Presentasjon om emnet aritmetikk og geometrisk progresjon. Presentasjon - aritmetiske og geometriske progresjoner

Lysbilde 22

1. Løsning: b2=3q, b3=3q2, q=-5; -4; -3; -2; -1. 3; -15; 75 3; -12; 48;… 3; -9; 27;… 3; -6; 12;… 3; -3; 3;... Svar:

Lysbilde 23

2. Tre tall danner en aritmetisk progresjon. Legger du til 8 til det første tallet, får du en geometrisk progresjon med summen av leddene 26. Finn disse tallene. Løsning: Svar: -6; 6; 18 eller 10; 6; 2

Lysbilde 24

3. En likning har røtter, og en likning har røtter. Bestem k og m hvis tallene er suksessive ledd av en økende geometrisk progresjon. hint Løsning: - geometrisk progresjon Svar: k=2, m=32

Lysbilde 25

Vietas teorem: summen av røttene til den reduserte kvadratiske ligningen er lik den andre koeffisienten tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet.

Lysbilde 26

litteratur

Se alle lysbildene

Abstrakt

MBOU "Voronezh Cadet School"

skole oppkalt etter A.V. Suvorov"

Semyaninova E. N.

Problemløsning er en praktisk kunst,

ligner på svømming eller på ski, eller

imiterer utvalgte modeller og trener kontinuerlig.

Finn summen av elleve ledd i en aritmetisk progresjon, hvor den første ledd er lik – 5, og den sjette er lik – 3,5.

Svar: 77dm

Svar: 18 tonn

Svar: 4 sekunder

Snegl

meter. (lysbilde 12)

Svar: 30 dager

Svar: 1900

Et annet eksempel.

64 6 -1 6 – (-1) = 7

Det er ikke vanskelig å finne ut:

2-3∙ 27 = 24, 26: 2-1 = 27

V. Kryssnummer. (lysbilde 19-20)

Arbeid i grupper.

Horisontalt:

;

127; -119; …;

Vertikalt:

Gitt en geometrisk progresjon 3; b2; b3;…, hvis nevner er et heltall. Finn denne progresjonen hvis

12q2 + 72q +35 =0

Så q=-5; -4; -3; -2; -1

Svar: -6; 6; 18 eller 10; 6; 2

k Og m

Etter Vietas teorem

Nødvendige tall: 1; 2; 4; 8.

Svar: k= 2, m= 32

VII. Hjemmelekser.

Løse problemer.

Litteratur:

Algebra 9. klasse. Oppgaver for læring og utvikling av elever/komp. Belenkova E.Yu. "Intellekt - Senter". 2005.

Bibliotek til magasinet "Matematikk på skolen". Utgave 23. Matematikk i gåter, kryssord, kjedeord, kryptogrammer. Khudadatova S.S. Moskva. 2003.

Matematikk. Bilag til avisen «Første september». 2000. nr. 46.

Flernivå didaktisk materiale i algebra for 9. klasse / komp. DE. Bondarenko. Voronezh. 2001.

MBOU "Voronezh Cadet School"

skole oppkalt etter A.V. Suvorov"

Semyaninova E. N.

Tema: Aritmetiske og geometriske progresjoner.

1) oppsummere informasjon om progresjoner; forbedre ferdighetene til å finne det n'te leddet og summen av de første n leddene av gitte progresjoner ved hjelp av formler; løse problemer som bruker begge sekvenser;

2) fortsette dannelsen av praktiske ferdigheter;

3) utvikle den kognitive interessen til elevene, lære dem å se sammenhengen mellom matematikk og livet rundt dem.

Problemløsning er en praktisk kunst,

ligner på svømming eller på ski, eller

spiller piano; Du kan bare lære dette

imiterer utvalgte modeller og trener kontinuerlig.

I. Organisatorisk øyeblikk. Forklaring av leksjonens mål. (lysbilde 2)

II. Varme opp. I en verden av interessante ting. (lysbilde 3-6)

Det franske ordet for dessert refererer til søte retter som serveres på slutten av et måltid. Navnene på noen desserter, kaker og iskrem er også av fransk opprinnelse. For eksempel fikk iskrem "plombier" navnet sitt fra den franske byen Plombieres. Der den først ble laget etter en spesiell oppskrift.

Ved å bruke svaret du fant og tabelldataene, finn ut hvordan det franske ordet "marengs" (en lett kake laget av pisket eggehvite og sukker) er oversatt?

Finn summen av elleve ledd i en aritmetisk progresjon, hvor den første ledd er lik – 5, og den sjette er lik – 3,5.

Det franske ordet "marengs" betyr kyss. Det andre av de foreslåtte ordene, "lyn," er en oversettelse av det franske ordet "éclair" (et choux-deig med krem ​​inni).

III. Progresjon i livet og hverdagen. (lysbilde 7)

Progresjonsproblemer er ikke abstrakte formler. De er hentet fra livet vårt selv, knyttet til det og hjelper til med å løse noen praktiske problemer.

De vertikale stengene på fagverket har følgende lengde: den minste er 5 dm, og hver neste er 2 dm lengre. Finn lengden på syv slike stenger. (lysbilde 8)

Svar: 77dm

Under gunstige forhold formerer bakterien seg slik at den deler seg i tre på 1 sekund. Hvor mange bakterier vil være i reagensrøret etter 5 sekunder? (lysbilde 9)

Lastebilen frakter en last med pukk som veier 210 tonn, og øker transporthastigheten med samme antall tonn hver dag. Det er kjent at 2 tonn pukk ble fraktet den første dagen. Bestem hvor mange tonn pukk som ble transportert på den niende dagen hvis alt arbeidet ble fullført på 14 dager. (lysbilde 10)

Svar: 18 tonn

Et legeme faller fra et tårn som er 6 m høyt. I det første sekundet reiser det 2 m, for hvert påfølgende sekund reiser det 3 m mer enn det forrige. Hvor mange sekunder vil det ta kroppen å nå bakken? (lysbilde 11)

Svar: 4 sekunder

En snegl kryper fra et tre til et annet. Hver dag kryper hun like langt lenger enn dagen før. Det er kjent at i løpet av de første og siste dagene krøp sneglen totalt 10 meter. Bestem hvor mange dager sneglen brukte på hele reisen hvis avstanden mellom trærne er 150

meter. (lysbilde 12)

Svar: 30 dager

En lastebil forlater punkt A med en hastighet på 40 km/t. Samtidig dro en andre bil fra punkt B for å møte ham, som tilbakela 20 km den første timen, og hver påfølgende bil tilbakela 5 km mer enn den forrige. Hvor mange timer senere vil de møtes hvis avstanden fra A til B er 125 km? (Lysbilde 13) Svar: 2 timer

Amfiet består av 10 rader, hvor hver neste rad har 20 flere seter enn den forrige, og den siste rad har 280 seter. Hvor mange mennesker har amfiet plass? (lysbilde 14)

Svar: 1900

IV. Litt historie. (lysbilde 15-16)

Problemer med geometriske og aritmetiske progresjoner finnes blant babylonerne, i egyptiske papyrus og i den gamle kinesiske avhandlingen «Matematikk i 9 bøker». Arkimedes var tilsynelatende den første som gjorde oppmerksom på sammenhengen mellom progresjoner. I 1544 ble boken "General Arithmetic" av den tyske matematikeren M. Stiefel utgitt. Stiefel kompilerte følgende tabell (lysbilde 17):

I den øverste linjen er det en aritmetisk progresjon med en forskjell på 1. I den nederste linjen er det en geometrisk progresjon med en nevner på 2. De er ordnet slik at nullpunktet til den aritmetiske progresjonen tilsvarer enheten for den geometriske progresjonen. Dette er et veldig viktig faktum.

Tenk deg nå at vi ikke vet hvordan vi skal multiplisere og dividere. Det er nødvendig å multiplisere for eksempel med 128. I tabellen ovenfor er det skrevet -3, og over 128 er det skrevet 7. La oss legge til disse tallene. Det ble 4. Under 4 leser vi 16. Dette er det nødvendige produktet.

Et annet eksempel.

Del 64 med. Vi gjør det samme:

64 6 -1 6 – (-1) = 7

Bunnlinjen i Stiefel-tabellen kan skrives om som følger:

2-4; 2-3; 2-2; 2-1; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27.

Det er ikke vanskelig å finne ut:

2-3∙ 27 = 24, 26: 2-1 = 27

Vi kan si at hvis eksponentene danner en aritmetisk progresjon, så danner gradene i seg selv en geometrisk progresjon. (lysbilde 18)

V. Kryssnummer. (lysbilde 19-20)

Arbeid i grupper.

Kryssnummer er en av typene numeriske gåter. Oversatt fra engelsk ord"kryssnummer" betyr "kryssnummer". Når du komponerer krysstall, brukes det samme prinsippet som når du komponerer kryssord: ett skilt passer inn i hver celle, "arbeider" horisontalt og vertikalt.

Ett tall passer inn i hver celle i krysstallet (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Og for å unngå forvirring er oppgavenumre angitt med bokstaver. Tallene som skal gjettes er bare positive heltall; registrering av slike tall kan ikke starte fra null (dvs. 42 kan ikke skrives som 042).

Noen krysstallspørsmål kan virke vage og gi rom for flere (og noen ganger veldig mange) svar. Men dette er stilen til krysstall. Hvis de alltid bare ga klare svar, ville det ikke vært en lek.

Horisontalt:

a) antall oddetall i den naturlige serien, fra 13, summen av disse er 3213;

c) summen av de fem første leddene i en geometrisk progresjon, hvor den fjerde ledd er lik 3, og den syvende er lik ;

e) summen av de første seks positive leddene i en aritmetisk progresjon

127; -119; …;

e) det tredje leddet i en geometrisk progresjon (bn), der det første leddet er 5 og nevneren g er 10;

g) summen -13 + (-9) + (-5) + … + 63, hvis leddene er påfølgende ledd i en aritmetisk progresjon.

Vertikalt:

A) summen av alle tosifrede tall som er multipler av ni;

B) doble det tjueførste leddet i en aritmetisk progresjon, der det første leddet er lik -5 og forskjellen er lik 3;

B) det sjette leddet i sekvensen, som er gitt av formelen til det n-te leddet

D) forskjellen på en aritmetisk progresjon, hvis.

VI. Løse ikke-standard problemer. (lysbilde 21)

Gitt en geometrisk progresjon 3; b2; b3;…, hvis nevner er et heltall. Finn denne progresjonen hvis

b2=3q, b3=3q2, så. La oss løse ulikheten.

12q2 + 72q +35 =0

Så q=-5; -4; -3; -2; -1

Søkte sekvenser: 3; -15; 75;...

Tre tall danner en aritmetisk progresjon. Legger du til 8 til det første tallet, får du en geometrisk progresjon med summen av leddene 26. Finn disse tallene. (Lysbilde 23).

B, c er de nødvendige tallene. La oss lage et bord.

Ved betingelse er summen av tre tall som danner en geometrisk progresjon lik 26, dvs. , в=6

Vi bruker egenskapen til vilkårene for en geometrisk progresjon. Vi får ligningen:

Svar: -6; 6; 18 eller 10; 6; 2

En likning har røtter, og en likning har røtter. Definere k Og m, hvis tallene er påfølgende ledd av en økende geometrisk progresjon. (lysbilde 24-25)

Siden tallene danner en geometrisk progresjon, har vi:

Etter Vietas teorem

Vi får, siden sekvensen øker.

Nødvendige tall: 1; 2; 4; 8.

Svar: k= 2, m= 32

VII. Hjemmelekser.

Løse problemer.

Finn en geometrisk progresjon hvis summen av de tre første leddene er 7 og produktet deres er 8.

Del tallet 2912 i 6 deler slik at forholdet mellom hver del og neste er likt

I aritmetisk progresjon er det og. Hvor mange ledd av denne progresjonen må tas slik at summen deres er 104?

Litteratur:

Algebra 9. klasse. Oppgaver for læring og utvikling av elever/komp. Belenkova E.Yu. "Intellekt - Senter". 2005.

Bibliotek til magasinet "Matematikk på skolen". Utgave 23. Matematikk i gåter, kryssord, kjedeord, kryptogrammer. Khudadatova S.S. Moskva. 2003.

Matematikk. Bilag til avisen «Første september». 2000. nr. 46.

Flernivådidaktisk materiale i algebra for klasse 9/komp. DE. Bondarenko. Voronezh. 2001.

Lysbilde 1

Aritmetisk og geometrisk progresjon
Prosjekt av 9b klasse student Dmitry Tesli

Lysbilde 2

Progresjon
- en numerisk sekvens, hvor hvert medlem, fra det andre, er lik den forrige, lagt til det konstante tallet d for denne sekvensen. Tallet d kalles progresjonsforskjellen. - en numerisk sekvens, hvor hvert medlem, fra den andre, er lik den forrige, multiplisert med et konstant tall q for denne sekvensen. Tallet q kalles nevneren for progresjonen.

Lysbilde 3

Progresjon
Aritmetikk Geometrisk
Ethvert medlem av en aritmetisk progresjon beregnes med formelen: an=a1+d(n–1) Summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon beregnes som følger: Sn=0,5(a1+an)n Ethvert medlem av en geometrisk progresjon beregnes med formelen: bn=b1qn- 1 Summen av de første n leddene i den geometriske progresjonen beregnes som følger: Sn=b1(qn-1)/q-1

Lysbilde 4

Aritmetisk progresjon
Kjent interessant historie om den kjente tyske matematikeren K. Gauss (1777 - 1855), som som barn viste fremragende evner for matematikk. Læreren ba elevene legge sammen alle de naturlige tallene fra 1 til 100. Lille Gauss løste dette problemet på ett minutt, og innså at summene er 1+100, 2+99 osv. er like, multipliserte han 101 med 50, dvs. med antall slike beløp. Med andre ord la han merke til et mønster som ligger i aritmetiske progresjoner.

Lysbilde 5

Uendelig avtagende geometrisk progresjon
er en geometrisk progresjon som |q|

Lysbilde 6

Aritmetiske og geometriske progresjoner som begrunnelse for kriger
Den engelske økonomen biskop Malthus brukte geometriske og aritmetiske progresjoner for å rettferdiggjøre kriger: forbruksmidler (mat, klær) vokser i henhold til lovene for aritmetisk progresjon, og mennesker formerer seg etter lovene for geometrisk progresjon. For å bli kvitt overflødig befolkning, er kriger nødvendig.

Lysbilde 7

Praktisk anvendelse av geometrisk progresjon
Sannsynligvis den første situasjonen der folk måtte forholde seg til geometrisk progresjon var å telle størrelsen på en flokk, utført flere ganger med jevne mellomrom. Hvis ingen nødssituasjon oppstår, er antallet nyfødte og døde dyr proporsjonalt med antallet av alle dyr. Dette betyr at hvis antallet sauer en gjeter har økt fra 10 til 20 i løpet av en viss periode, vil det i løpet av neste samme periode dobles igjen og bli lik 40.

Lysbilde 8

Økologi og industri
Vedvekst i skog skjer i henhold til lovene for geometrisk progresjon. Dessuten har hvert treslag sin egen koeffisient for årlig volumvekst. Å ta hensyn til disse endringene gjør det mulig å planlegge hogst av deler av skogen og samtidig arbeid med skogrestaurering.

Lysbilde 9

Biologi
En bakterie deler seg i tre på ett sekund. Hvor mange bakterier vil være i reagensrøret på fem sekunder? Det første medlemmet av progresjonen er én bakterie. Ved å bruke formelen finner vi at i det andre sekundet vil vi ha 3 bakterier, i det tredje - 9, i det fjerde - 27, i det femte - 32. Dermed kan vi beregne antall bakterier i reagensrøret til enhver tid tid.

Lysbilde 10

Økonomi
I livspraksis opptrer geometrisk progresjon først og fremst i problemet med å beregne renters rente. Tidsinnskudd lagt inn sparebank, øker årlig med 5 %. Hva vil bidraget være etter 5 år, hvis det først var lik 1000 rubler? Det neste året etter innskuddet vil vi ha 1050 rubler, i det tredje året - 1102,5, i det fjerde - 1157,625, i det femte - 1215,50625 rubler.