen av pyramidenABC.

I dette koordinatsystemet: , , . Siden etter tilstand , da ligger punktet M i planetxz og har koordinater .

2) , .

La oss finne høyden på pyramiden. La oss gå fra poengetM vinkelrett M D til flyet (ABC), da, fordi . Følgelig er avstanden mellom punkteneM Og D lik , fordi .

La oss finne koordinatverdienz ved å bruke avstandene mellom punkter som inneholder en gitt koordinat: , . , dvs. .

Vi har:

Siden er høyden på pyramiden lik . Derfor .

Svar: .

Problem.2.

I et rektangulært parallellepiped , , . Finne: vinkelen mellom rette linjer og .

Løsning.

1). Introduser et koordinatsystem med origo i punkt . La oss rette aksene , og langs kantene , og , henholdsvis. Siden vinkelen mellom linjer varierer fra til , og vinkelen mellom vektorer fra til , så er vinkelen mellom linjene og lik vinkelen mellom vektorene og hvis den er spiss, eller ved siden av den hvis vinkelen mellom vektorene er stump .

Dermed,

2).Regn ut vinkelen mellom vektorene og .

La oss finne koordinatene til vektorene ved å bruke koordinatene til punktene og:

, ,, .

Deretter koordinatene til vektorene og .

===

Derfor,

Svar: .

Oppgave 3.

Gitt et rektangulært parallellepiped. Finn vinkelen mellom den rette linjen og planet til grunnflaten.

Løsning.

1) Vinkel mellom en rett linje og et planAB 1 MED- Dette vinkelen mellom en rett linje og dens projeksjon på et plan. Vinkelen mellom normalen til planet og den rette linjen utfyller den til 90 0, derfor.

Dette betyr at for å finne vinkelen mellom den rette linjen og planet (), bør du finne vinkelen mellom den rette linjen og normalen til planet ().

2) La oss introdusere et koordinatsystem med origo i punkt . La oss rette aksene , og langs kantene , og , henholdsvis.

Punktkoordinater:

, , ,

A .

3) Finn koordinatene til normalplanet (). La oss skrive ligningen til planet (), og erstatte koordinatene til punkteneEN , B 1 Og MED V plan ligning .

Vi får et system med lineære ligninger:

Derfor har planligningen () formen , eller , og normalvektoren har koordinater .

Midler

OG .

Svar: .

La oss vurdere å løse problemet på to måter.

Oppgave 4. Metode 1: geometrisk.

På ribben osv. . La oss tegne en rett linje - midtlinjen i trekanten og, dvs. Og,

Det studerte teoretiske materialet ble systematisert.

Ved bruk av metoden for å løse problemer, ble følgende funksjoner ved metoden identifisert:

• evnen til å innføre et koordinatsystem på riktig måte,

  korrekt bestemmelse av punktkoordinater,

  kunnskap om metodens analyseapparat.

• Anvendelsen av metoden ble vurdert som en løsning forskjellige typer oppgaver, og i sammenligning med andre metoder.

Jeg møtte noen vanskeligheter mens jeg utførte arbeidet:

• • når du setter mål og mål;

    utilstrekkelig mengde teoretisk materiale i skoleboka;

    når du identifiserer særegenhetene ved bruk av metoden,

    ved valg av materiale for presentasjon av et sammendrag.

Bibliografi.

L S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, L. S. Kiseleva, E. G. Poznyak. Geometry, 10-11.M., Education, 2003.

V.N.Litvinenko. Workshop om elementær matematikk. Stereometri: Lærebok.-M.: Verbum-M, 2000.

DEM.Gelfand, E.G. Glagoleva, A.A. Kirillov. Koordinatmetode. - M.: Nauka, 1968.

S.G. Grigoriev. Vektoralgebra og analytisk geometri. Lærebok i høyere matematikk.-M.: Informasjons- og implementeringssenter “Markedsføring”, 2000.

I. Ivanova, Z. Ilchenkova. Anvendelse av koordinatvektoren for å løse stereometriske problemer. // Matematikk, 2007, nr. 2.

A.V. Dorofeev. Descartes og hans geometri.//Matematikk, 1992, nr. 4.

Koordinatmetode

I tester Unified State Exam-oppgaver del 1 (B 1 – B 14) og oppgavene C 1, C 2 er standard mht. skolepensum. I tillegg til oppgavene til den praksisorienterte blokken, er det oppgaver for å forstå de grunnleggende fakta og ideer i skolematematikkkurset, samt oppgaver der du trenger å løse ligninger, finne elementene i en romlig figur, utforske en funksjon , etc. For å løse oppgavene C 2 trenger du svært mye kunnskap i geometri, samt evnen til å avbilde romlige figurer på et plan. Jeg vil kun fokusere på én type løsning på problemer C 2. Dette er koordinatmetoden. Noen ganger er det veldig praktisk å finne vinkler mellom plan, mellom rette linjer, mellom en rett linje og et plan, etc. For å løse slike problemer trenger vi ligninger av et plan og en linje.

1. a) Ligning av et plan

Hvor EN (x 1 ; y 1 ; z 1), B (x 2 ; y 2 ; z 2), C (x 3 ; y 3 ; z 3) – punkter på dette flyet.

b) Ligning av en linje

Hvor M (x 1 ; y 1), N (x 2 ; y 2) – punktene på denne linjen.

Når vi kjenner til likningene til flyene, kan vi finne vinkelen mellom dem ved å bruke formelen

Hvis α – vinkel mellom planene

Når vi kjenner likningene til rette linjer, kan vi finne vinkelen mellom dem ved å bruke formelen

Hvis α – vinkelen mellom rette linjer med retningsvektorer) i).

La oss se på noen C 2-oppgaver hvor du kan bruke koordinatmetoden.

Oppgave 1. I et regulært firkantet prisme ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Sidene av basen er lik 3, og sidekantene er lik 5. På kanten DD 1 poeng merket F Så DF : FD 1 = 2:3. Finn vinkelen mellom planene ADC Og A.F.C. 1 .

La oss introdusere et rektangulært koordinatsystem. Topper EN(3; 0; 0); B(0; 0; 0); C(0; 3; 0) tilhører flyet ( ABC).

Vi kan lage en ligning for dette planet.

La oss forenkle og få likningen til planet ( ABC):

Topper EN(3; 0; 0); F(3; 3; 2); C 1 (0; 3; 5) tilhører flyet ( A.F.C. 1). Vi kan lage en ligning for dette planet.

La oss forenkle og få ligningen.

La oss nå finne cosinus til vinkelen mellom disse planene

Ofte er svarene på disse problemene gitt i form av tangenter. Du kan finne tg α i henhold til formelen; Og.

Merk: tredjeordens determinanten kan beregnes ved hjelp av formelen

Denne formelen kan skrives annerledes

Oppgave 2. I et regulært trekantet prisme ABCA 1 B 1 C 1 side av basen er 2, høyden er 3. I en trekant ABC halveringslinje tegnet ER.. Finn cosinus til vinkelen mellom linjene EN 1 M Og B 1 C.

Løsning

La oss introdusere et rektangulært koordinatsystem. Vektorene og er retningsvektorene til linjene A.C. 1 og B 1 C. La oss finne koordinatene til disse vektorene. Først finner vi koordinatene til punktene EN 1 ; M; B 1 ; C.

EN 1 (0; 0; 3); B 1 (; 1; 3); MED(0; 2; 0); M (; ; 0).

Nå finner vi koordinatene til retningsvektoren ved neste regel: for å finne koordinatene til en vektor, må du trekke fra koordinatene til begynnelsen fra sluttkoordinatene . (; ; –3) og også (; 1; –3).

Nå finner vi cosinus til vinkelen mellom linjene EN 1 M Og B 1 C i henhold til formelen

2. Tenk på formelen for å finne vinkelen mellom en rett linje og et plan.

Hvis α – vinkel mellom rett linje og plan

, ( – retningsvektor.

Oppgave 3. I et rektangulært parallellepiped MNPQM 1 N 1 P 1 Q 1 ribbe MN=15, MQ=MM 1 = 8. Finn vinkelen mellom QP 1 og fly QPN 1 .

Løsning

La oss introdusere et rektangulært koordinatsystem. Vektorguide for rett linje QP 1 . La oss finne dens koordinater.

Q (15; 8; 0); P 1 (0; 8; 8); (–15; 0; 8).

La oss nå finne ligningen til planet ( QPN 1).

Q (15; 8; 0); P (0; 8; 0); N (0; 0; 8).

La oss nå finne vinkelen mellom og planet

Oppgave 4. I et regulært sekskantet prisme ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 høyde er 4, AB=4. Finn vinkelen mellom den rette linjen A.C. 1 og fly ACD 1 .

Løsninger

EN(; –2; 0); C 1 (0; 4; 4); (; –6; 4).

La oss lage en ligning av planet ( ACD 1). EN(; –2; 0); C(0; 4; 0); D 1 (; 6; 4).

La oss nå finne vinkelen mellom den rette linjen A.C. 1 og fly ( ACD 1).

International University of Nature, Society and Man "Dubna"

Utkast til program for kurset

Utvikling av leksjoner om emnet:

"Avstand fra et punkt til en linje"

"Avstand mellom parallelle linjer"

Dmitrov, 2013

1. Introduksjon……………………………………………………………………………………………… 3

2. Utkast til program for kurset

"Metode for koordinater og grunnleggende for analytisk geometri på et plan" ………………………………………………………………………………………………………… 4

3. Leksjonsutvikling:

Leksjon-forelesning “Avstand fra et punkt til en linje”………………………….…...8

Leksjon-forelesning "Avstand mellom parallelle linjer"...17

4. Konklusjon………………………………………………………………………………………………..23

5. Referanser………………………………………………………………………………………………23

6. Søknader……………………………………………………………………………………………….24

1. INTRODUKSJON

Utviklingsstrategien til det moderne samfunnet basert på kunnskap og høyeffektive teknologier krever objektivt sett betydelige justeringer av pedagogisk teori og praksis, og en intensivering av søket etter nye utdanningsmodeller.

Studiet av geometri på nivå med grunnleggende generell utdanning er rettet mot å oppnå følgende mål:

- mestre et system av kunnskap og ferdigheter nødvendig for bruk i praktiske aktiviteter, studere relaterte disipliner, videreutdanning;

- intellektuell utvikling, dannelsen av personlighetsegenskaper som er nødvendige for at en person skal leve et fullt liv i det moderne samfunn, karakteristisk for matematisk aktivitet: klarhet og nøyaktighet av tanke, kritisk tenkning, intuisjon, logisk tenkning, elementer av algoritmisk kultur, romlige konsepter, evnen til å overvinne vanskeligheter;

- dannelse av ideer om ideer og metoder for matematikk som et universelt språk for vitenskap og teknologi, et middel til å modellere fenomener og prosesser;

- oppdragelse personlig kultur, holdning til matematikk som en del av universell menneskelig kultur, som spiller en spesiell rolle i sosial utvikling.

I dette prosjektet begynner å studere det grunnleggende om analytisk geometri i klasse 7, som vil tillate elevene å nærme seg løsning av stereometriske problemer ved hjelp av koordinatmetoden på et mer bevisst og kvalitativt nivå.

2. HOVEDDEL

Utkast til program for kurset

"Metode for koordinater og grunnleggende for analytisk geometri på et plan"

for elever på 7.-8. trinn i grunnskolen

,

(International University of Nature, Society and Human "Dubna")

og studenter på PC-kurs ved det internasjonale universitetet "Dubna"

1. Kursidé, mål og målsettinger –

Relevans Dette emnet skyldes det faktum at innholdet og metodene for å undervise i matematikk som brukes i grunnskoler, til dels ikke samsvarer med de moderne behovene til opplæringsspesialister på tekniske områder.

Mål: Å bringe innholdet og metodene for undervisning i matematikk i grunnskolen nærmere de moderne behovene til et teknologisk samfunn.

Oppgaver:

1. Analysere behovene til det moderne teknologiske samfunnet og sammenligne matematikken som brukes til å løse anvendte problemer med innholdet i matematikk i grunnskolen.

2. Oppretting av et programprosjekt for emnet "Koordinere metode og grunnleggende analytisk geometri på et plan"

3. Utvikling av leksjoner om emnet "Avstand fra et punkt til en linje", "Avstand mellom parallelle linjer" R Del "Relativt arrangement av objekter på et plan"

2. Plass på ungdomsskoleprogrammet– 7-9 klassetrinn. Volum – 1 leksjon per uke, parallelt med hovedkurset i tradisjonell geometri, undervist for eksempel fra en lærebok Atanasyan (med medforfattere). Totalt volum er på 70 timer, som er 1/3 av totalvolumet på geometrikurset for 7.-9. Anbefalte datoer for gjennomføring av emnet: begynnelse - andre halvdel av 7. klasse, slutt - 1. halvdel av 9. klasse. Avhengig av de spesifikke betingelsene for å mestre programmet på hver enkelt skole (læreplaner, arbeidsprogrammer, grunnleggende lærebøker, tilgjengeligheten av ekstra timer i læreplanen for geometri), er andre frister for mestring mulig. Hvis det for eksempel er ledige timer, kan utviklingsperioden reduseres ved å øke antall timer per uke

3. Hoveddeler og innhold.

3. UTVIKLING AV LEKSER

Leksjon-forelesning: "Avstand fra et punkt til en linje"

Mål:introdusere begrepene avstand fra et punkt til en linje, vise hvordan de brukes til å løse problemer.

1. Forklaring av nytt materiale

Definisjon.

Avstand fra punkt til linje er lengden på perpendikulæren trukket fra et gitt punkt til en gitt linje

Det skal bemerkes at avstanden fra et punkt til en linje er den minste av avstandene fra dette punktet til punktene på en gitt linje. La oss vise det.

La oss ta det på en rett linje en punkt Q, ikke sammenfallende med poenget M1. Linjestykke M1Q kalt tilbøyelig, hentet fra punktet M1 til en rett linje en. Vi må vise at vinkelrett trukket fra punktet M1 til en rett linje en, mindre enn noen skråning trukket fra punktet M1 til en rett linje en. Det er sant: en trekant M1QH1 rektangulær med hypotenusa M1Q, og lengden på hypotenusen er alltid større enn lengden på noen av bena, derfor,font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.

font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">Hvis det, når du skal finne avstanden fra et punkt til en linje, er mulig å legge inn et rektangulært koordinatsystem, kan du bruke koordinatmetoden. I denne leksjonen vil vi dvele i detalj på to måter å finne avstanden fra et punkt på M1 til en rett linje en, som er spesifisert i et rektangulært kartesisk koordinatsystem Oxy på overflaten. I det første tilfellet, avstanden fra punktet M1 til en rett linje en vi vil søke som avstanden fra punktet M1 til punktet H1, Hvor H1– bunnen av en perpendikulær falt fra et punkt M1 direkte en. I den andre metoden for å finne avstanden fra et punkt M1 til en rett linje en vi vil bruke normalligningen til linjen en.

Så la oss sette oss følgende oppgave: la et rektangulært koordinatsystem festes på planet Oxy vi vil kunne regne ved hjelp av formelen for å finne avstanden fra et punkt M1 til punktet H1 i henhold til deres koordinater:.

Det gjenstår å finne ut hvordan du finner koordinatene til punktet H1.

Vi vet at en rett linje i et rektangulært koordinatsystem Oxy tilsvarer en eller annen ligning av en rett linje på et plan. Vi vil anta at metoden for å spesifisere den rette linjen en i problemformuleringen lar deg skrive den generelle ligningen for linjen en eller ligning av en rett linje med en vinkelkoeffisient. Etter dette kan vi lage en ligning for en linje som går gjennom et gitt punkt M1, vinkelrett på linjen en. La oss betegne denne rette linjen med bokstaven b. Så pek H1 er skjæringspunktet mellom linjene a a Og b, løse et system med lineære ligningerfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana;color:#32322E">eller;

4) beregne nødvendig avstand fra punktet M1 til en rett linje en i henhold til formelen.

For å se presentasjonen med bilder, design og lysbilder, last ned filen og åpne den i PowerPoint på datamaskinen din.
Tekstinnhold i presentasjonslysbilder: Utdanningskompleks av forfatterens fysikk- og matematikkskole-lyceum nr. 61. PROSJEKT "Koordineringsmetode i matematikk og geografi" Fullført av: elever i klasse 7 B og 7 C i straffeloven til AFMSL nr. 61 Evlashkov Daniil Littau Roman Khegai Vladimir Veileder: Gorborukova N.V.g. Bishkek - 2012 Å bestemme plasseringen av et objekt på jordoverflaten eller et hvilket som helst punkt på et fly er å bestemme adressen deres. "Adresse" i geografi er geografisk breddegrad; geografisk lengdegrad; absolutt høyde “Adresse” i matematikk – abscisse, ordinat til et punkt på koordinatplanet Prosjektmål: Å utforske og sammenligne metoder for å bestemme “adressen” til et objekt i geografi og matematikk. Prosjektmål: Svar på følgende spørsmål: Hvem, når og til hvilket formål introduserte begrepet "koordinater" først? Er det en genetisk sammenheng mellom begrepene "geografiske koordinater" og "koordinatmetode" i matematikk? Eller er disse homonyme ordene? Hvilke vitenskaper ble påvirket av koordinatmetoden? Hvilke andre typer koordinatsystemer foruten det rektangulære finnes og brukes i dag av mennesker i praktiske aktiviteter? Historisk referanse.I det 2. – 3. århundre f.Kr. e. Meridianer og paralleller dukket først opp på kartet over Eratosthenes. Imidlertid representerte de ennå ikke et koordinatnett. Kart over Eratosthenes i det 2. århundre. f.Kr e. Hipparchus var den første som delte sirkelen i 360 deler og foreslo å omringe kloden på et kart med meridianer og paralleller. Han introduserte begrepet ekvator, trakk paralleller og trakk meridianer gjennom polene. Dermed ble det laget et kartografisk nettverk og det ble mulig å plotte geografiske objekter på kartet. Kart over Hipparchus Claudius Ptolemaios (190 - 168 f.Kr.) fullførte galaksen til store gamle astronomer og geografer. I sitt arbeid "Guide to Geography" i 8 bøker ga han en beskrivelse av over 8000 geografiske objekter som indikerte deres geografiske koordinater: breddegrad og lengdegrad. 1. Geografi: «geo» - Jord, «grafo» - skrift.2. Geometri: "geo" - jord, "metreo" - for å måle. Som du kan se, var disse to vitenskapene nært beslektet med hverandre, deres fremvekst skyldtes de praktiske aktivitetene til mennesker på den tiden. Hvorfor måles geografisk breddegrad og lengdegrad i grader? Geografisk breddegrad er størrelsen på meridianbuen fra ekvator til et gitt punkt. Fra geometriforløpet er det kjent at buer måles både i lineære størrelser og i vinkelstørrelser: grader og radianer Geografisk lengdegrad er størrelsen på den parallelle buen fra nollmeridianen til et gitt punkt. Man kan se at geografiske koordinater er et matematisk begrep. Fremveksten av algebra som en gren av matematikken. På 900-tallet skrev den usbekiske matematikeren og astronomen Muhammad al-Khorezmi avhandlingen "Kitab al-jabr wal-muqabala", hvor han ga generelle regler for å løse 1. grads ligninger. Ordet "al-jabr" ("gjenoppretting") betydde overføring av negative termer av ligninger fra en del til en annen med en endring i fortegn. Fra ham fikk den nye vitenskapen navnet sitt - algebra. I lang tid utviklet algebra og geometri seg parallelt og representerte to grener av matematikken. I XIV århundre. Den franske matematikeren Nicolas Oresme foreslo å introdusere, analogt med geografiske koordinater, koordinater på et fly. Han foreslo å dekke flyet med et rektangulært rutenett og kalle breddegrad og lengdegrad det vi nå kaller abscisse og ordinat. Dette markerte begynnelsen på etableringen av koordinatmetoden og koblet algebra og geometri. KoordinatmetodeAlgebraEt planpunkt er spesifisert av et tallpar M (x;y) - et algebraisk objekt En rett linje spesifiseres av ligningen y = ax + bGeometri Et planpunkt er et geometrisk objekt René Descartes (1596-1650) - Fransk matematiker, filosof, fysiker og fysiolog. Descartes er en av skaperne av analytisk geometri, moderne algebraisk symbolikk, og metoden for å spesifisere en kurve ved hjelp av en ligning var et avgjørende skritt mot funksjonsbegrepet. I matematikken var det han som var i stor grad ansvarlig for å lage koordinatmetoden, som var grunnlaget for analytisk geometri. 1. Det skal bemerkes at Descartes ennå ikke hadde det vi i dag kaller det kartesiske koordinatsystemet. Descartes begynte med å oversette problemer som involverer konstruksjon med kompass og linjaler til algebraisk språk.2. Descartes' betydelige fortjeneste var introduksjonen av praktiske notasjoner som brukes i dag: x, y, z - for ukjente, a, b, c - for koeffisienter, samt notasjonen av potenser.3. Foreløpig er kartesiske koordinater ortogonale akser med samme skala i alle retninger, så O er origo. La oss sammenligne koordinatsystemer i matematikk og geografi.1. For å bestemme posisjonen til et objekt på jordoverflaten trengs 2 koordinater: lengdegrad og breddegrad.2. For å bestemme posisjonen til et punkt på et plan trengs 2 koordinater: abscisse og ordinat.3. Paralleller og meridianer er gjensidig perpendikulære.4. OX- og OY-aksene er innbyrdes perpendikulære.5. For å bestemme et punkt i rommet, kreves den tredje koordinaten: absolutt høyde (i geografi); søke i matematikk.6. Ekvator og nollmeridian deler jordklodens overflate i 4 deler7. Koordinataksene deler planet i 4 deler og rom i 8 deler. Polare og sfæriske koordinater Det polare koordinatsystemet inkluderer t.O - pol og stråle - polar akse. Hvert punkt på planet tilsvarer et tallpar P(r; φ), vinkelen mellom retningen til objektet og polaraksen og avstanden til objektet I geografi er analogen til polare koordinater asimut. For å bestemme plasseringen av et objekt, må du vite vinkelen mellom retningen mot objektet og retningen mot nord og avstanden til objektet. Et sfærisk koordinatsystem brukes hvis det er nødvendig å bestemme posisjonen til et punkt i rommet Denne metoden brukes i flynavigasjon Ved hjelp av radar bestemmes 3 koordinater: den korteste rette linjeavstanden til flyet; vinkelen som et fly sees over horisonten, vinkelen mellom retningen mot flyet og retningen mot nord KONSEPTKART GeografiKartografiKoordinatsystem1. Rektangulær - geografisk breddegrad - geografisk lengdegrad - absolutt høyde2. Polar - asimut - avstand til objekt - absolutt høyde Matematikk Algebra Geometri Koordinatmetode1. Rektangulær - abscisse - ordinat - applikat2. Polar - rotasjonsvinkel - avstand fra origo til punktet Euler – Venn-diagram (for rektangulære koordinatsystemer) Euler – Venn-diagram (for polare koordinatsystemer). Konklusjoner: 1. Ordene "geometri" og "geografi" er av gammel gresk opprinnelse og er assosiert med de praktiske aktivitetene til mennesker på jordens overflate.2. Geografisk breddegrad og lengdegrad måles i grader, siden de representerer buer av sirkler som undertrykker sentrale vinkler, dvs. de er matematiske størrelser.3. Både matematikk og geografi bruker både rektangulære og polare koordinater.4. I rektangulære koordinatsystemer er aksene (ekvator og nominell meridian, OX og OY akser) innbyrdes perpendikulære og deler planet i 4 deler: nordlige, sørlige, vestlige og østlige halvkuler i geografi og I, II, III, IV kvadranter. 5. Posisjonen til et punkt på et plan er spesifisert med 2 koordinater: breddegrad og lengdegrad i geografi, abscisse og ordinat i matematikk.6. Når du skal bestemme posisjonen til et objekt i rommet, vises en tredje koordinat: absolutt høyde i geografi og applikat i matematikk 7. For å sette polare koordinater trenger du: et referansepunkt, en rotasjonsvinkel, avstanden fra polen til en gitt poeng. Dermed er ikke begrepene "koordinater" i geografi og matematikk homonyme ord. Det er en nær genetisk sammenheng mellom dem. Opprinnelse i Antikkens Hellas for å løse datidens praktiske problemer, ble de forvandlet til et matematisk konsept som koblet algebra og geometri, og skapte en ny gren av matematikken. Takket være koordinatmetoden ble det mulig å løse problemer som ikke var umulige å løse ved hjelp av metodene for algebra og geometri: å beskrive buede linjer og flater i form av formler, å løse algebraiske uttrykk grafisk. Koordinatmetoden brukes i forskjellige felt av menneskelig aktivitet, og hjelper oss med å bestemme "adressene" til objekter av interesse for oss og beskrive banene for deres bevegelse. Litteratur:1. "Geografi. Referansemateriell". Ed. Maksakovsky.-M., "Enlightenment", 1989.2. Prochukhaev V.G. "Målinger i et matematikkkurs på videregående skole." - M., "Prosveshchenie", 19653. Maslov A.V. "Geodesi". - M., Nedra, 19724. Znamensky M.A. "Målearbeid på bakken." - M., "Uchpedgiz", 1986.5. Encyklopedisk ordbok for en ung matematiker. Comp. L.P. Savin, - M., "Pedagogy", 1985.6. https://www.10489.jpg7. https://www.dekart2d.gif8. https.//www.image100.jpg9. https.//www.edumedia-sciences.com10. https.//www.k08-latlon.gif TAKK FOR OPPMERKSOMHETEN!

Beskrivelse av presentasjonen ved individuelle lysbilder:

1 lysbilde

Lysbildebeskrivelse:

Utdanningskompleks av forfatterens fysikk- og matematikkskole-lyceum nr. 61. PROSJEKT "Koordineringsmetode i matematikk og geografi" Fullført av: elever i klasse 7 B og 7 C i straffeloven til AFMSL nr. 61 Evlashkov Daniil Littau Roman Khegai Vladimir Veileder: Gorborukova N.V. Bishkek - 2012

2 lysbilde

Lysbildebeskrivelse:

Å bestemme plasseringen av et objekt på jordoverflaten eller et hvilket som helst punkt på et fly bestemmer adressen deres. "Adresse" i geografi er geografisk breddegrad; geografisk lengdegrad; absolutt høyde. "Adresse" i matematikk er abscissen, ordinaten til et punkt på koordinatplanet

3 lysbilde

Lysbildebeskrivelse:

Prosjektmål: Forske og sammenligne metoder for å bestemme "adressen" til et objekt i geografi og matematikk.

4 lysbilde

Lysbildebeskrivelse:

Prosjektmål: Svar på følgende spørsmål: Hvem, når og til hvilket formål introduserte begrepet "koordinater" først? Er det en genetisk sammenheng mellom begrepene «geografiske koordinater» og «koordinatmetode» i matematikk? Eller er disse ordene homonymer? Utviklingen av hvilke vitenskaper ble påvirket av koordinatmetoden? Hvilke andre typer koordinatsystemer enn rektangulære finnes og brukes i dag av mennesker i praktiske aktiviteter?

5 lysbilde

Lysbildebeskrivelse:

Historisk referanse. I det 2. – 3. århundre f.Kr. e. Meridianer og paralleller dukket først opp på kartet over Eratosthenes. Imidlertid representerte de ennå ikke et koordinatnett.

6 lysbilde

Lysbildebeskrivelse:

7 lysbilde

Lysbildebeskrivelse:

I det andre århundre. f.Kr e. Hipparchus var den første som delte sirkelen i 360 deler og foreslo å omringe kloden på et kart med meridianer og paralleller. Han introduserte begrepet ekvator, trakk paralleller og trakk meridianer gjennom polene. Dermed ble det laget et kartografisk nettverk og det ble mulig å plotte geografiske objekter på kartet.

8 lysbilde

Lysbildebeskrivelse:

Lysbilde 9

Lysbildebeskrivelse:

Galaksen til store eldgamle astronomer og geografer ble fullført av Claudius Ptolemaios (190 - 168 f.Kr.). I sitt arbeid "Guide to Geography" i 8 bøker ga han en beskrivelse av over 8000 geografiske objekter som indikerte deres geografiske koordinater: breddegrad og lengdegrad.

10 lysbilde

Lysbildebeskrivelse:

1. Geografi: "geo" - Jorden, "grafo" - skrift. 2. Geometri: "geo" - jord, "metero" - for å måle. Som du kan se, var disse to vitenskapene nært knyttet til hverandre, deres fremvekst skyldtes de praktiske aktivitetene til mennesker på den tiden.

11 lysbilde

Lysbildebeskrivelse:

Hvorfor måles geografisk breddegrad og lengdegrad i grader? Geografisk breddegrad er størrelsen på meridianbuen fra ekvator til et gitt punkt. Fra geometrikurset er det kjent at buer måles både i lineære størrelser og i vinkelstørrelser: grader og radianer. Geografisk lengdegrad er størrelsen på den parallelle buen fra nollmeridianen til et gitt punkt. Man kan se at geografiske koordinater er et matematisk begrep.

12 lysbilde

Lysbildebeskrivelse:

Fremveksten av algebra som en gren av matematikken. På 900-tallet skrev den usbekiske matematikeren og astronomen Muhammad al-Khorezmi avhandlingen "Kitab al-jabr wal-mukabala", hvor han ga generelle regler for å løse likninger av 1. grad. Ordet "al-jabr" ("gjenoppretting") betydde overføring av negative termer av ligninger fra en del til en annen med en endring i fortegn. Fra ham fikk den nye vitenskapen navnet sitt - algebra. I lang tid utviklet algebra og geometri seg parallelt og representerte to grener av matematikken.

Lysbilde 13

Lysbildebeskrivelse:

I XIV århundre. Den franske matematikeren Nicolas Oresme foreslo å introdusere, analogt med geografiske koordinater, koordinater på et fly. Han foreslo å dekke flyet med et rektangulært rutenett og kalle breddegrad og lengdegrad det vi nå kaller abscisse og ordinat. Dette markerte begynnelsen på etableringen av koordinatmetoden og koblet algebra og geometri.

Lysbilde 14

Lysbildebeskrivelse:

Koordinatmetode Algebra Et punkt på et plan er spesifisert med et tallpar M (x;y) - et algebraisk objekt En rett linje er spesifisert av ligningen y=ax+b Geometri Et punkt på et plan - et geometrisk objekt

15 lysbilde

Lysbildebeskrivelse:

René Descartes (1596-1650) - fransk matematiker, filosof, fysiker og fysiolog. Descartes er en av skaperne av analytisk geometri, moderne algebraisk symbolikk, og metoden for å definere en kurve ved hjelp av en ligning var et avgjørende skritt mot funksjonsbegrepet. I matematikk var det for ham at hovedfortjenesten tilhørte opprettelsen av koordinatmetoden, som var grunnlaget for analytisk geometri.

16 lysbilde

Lysbildebeskrivelse:

1. Det skal bemerkes at Descartes ennå ikke hadde det vi i dag kaller det kartesiske koordinatsystemet. Descartes begynte med å oversette problemer som involverte konstruksjon med kompass og linjal til algebraisk språk. 2. Descartes’ betydelige fortjeneste var introduksjonen av praktiske notasjoner som brukes i dag: x, y, z - for ukjente, a, b, c - for koeffisienter, samt notasjonen av potenser. 3. Foreløpig er kartesiske koordinater ortogonale akser med samme skala i alle retninger, så O er opprinnelsen til koordinatene.

Lysbilde 17

Lysbildebeskrivelse:

La oss sammenligne koordinatsystemer i matematikk og geografi. 1. For å bestemme posisjonen til et objekt på jordoverflaten, trengs 2 koordinater: lengdegrad og breddegrad. 2. For å bestemme posisjonen til et punkt på et plan, trengs 2 koordinater: abscisse og ordinat. 3. Paralleller og meridianer er innbyrdes perpendikulære. 4. OX- og OY-aksene er innbyrdes perpendikulære. 5. For å bestemme et punkt i rommet, kreves den tredje koordinaten: absolutt høyde (i geografi); søke i matematikk. 6. Ekvator og nollmeridian deler jordklodens overflate i 4 deler 7. Koordinataksene deler planet i 4 deler, og rommet i 8 deler.

18 lysbilde

Lysbildebeskrivelse:

Polare og sfæriske koordinater. Det polare koordinatsystemet inkluderer t.O - pol og stråle - polar akse. Hvert punkt på planet tilsvarer et tallpar P(r; φ), vinkelen mellom retningen til objektet og polaraksen og avstanden til objektet I geografi er en analog av polare koordinater asimut. For å bestemme plasseringen av et objekt, må du vite vinkelen mellom retningen mot objektet og retningen mot nord og avstanden til objektet.

Lysbilde 19

Lysbildebeskrivelse:

Det sfæriske koordinatsystemet brukes hvis det er nødvendig å bestemme posisjonen til et punkt i rommet. Denne metoden brukes i flynavigasjon. Ved hjelp av radar bestemmes 3 koordinater: den korteste rette linjeavstanden til flyet; vinkelen der flyet er synlig over horisonten; vinkel mellom planretning og nordretning

20 lysbilde

Lysbildebeskrivelse:

KONSEPTUELL KART Geografi Kartografi Koordinatsystem 1. Rektangulær - geografisk breddegrad - geografisk lengdegrad - absolutt høyde 2. Polar - asimut - avstand til objekt - absolutt høyde Matematikk Algebra Geometri Koordinatmetode 1. Rektangulær - abscisse - ordinat - applikat 2. Polar - vinkel på rotasjon - avstand fra origo til punktet

21 lysbilder