Lengden på høyden trukket til hypotenusen til trekanten. Høyre trekant
Eiendom: 1. I enhver rettvinklet trekant deler høyden tatt fra den rette vinkelen (av hypotenusen) den rette trekanten i tre like trekanter.
Eiendom: 2. Høyden på en rettvinklet trekant, senket til hypotenusen, er lik det geometriske gjennomsnittet av projeksjonene av bena på hypotenusen (eller det geometriske gjennomsnittet av de segmentene som høyden deler hypotenusen inn i).
Eiendom: 3. Benet er lik det geometriske gjennomsnittet av hypotenusen og projeksjonen av dette beinet på hypotenusen.
Eiendom: 4. Et ben motsatt en vinkel på 30 grader er lik halvparten av hypotenusen.
Formel 1.
Formel 2., hvor er hypotenusen; , ben.
Eiendom: 5. I en rettvinklet trekant er medianen trukket til hypotenusen lik halvparten av den og lik radiusen til den omskrevne sirkelen.
Egenskap: 6. Forholdet mellom sidene og vinklene i en rettvinklet trekant:
44. Kosinussetning. Følger: forhold mellom diagonaler og sider av et parallellogram; bestemme typen trekant; formel for å beregne lengden på medianen til en trekant; Beregning av cosinus til en trekantvinkel.
Slutt på arbeidet -
Dette emnet tilhører seksjonen:
Klasse. Kollokvieprogram om grunnleggende planimetri
Egenskap til tilstøtende vinkler.. definisjon av to vinkler som er tilstøtende hvis de har en side til felles og de to andre danner en rett linje.
Hvis du trenger tilleggsmateriale om dette emnet, eller du ikke fant det du lette etter, anbefaler vi å bruke søket i vår database over verk:
Hva skal vi gjøre med det mottatte materialet:
Hvis dette materialet var nyttig for deg, kan du lagre det på siden din på sosiale nettverk:
Faktisk er ikke alt så skummelt i det hele tatt. Selvfølgelig bør den "virkelige" definisjonen av sinus, cosinus, tangens og cotangens ses på i artikkelen. Men jeg vil virkelig ikke, gjør jeg? Vi kan glede oss: for å løse problemer om en rettvinklet trekant, kan du bare fylle ut følgende enkle ting:
Hva med vinkelen? Er det et ben som er motsatt hjørnet, det vil si et motsatt (for en vinkel) ben? Selvfølgelig har! Dette er et bein!
Hva med vinkelen? Se nøye. Hvilket ben er ved siden av hjørnet? Selvfølgelig beinet. Dette betyr at for vinkelen er benet tilstøtende, og
Vær oppmerksom! Se hva vi har:
Se hvor kult det er:
La oss nå gå videre til tangent og cotangens.
Hvordan kan jeg skrive dette ned i ord nå? Hva er beinet i forhold til vinkelen? Motsatt, selvfølgelig - det "ligger" overfor hjørnet. Hva med beinet? I tilknytning til hjørnet. Så hva har vi?
Ser du hvordan telleren og nevneren har byttet plass?
Og nå hjørnene igjen og gjorde en utveksling:
Sammendrag
La oss kort skrive ned alt vi har lært.
 |
Pythagoras teorem: |
Hovedsetningen om rette trekanter er Pythagoras teorem.
Pythagoras teorem
Husker du forresten godt hva ben og hypotenusa er? Hvis ikke veldig bra, så se på bildet - oppdater kunnskapen din
Det er godt mulig at du allerede har brukt Pythagoras teorem mange ganger, men har du noen gang lurt på hvorfor en slik teorem er sann? Hvordan kan jeg bevise det? La oss gjøre som de gamle grekerne. La oss tegne en firkant med en side.
Se hvor smart vi delte sidene inn i lengder og!
La oss nå koble sammen de merkede prikkene
Her noterte vi imidlertid noe annet, men du ser selv på tegningen og tenker hvorfor det er slik.
Hva er arealet av den større firkanten?
Ikke sant, .
Hva med et mindre område?
Gjerne,.
Det totale arealet av de fire hjørnene gjenstår. Tenk deg at vi tok dem to om gangen og lente dem mot hverandre med hypotenusene deres.
Hva skjedde? To rektangler. Dette betyr at arealet av "kuttene" er likt.
La oss sette alt sammen nå.
La oss konvertere:
Så vi besøkte Pythagoras - vi beviste teoremet hans på en eldgammel måte.
Rettvinklet trekant og trigonometri
For en rettvinklet trekant gjelder følgende relasjoner:
Sinusen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom motsatt side og hypotenusen
Cosinus til en spiss vinkel er lik forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.
Tangensen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.
Kotangensen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden.
Og nok en gang alt dette i form av et nettbrett:
Det er veldig behagelig!
Tegn på likhet av rette trekanter
I. På to sider
II. Ved ben og hypotenus
III. Ved hypotenus og spiss vinkel
IV. Langs benet og spiss vinkel
en) 
b) 
Merk følgende! Det er veldig viktig her at bena er "passende". For eksempel, hvis det går slik:
DA ER IKKE TREKANTENE LIKE, til tross for at de har en identisk spiss vinkel.
Trenger å i begge trekantene var benet tilstøtende, eller i begge var det motsatt.
Har du lagt merke til hvordan likhetstegnene til rette trekanter skiller seg fra de vanlige likhetstegnene til trekanter?
Ta en titt på emnet "og vær oppmerksom på det faktum at for likestilling av "vanlige" trekanter, må tre av elementene deres være like: to sider og vinkelen mellom dem, to vinkler og siden mellom dem, eller tre sider.
Men for likestilling av rette trekanter er bare to tilsvarende elementer nok. Flott, ikke sant?
Situasjonen er omtrent den samme med tegn på likhet til rettvinklede trekanter.
Tegn på likhet med rette trekanter
I. Langs en spiss vinkel
II. På to sider
III. Ved ben og hypotenus
Median i en rettvinklet trekant
Hvorfor er det slik?
I stedet for en rettvinklet trekant, tenk på et helt rektangel.
La oss tegne en diagonal og vurdere et punkt - skjæringspunktet mellom diagonalene. Hva vet du om diagonalene til et rektangel?
Og hva følger av dette?
Så det viste seg at
- - median:
Husk dette faktum! Hjelper mye!
Det som er enda mer overraskende er at det motsatte også er sant.
Hva godt kan man få ut av det faktum at medianen trukket til hypotenusen er lik halve hypotenusen? La oss se på bildet
Se nøye. Vi har: , det vil si at avstandene fra punktet til alle tre hjørnene i trekanten viste seg å være like. Men det er bare ett punkt i trekanten, hvor avstandene fra alle tre hjørnene i trekanten er like, og dette er SIRKELENS SENTRUM. Så hva skjedde?
Så la oss starte med dette "foruten ...".
La oss se på og.
Men like trekanter har alle like vinkler!
Det samme kan sies om og
La oss nå tegne det sammen:
Hvilken fordel kan man få ut av denne "trippel" likheten?
Vel, for eksempel - to formler for høyden til en rettvinklet trekant.
La oss skrive ned forholdet til de tilsvarende partene:
For å finne høyden løser vi proporsjonen og får den første formelen "Høyde i en rettvinklet trekant":
Vel, nå, ved å bruke og kombinere denne kunnskapen med andre, vil du løse ethvert problem med en rettvinklet trekant!
Så la oss bruke likheten: .
Hva vil skje nå?
Igjen løser vi proporsjonen og får den andre formelen:
Du må huske begge disse formlene veldig godt og bruke den som er mer praktisk.
La oss skrive dem ned igjen
Pythagoras teorem:
I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene til bena:.
Tegn på likhet i rette trekanter:
- på to sider:
- ved ben og hypotenuse: eller
- langs benet og tilstøtende spiss vinkel: eller
- langs benet og motsatt spiss vinkel: eller
- ved hypotenuse og spiss vinkel: eller.
Tegn på likhet med rette trekanter:
- ett akutt hjørne: eller
- fra proporsjonaliteten til to ben:
- fra proporsjonaliteten til benet og hypotenusen: eller.
Sinus, cosinus, tangens, cotangens i en rettvinklet trekant
- Sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen:
- Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen:
- Tangensen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side:
- Kotangensen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden: .
Høyde på en rettvinklet trekant: eller.
I en rettvinklet trekant er medianen trukket fra toppunktet til den rette vinkelen lik halve hypotenusen: .
Arealet av en rettvinklet trekant:
- via bena:
(ABC) og dens egenskaper, som er presentert i figuren. Høyre trekant har en hypotenuse - siden som ligger motsatt den rette vinkelen.
Tips 1: Hvordan finne høyden på en rettvinklet trekant
Sidene som danner en rett vinkel kalles ben. Bildet viser sidene AD, DC og BD, DC- ben og sider AC Og NE- hypotenusa.
Teorem 1. I en rettvinklet trekant med en vinkel på 30° vil benet motsatt av denne vinkelen bryte halvparten av hypotenusen.
hC
AB- hypotenuse;
AD Og DВ
Triangel
Det er et teorem:
kommentarsystem KAKLEE
Løsning: 1) Diagonalene til ethvert rektangel er like Sanne 2) Hvis en trekant har én spiss vinkel, er denne trekanten spiss. Ikke sant. Typer trekanter. En trekant kalles spiss hvis alle tre vinklene er spisse, det vil si mindre enn 90° 3) Hvis punktet ligger på.
Eller, i en annen oppføring,
I følge Pythagoras teorem
Hva er formelen for høyden til en rettvinklet trekant?
Høyden på en rettvinklet trekant
Høyden på en rettvinklet trekant tegnet til hypotenusen kan finnes på en eller annen måte avhengig av dataene i problemstillingen.
Eller, i en annen oppføring,
Der BK og KC er projeksjonene av bena på hypotenusen (segmentene som høyden deler hypotenusen inn i).
Høyden til hypotenusen kan finnes gjennom området til en rettvinklet trekant. Hvis vi bruker formelen for å finne arealet av en trekant
(halvparten av produktet av en side og høyden trukket til denne siden) til hypotenusen og høyden trukket til hypotenusen, får vi:
Herfra kan vi finne høyden som forholdet mellom to ganger arealet av trekanten og lengden på hypotenusen:
Siden arealet av en rettvinklet trekant er lik halvparten av produktet av bena:
Det vil si at lengden på høyden trukket til hypotenusen er lik forholdet mellom produktet av bena og hypotenusen. Hvis vi betegner benlengdene med a og b, lengden på hypotenusen med c, kan formelen skrives om som
Siden radiusen til omsirkelen til en rettvinklet trekant er lik halvparten av hypotenusen, kan lengden på høyden uttrykkes i form av bena og radiusen til den omskrevne:
Siden høyden trukket til hypotenusen danner ytterligere to rette trekanter, kan lengden bli funnet gjennom relasjonene i den rette trekanten.
Fra rettvinklet trekant ABK
Fra rettvinklet ACK
Lengden på høyden til en rettvinklet trekant kan uttrykkes i form av lengden på beina. Fordi
I følge Pythagoras teorem
Hvis vi kvadrerer begge sider av ligningen:
Du kan få en annen formel for å relatere høyden til en rettvinklet trekant til bena:
Hva er formelen for høyden til en rettvinklet trekant?
Høyre trekant. Gjennomsnittlig nivå.
Vil du teste styrken din og finne ut resultatet av hvor klar du er for Unified State Exam eller Unified State Exam?
Hovedsetningen om rette trekanter er Pythagoras teorem.
Pythagoras teorem
Husker du forresten godt hva ben og hypotenusa er? Hvis ikke veldig bra, så se på bildet - oppdater kunnskapen din
Det er godt mulig at du allerede har brukt Pythagoras teorem mange ganger, men har du noen gang lurt på hvorfor en slik teorem er sann? Hvordan kan jeg bevise det? La oss gjøre som de gamle grekerne. La oss tegne en firkant med en side.
Se hvor smart vi delte sidene inn i lengder og!
La oss nå koble sammen de merkede prikkene
Her noterte vi imidlertid noe annet, men du ser selv på tegningen og tenker hvorfor det er slik.
Hva er arealet av den større firkanten? Ikke sant, . Hva med et mindre område? Gjerne,. Det totale arealet av de fire hjørnene gjenstår. Tenk deg at vi tok dem to om gangen og lente dem mot hverandre med hypotenusene deres. Hva skjedde? To rektangler. Dette betyr at arealet av "kuttene" er likt.
La oss sette alt sammen nå.
Så vi besøkte Pythagoras - vi beviste teoremet hans på en eldgammel måte.
Rettvinklet trekant og trigonometri
For en rettvinklet trekant gjelder følgende relasjoner:
Sinusen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom motsatt side og hypotenusen
Cosinus til en spiss vinkel er lik forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.
Tangensen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.
Kotangensen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden.
Og nok en gang alt dette i form av et nettbrett:
Har du lagt merke til en veldig praktisk ting? Se nøye på skiltet.
Det er veldig behagelig!
Tegn på likhet av rette trekanter
II. Ved ben og hypotenus
III. Ved hypotenus og spiss vinkel
IV. Langs benet og spiss vinkel
Merk følgende! Det er veldig viktig her at bena er "passende". For eksempel, hvis det går slik:
DA ER IKKE TREKANTENE LIKE, til tross for at de har en identisk spiss vinkel.
Trenger å I begge trekanter var benet ved siden av hverandre, eller i begge var det motsatt.
Har du lagt merke til hvordan likhetstegnene til rette trekanter skiller seg fra de vanlige likhetstegnene til trekanter? Ta en titt på emnet "Trekant" og vær oppmerksom på det faktum at for likestilling av "vanlige" trekanter, må tre av elementene deres være like: to sider og vinkelen mellom dem, to vinkler og siden mellom dem, eller tre sider. Men for likestilling av rette trekanter er bare to tilsvarende elementer nok. Flott, ikke sant?
Situasjonen er omtrent den samme med tegn på likhet til rettvinklede trekanter.
Tegn på likhet med rette trekanter
III. Ved ben og hypotenus
Median i en rettvinklet trekant
I stedet for en rettvinklet trekant, tenk på et helt rektangel.
La oss tegne en diagonal og vurdere punktet der diagonalene skjærer hverandre. Hva vet du om diagonalene til et rektangel?
- Skjæringspunktet for diagonalene er delt i to. Diagonalene er like.
Og hva følger av dette?
Så det viste seg at
Husk dette faktum! Hjelper mye!
Det som er enda mer overraskende er at det motsatte også er sant.
Hva godt kan man få ut av det faktum at medianen trukket til hypotenusen er lik halve hypotenusen? La oss se på bildet
Se nøye. Vi har: , det vil si at avstandene fra punktet til alle tre hjørnene i trekanten viste seg å være like. Men det er bare ett punkt i trekanten, hvor avstandene fra alle tre hjørnene i trekanten er like, og dette er SIRKELENS SENTRUM. Så hva skjedde?
La oss starte med dette "i tillegg". "
Men like trekanter har alle like vinkler!
Det samme kan sies om og
La oss nå tegne det sammen:
De har de samme skarpe vinklene!
Hvilken fordel kan man få ut av denne "trippel" likheten?
Vel, for eksempel - To formler for høyden til en rettvinklet trekant.
La oss skrive ned forholdet til de tilsvarende partene:
For å finne høyden løser vi proporsjonen og får Den første formelen "Høyde i en rettvinklet trekant":
Hvordan få en andre?
La oss nå bruke likheten mellom trekanter og.
Så la oss bruke likheten: .
Hva vil skje nå?
Igjen løser vi proporsjonen og får den andre formelen "Høyde i en rettvinklet trekant":
Du må huske begge disse formlene veldig godt og bruke den som er mer praktisk. La oss skrive dem ned igjen
Vel, nå, ved å bruke og kombinere denne kunnskapen med andre, vil du løse ethvert problem med en rettvinklet trekant!
Kommentarer
Distribusjon av materialer uten godkjenning er tillatt dersom det er en dofollow-lenke til kildesiden.
Personvernerklæring
Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.
Innsamling og bruk av personopplysninger
Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.
Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.
Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.
Hvilken personlig informasjon samler vi inn:
- Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.
Hvordan vi bruker dine personopplysninger:
- Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer. Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner. Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
Egenskapen til høyden til en rettvinklet trekant falt til hypotenusen
Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.
Utlevering av informasjon til tredjeparter
Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.
- Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettssaker, og/eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige etater i den russiske føderasjonen - om å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål. I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.
Beskyttelse av personopplysninger
Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.
Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå
For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.
Takk for melding!
Kommentaren din har blitt akseptert og etter moderering vil den bli publisert på denne siden.
Vil du finne ut hva som skjuler seg under kuttet og motta eksklusivt materiale om forberedelse til Unified State Exam og Unified State Exam? Legg igjen e-posten din
Egenskaper til en rettvinklet trekant
Tenk på en rettvinklet trekant (ABC) og dens egenskaper, som er presentert i figuren. En rettvinklet trekant har en hypotenusa - siden som ligger motsatt den rette vinkelen. Sidene som danner en rett vinkel kalles ben. Bildet viser sidene AD, DC og BD, DC- ben og sider AC Og NE- hypotenusa.
Tegn på likhet i en rettvinklet trekant:
Teorem 1. Hvis hypotenusen og benet i en rettvinklet trekant er lik hypotenusen og benet til en annen trekant, så er slike trekanter kongruente.
Teorem 2. Hvis to ben i en rettvinklet trekant er lik to ben i en annen trekant, så er slike trekanter kongruente.
Teorem 3. Hvis hypotenusen og den spisse vinkelen til en rettvinklet trekant er lik hypotenusen og den spisse vinkelen til en annen trekant, så er slike trekanter kongruente.
Teorem 4. Hvis et ben og en tilstøtende (motsatt) spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik et ben og en tilstøtende (motsatt) spiss vinkel i en annen trekant, så er slike trekanter kongruente.
Egenskaper til et ben motsatt en vinkel på 30°:
Teorem 1.
Høyde i en rettvinklet trekant
I en rettvinklet trekant med en vinkel på 30° vil benet motsatt denne vinkelen bryte halvparten av hypotenusen.
Teorem 2. Hvis benet i en rettvinklet trekant er lik halve hypotenusen, så er vinkelen på motsatt side 30°.
Hvis høyden er trukket fra toppunktet av den rette vinkelen til hypotenusen, er en slik trekant delt inn i to mindre, lik den utgående og lik hverandre. Følgende konklusjoner følger av dette:
- Høyden er det geometriske gjennomsnittet (proporsjonalt gjennomsnitt) av de to segmentene av hypotenusen.
- Hvert ben i trekanten er gjennomsnittet proporsjonalt med hypotenusen og tilstøtende segmenter.
I en rettvinklet trekant fungerer bena som høyder. Ortosenteret er punktet der skjæringspunktet mellom høydene til trekanten skjer. Det faller sammen med toppunktet til den rette vinkelen på figuren.
hC- høyden som kommer fra den rette vinkelen på trekanten;
AB- hypotenuse;
AD Og DВ- segmenter som oppstår når hypotenusen divideres med høyden.
Gå tilbake til å se informasjon om faget "Geometri"
Triangel- Dette geometrisk figur, bestående av tre punkter (toppunkter) som ikke er på samme rette linje og tre segmenter som forbinder disse punktene. En rettvinklet trekant er en trekant som har en av vinklene på 90° (en rett vinkel).
Det er et teorem: summen av de spisse vinklene til en rettvinklet trekant er 90°.
kommentarsystem KAKLEE
Nøkkelord: trekant, rett vinkel, ben, hypotenuse, Pythagoras teorem, sirkel
Trekanten kalles rektangulær hvis den har rett vinkel.
En rettvinklet trekant har to innbyrdes vinkelrette sider kalt bena; dens tredje side kalles hypotenusen.
- I henhold til egenskapene til vinkelrett og skrå, er hypotenusen lengre enn hvert av bena (men mindre enn summen).
- Summen av to spisse vinkler i en rettvinklet trekant er lik en rett vinkel.
- To høyder av en rettvinklet trekant faller sammen med bena. Derfor faller ett av de fire bemerkelsesverdige punktene ved toppunktene til trekantens rette vinkel.
- Omkretsen av en rettvinklet trekant ligger i midten av hypotenusen.
- Medianen til en rettvinklet trekant trukket fra toppunktet til den rette vinkelen til hypotenusen er radiusen til sirkelen som er omskrevet rundt denne trekanten.
Betrakt en vilkårlig rettvinklet trekant ABC og tegn høyden CD = hc fra toppunktet C i dens rette vinkel.
Den vil dele den gitte trekanten i to rette trekanter ACD og BCD; hver av disse trekantene har en felles spiss vinkel med trekant ABC og ligner derfor på trekant ABC.
Alle tre trekantene ABC, ACD og BCD ligner hverandre.
 |
Fra likheten mellom trekanter bestemmes følgende relasjoner:
- $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
- c = ac + bc;
- $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
- $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.
Pythagoras teorem en av de grunnleggende teoremene i euklidisk geometri, som etablerer forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant.
Geometrisk formulering. I en rettvinklet trekant er arealet av kvadratet bygget på hypotenusen lik summen av arealene til kvadratene bygget på bena.
Algebraisk formulering. I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene på bena.
Det vil si å angi lengden på hypotenusen til trekanten med c, og lengden på bena med a og b:
a2 + b2 = c2
Omvendt Pythagoras teorem.
Høyden på en rettvinklet trekant
For enhver trippel av positive tall a, b og c slik at
a2 + b2 = c2,
Det er en rettvinklet trekant med bena a og b og hypotenusen c.
Tegn på likhet i rette trekanter:
- langs benet og hypotenusen;
- på to ben;
- langs benet og spiss vinkel;
- langs hypotenusen og spiss vinkel.
Se også:
Arealet av en trekant, likebenet trekant, likesidet trekant
Geometri. 8 Klasse. Test 4. Alternativ 1 .
AD : CD = CD : B.D. Derfor CD2 = AD ∙ B.D. De sier:
AD : AC = AC : AB. Derfor AC2 = AB ∙ A.D. De sier:
BD : BC = BC : AB. Derfor BC2 = AB ∙ B.D.
Løse problemer:
1.
EN) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.
2. Høyden til en rettvinklet trekant trukket til hypotenusen deler hypotenusen i segmentene 9 og 36.
Bestem lengden på denne høyden.
EN) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.
4.
EN) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.
5.
EN) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.
6.
EN) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.
7.
8. Benet til en rettvinklet trekant er 30.
Hvordan finne høyden i en rettvinklet trekant?
Finn avstanden fra toppunktet til den rette vinkelen til hypotenusen hvis radiusen til sirkelen som er omskrevet rundt denne trekanten er 17.
EN) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.
10.
EN) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.
EN) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.
12.
EN) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.
Sjekk svarene!
G8.04.1. Proporsjonale segmenter i en rettvinklet trekant
Geometri. 8 Klasse. Test 4. Alternativ 1 .
I Δ ABC ∠ACV = 90°. AC og BC ben, AB hypotenusa.
CD er høyden til trekanten trukket til hypotenusen.
AD projeksjon av ben AC på hypotenusen,
BD-projeksjon av BC-benet på hypotenusen.
Høyde CD deler trekanten ABC i to trekanter som ligner den (og på hverandre): Δ ADC og Δ CDB.
Fra proporsjonaliteten til sidene til lignende Δ ADC og Δ CDB følger det:
AD : CD = CD : B.D.
Egenskapen til høyden til en rettvinklet trekant falt til hypotenusen.
Derfor CD2 = AD ∙ B.D. De sier: høyden til en rettvinklet trekant trukket til hypotenusen,er den gjennomsnittlige proporsjonale verdien mellom projeksjonene av bena på hypotenusen.
Fra likheten mellom Δ ADC og Δ ACB følger det:
AD : AC = AC : AB. Derfor AC2 = AB ∙ A.D. De sier: hvert ben er den gjennomsnittlige proporsjonale verdien mellom hele hypotenusen og projeksjonen av dette beinet på hypotenusen.
På samme måte følger det fra likheten mellom Δ CDB og Δ ACB:
BD : BC = BC : AB. Derfor BC2 = AB ∙ B.D.
Løse problemer:
1. Finn høyden til en rettvinklet trekant tegnet til hypotenusen hvis den deler hypotenusen i segmenter 25 cm og 81 cm.
EN) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.
2. Høyden til en rettvinklet trekant tegnet til hypotenusen deler hypotenusen i segmentene 9 og 36. Bestem lengden på denne høyden.
EN) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.
4. Høyden til en rettvinklet trekant tegnet til hypotenusen er 22, projeksjonen av det ene bena er 16. Finn projeksjonen av det andre benet.
EN) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.
5. Benet til en rettvinklet trekant er 18, og projeksjonen til hypotenusen er 12. Finn hypotenusen.
EN) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.
6. Hypotenusen er lik 32. Finn siden hvis projeksjon på hypotenusen er lik 2.
EN) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.
7. Hypotenusen til en rettvinklet trekant er 45. Finn siden hvis projeksjon på hypotenusen er 9.
8. Benet til en rettvinklet trekant er 30. Finn avstanden fra toppunktet til den rette vinkelen til hypotenusen hvis radiusen til sirkelen som er omskrevet rundt denne trekanten er 17.
EN) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.
10. Hypotenusen til en rettvinklet trekant er 41, og projeksjonen av ett av bena er 16. Finn lengden på høyden trukket fra toppunktet til den rette vinkelen til hypotenusen.
EN) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.
EN) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.
12. Forskjellen i projeksjonene av bena på hypotenusen er 15, og avstanden fra toppunktet til den rette vinkelen til hypotenusen er 4. Finn radiusen til den omskrevne sirkelen.
EN) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.
Høyre trekant- dette er en trekant der en av vinklene er rett, det vil si lik 90 grader.
- Siden motsatt den rette vinkelen kalles hypotenusen (i figuren angitt som c eller AB)
- Siden ved siden av den rette vinkelen kalles beinet. Hver rettvinklet trekant har to ben (i figuren er de utpekt som en og b eller AC og BC)
Formler og egenskaper til en rettvinklet trekant
Formelbetegnelser:(se bildet over)
a, b- ben i en rettvinklet trekant
c- hypotenusa
α, β - spisse vinkler i en trekant
S- torget
h- høyde senket fra toppunktet i en rett vinkel til hypotenusen
m a en fra motsatt hjørne ( α )
m b- median trukket til siden b fra motsatt hjørne ( β )
m c- median trukket til siden c fra motsatt hjørne ( γ )
I høyre trekant noen av bena er mindre enn hypotenusen(Formel 1 og 2). Denne eiendommen er en konsekvens av Pythagoras teorem.
Cosinus for hvilken som helst av de spisse vinklene mindre enn én (Formel 3 og 4). Denne egenskapen følger av den forrige. Siden noen av bena er mindre enn hypotenusen, er forholdet mellom ben og hypotenus alltid mindre enn én.
Kvadraten på hypotenusen er lik summen av kvadratene til bena (Pythagoreas teorem). (Formel 5). Denne egenskapen brukes stadig når man løser problemer.
Arealet av en rettvinklet trekant lik halvparten av produktet av ben (Formel 6)
Summen av kvadratiske medianer til bena er lik fem kvadrater av medianen til hypotenusen og fem kvadrater av hypotenusen delt på fire (formel 7). I tillegg til ovennevnte er det 5 flere formler Derfor anbefales det at du også leser leksjonen «Median av en rett trekant», som beskriver egenskapene til medianen mer detaljert.
Høyde av en rettvinklet trekant er lik produktet av bena delt på hypotenusen (formel 8)
Firkantene på bena er omvendt proporsjonale med kvadratet av høyden senket til hypotenusen (formel 9). Denne identiteten er også en av konsekvensene av Pythagoras teorem.
Hypotenuslengde lik diameteren (to radier) til den omskrevne sirkelen (formel 10). Hypotenusen til en rettvinklet trekant er diameteren til den omskrevne sirkelen. Denne egenskapen brukes ofte i problemløsning.
Innskrevet radius V høyre trekant sirkel kan finnes som halvparten av uttrykket inkludert summen av bena til denne trekanten minus lengden på hypotenusen. Eller som produktet av ben delt på summen av alle sidene (omkretsen) av en gitt trekant. (Formel 11)
Sinus av vinkel forhold til det motsatte denne vinkelen ben til hypotenusa(per definisjon av sinus). (Formel 12). Denne egenskapen brukes når du løser problemer. Når du kjenner størrelsen på sidene, kan du finne vinkelen de danner.
Cosinus til vinkel A (α, alfa) i en rettvinklet trekant vil være lik holdning ved siden av denne vinkelen ben til hypotenusa(per definisjon av sinus). (Formel 13)
Trekanter.
Enkle konsepter.
Triangel er en figur som består av tre segmenter og tre punkter som ikke ligger på samme rette linje.
Segmentene kalles fester, og poengene er topper.
Summen av vinkler trekanten er 180º.
Høyden på trekanten.
Trekanthøyde- dette er en vinkelrett trukket fra toppunktet til motsatt side.
I en spiss trekant er høyden inne i trekanten (fig. 1).
I en rettvinklet trekant er bena trekantens høyder (fig. 2).
I en stump trekant strekker høyden seg utenfor trekanten (fig. 3).
Egenskaper for høyden til en trekant:
Halvledd av en trekant.
Halvledd av en trekant- dette er et segment som deler hjørnet av toppunktet i to og forbinder toppunktet til et punkt på motsatt side (fig. 5).
Egenskaper til halveringslinjen:
Medianen av en trekant.
Medianen av en trekant- dette er et segment som forbinder toppunktet med midten av motsatt side (fig. 9a).
| Lengden på medianen kan beregnes ved hjelp av formelen: 2b 2 + 2c 2 - en 2 Hvor m a- median trukket til siden EN. I en rettvinklet trekant er medianen trukket til hypotenusen lik halve hypotenusen: c Hvor m c- median trukket til hypotenusen c(fig. 9c) Medianene til trekanten skjærer hverandre i ett punkt (ved trekantens massesenter) og deles med dette punktet i forholdet 2:1, regnet fra toppunktet. Det vil si at segmentet fra toppunktet til sentrum er dobbelt så stort som segmentet fra sentrum til siden av trekanten (fig. 9c). De tre medianene til en trekant deler den inn i seks like trekanter. |
Midtlinjen i trekanten.
Midtlinje i trekanten- dette er et segment som forbinder midtpunktene på de to sidene (fig. 10).
Den midterste linjen i trekanten er parallell med den tredje siden og lik halvparten av den
Ytre vinkel til en trekant.
Utvendig hjørne av en trekant er lik summen av to ikke-tilstøtende indre vinkler (fig. 11).
En ytre vinkel til en trekant er større enn en hvilken som helst ikke-tilstøtende vinkel.
Høyre trekant.
Høyre trekant er en trekant som har en rett vinkel (fig. 12).
Siden av en rettvinklet trekant motsatt den rette vinkelen kalles hypotenusen.
De to andre sidene kalles bena.
Proporsjonale segmenter i en rettvinklet trekant.
1) I en rettvinklet trekant danner høyden trukket fra rett vinkel tre like trekanter: ABC, ACH og HCB (Fig. 14a). Følgelig er vinklene dannet av høyden lik vinklene A og B.
Fig. 14a
Likebent trekant.
Likebent trekant er en trekant hvis to sider er like (fig. 13).
Disse like sidene kalles sider, og den tredje - basis triangel.
I en likebenet trekant er grunnvinklene like. (I vår trekant er vinkel A lik vinkel C).
I en likebenet trekant er medianen trukket til basen både halveringslinjen og høyden til trekanten.
Likesidet trekant.
En likesidet trekant er en trekant der alle sider er like (fig. 14).
Egenskaper til en likesidet trekant:
Bemerkelsesverdige egenskaper ved trekanter.
Trekanter har unike egenskaper som vil hjelpe deg med å løse problemer som involverer disse formene. Noen av disse egenskapene er skissert ovenfor. Men vi gjentar dem igjen, og legger til noen andre fantastiske funksjoner:
| 1) I en rettvinklet trekant med vinkler på 90º, 30º og 60º ben b, som ligger motsatt en vinkel på 30º, er lik halvparten av hypotenusen. Et beinen mer benb√3 ganger (fig. 15 EN). For eksempel, hvis ben b er 5, så hypotenusen c nødvendigvis lik 10, og benet EN tilsvarer 5√3. 2) I en rett likebenet trekant med vinkler på 90º, 45º og 45º, er hypotenusen √2 ganger større enn benet (fig. 15) b). For eksempel, hvis bena er 5, er hypotenusen 5√2. 3) Midtlinjen i trekanten er lik halvparten av den parallelle siden (fig. 15 Med). For eksempel, hvis siden av en trekant er 10, er midtlinjen parallelt med den 5. 4) I en rettvinklet trekant er medianen trukket til hypotenusen lik halve hypotenusen (fig. 9c): m c= s/2. 5) Medianene til en trekant, som skjærer hverandre i ett punkt, er delt med dette punktet i forholdet 2:1. Det vil si at segmentet fra toppunktet til skjæringspunktet for medianene er dobbelt så stort som segmentet fra skjæringspunktet til medianene til siden av trekanten (fig. 9c). 6) I en rettvinklet trekant er midten av hypotenusen sentrum av den omskrevne sirkelen (fig. 15) d). |
Tegn på likhet av trekanter.
Første tegn på likhet: hvis to sider og vinkelen mellom dem i en trekant er lik to sider og vinkelen mellom dem i en annen trekant, så er slike trekanter kongruente.
Andre tegn på likhet: hvis en side og dens tilstøtende vinkler i en trekant er lik siden og dens tilstøtende vinkler i en annen trekant, så er slike trekanter kongruente.
Tredje tegn på likhet: Hvis tre sider av en trekant er lik tre sider av en annen trekant, så er slike trekanter kongruente.
Trekantulikhet.
I enhver trekant er hver side mindre enn summen av de to andre sidene.
Pythagoras teorem.
I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene til bena:
c 2 = en 2 + b 2 .
Arealet av en trekant.
1) Arealet av en trekant er lik halvparten av produktet av siden og høyden trukket til denne siden:
ah
S = ——
2
2) Arealet av en trekant er lik halvparten av produktet av to av sidene og sinusen til vinkelen mellom dem:
1
S = —
AB ·
A.C. ·
synd EN
2
En trekant omskrevet rundt en sirkel.
En sirkel kalles innskrevet i en trekant hvis den berører alle sidene (fig. 16 EN).
En trekant innskrevet i en sirkel.
En trekant sies å være innskrevet i en sirkel hvis den berører den med alle hjørnene (fig. 17) en).
Sinus, cosinus, tangens, cotangens av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant (fig. 18).
Sinus spiss vinkel x motsatte ben til hypotenusa.
Det er betegnet som følger: syndx.
Cosinus spiss vinkel x av en rettvinklet trekant er forholdet ved siden av ben til hypotenusa.
Betegnes som følger: cos x.
Tangent spiss vinkel x- dette er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.
Den er betegnet som følger: tgx.
Cotangens spiss vinkel x- dette er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden.
Det er betegnet som følger: ctgx.
Regler:
Ben motsatt hjørnet x, er lik produktet av hypotenusen og synden x:
b = c synd x
Ben ved siden av hjørnet x, er lik produktet av hypotenusen og cos x:
a = c cos x
Ben motsatt hjørnet x, er lik produktet av det andre benet med tg x:
b = a tg x
Ben ved siden av hjørnet x, er lik produktet av det andre benet ved ctg x:
a = b· ctg x.
For enhver spiss vinkel x:
synd (90° - x) = cos x
cos (90° - x) = synd x
