Risoluzione grafica di sistemi di disequazioni lineari. Soluzione grafica di equazioni e disequazioni. Risoluzione grafica di equazioni e disequazioni

Permettere f(x,y) E g(x, y)- due espressioni con variabili X E A e portata X. Quindi disuguaglianze della forma f(x, y) > g(x, y) O f(x, y) < g(x, y) chiamato disuguaglianza con due variabili .

Significato delle variabili x, y da molti X, in cui la disuguaglianza si trasforma in una vera disuguaglianza numerica, si chiama decisione ed è designato (x, y). Risolvere la disuguaglianza - questo significa trovare molte di queste coppie.

Se ogni coppia di numeri (x, y) dall'insieme delle soluzioni alla disuguaglianza, abbina il punto M(x, y), otteniamo l'insieme dei punti sul piano specificati da questa disuguaglianza. Egli è chiamato grafico di questa disuguaglianza . Il grafico di una disuguaglianza è solitamente un'area su un piano.

Rappresentare l'insieme delle soluzioni della disuguaglianza f(x, y) > g(x, y), procedi come segue. Innanzitutto, sostituisci il segno di disuguaglianza con un segno di uguale e trova una linea che contenga l'equazione f(x,y) = g(x,y). Questa linea divide l'aereo in più parti. Successivamente è sufficiente prendere un punto in ciascuna parte e verificare se la disuguaglianza a questo punto è soddisfatta f(x, y) > g(x, y). Se viene eseguito a questo punto, verrà eseguito nell'intera parte in cui si trova questo punto. Combinando tali parti si ottengono numerose soluzioni.

Compito. sì > X.

Soluzione. Per prima cosa sostituiamo il segno di disuguaglianza con un segno di uguale e costruiamo una linea in un sistema di coordinate rettangolare che abbia l'equazione sì = X.

Questa linea divide l'aereo in due parti. Successivamente, prendi un punto in ciascuna parte e controlla se la disuguaglianza è soddisfatta a questo punto sì > X.

Compito. Risolvi graficamente la disuguaglianza
X 2 + A 2£25.

Siano date due disuguaglianze F 1(x, y) > G 1(x, y) E F 2(x, y) > G 2(x, y).

Sistemi di insiemi di disequazioni a due variabili

Sistema di disuguaglianze È te stesso congiunzione di queste disuguaglianze. Soluzione di sistema è ogni significato (x, y), che trasforma ciascuna delle disuguaglianze in una vera disuguaglianza numerica. Molte soluzioni sistemi Le disuguaglianze sono l'intersezione di insiemi di soluzioni alle disuguaglianze che formano un dato sistema.

Insieme di disuguaglianze È te stesso disgiunzione di questi disuguaglianze Dalla soluzione della totalità è ogni significato (x, y), che converte almeno una dell'insieme di disuguaglianze in una vera disuguaglianza numerica. Molte soluzioni totalità è un'unione di insiemi di soluzioni di disuguaglianze che formano un insieme.

Compito. Risolvere graficamente il sistema di diseguaglianze

Soluzione. y = x E X 2 + A 2 = 25. Risolviamo ogni disuguaglianza del sistema.

Il grafico del sistema sarà l'insieme dei punti sul piano che costituiscono l'intersezione (doppio tratteggio) degli insiemi di soluzioni della prima e della seconda diseguaglianza.

Compito. Risolvere graficamente un insieme di disuguaglianze

Esercizi per il lavoro indipendente

1. Risolvi graficamente le disuguaglianze: a) A> 2X; B) A< 2X + 3;

V) X 2+ sì 2 > 9; G) X 2+ sì 2£4.

2. Risolvere graficamente sistemi di disequazioni:

a) b)

La rappresentazione grafica delle funzioni consente circa risolvere disuguaglianze ad una incognita e sistemi di diseguaglianze ad una e due incognite. Risolvere graficamente una disuguaglianza con una incognita, è necessario trasferire tutti i suoi membri in una parte, ad es. portare a:

F(X) > 0 ,

e traccia la funzione y = f(X). Successivamente, utilizzando il grafico costruito, puoi trovare zeri di funzione, che dividerà l'asse X per diversi intervalli. Ora, in base a ciò, determiniamo gli intervalli X, all'interno del quale il segno della funzione corrisponde al segno di disuguaglianza. Ad esempio, gli zeri della nostra funzione: UN E B(Fig. 30). Quindi è ovvio dal grafico che gli intervalli entro i quali F(X) > 0: X < UN E X> B(sono evidenziati con frecce in grassetto). È chiaro che il segno > qui è condizionale; al suo posto può essercene un altro:< , .

Per risolvere graficamente un sistema di disuguaglianze con un'incognita, è necessario trasferire tutti i termini in ciascuna di esse in una parte, ad es. riportiamo le disuguaglianze nella forma:

e tracciare le funzioni y = f(X), sì = G(X) , ... , sì = H(X). Ognuna di queste disuguaglianze viene risolta con il metodo grafico sopra descritto. Dopo questo devi trovare intersezione di soluzioni tutte le disuguaglianze, ad es. la loro parte comune.

ESEMPIO Risolvi graficamente il sistema di disequazioni:

Soluzione Per prima cosa tracciamo le funzioni sì = - 2 / 3 X+2 e

sì = X 2 -1 (Fig. 31):

La soluzione della prima disuguaglianza è l'intervallo X> 3, indicato in Fig. 31 da una freccia nera; la soluzione della seconda disuguaglianza consiste di due intervalli: X < -1 и X> 1, indicato in Fig. 31 dalle frecce grigie.

Il grafico mostra che l'intersezione di queste due soluzioni è l'intervallo X> 3. Questa è la soluzione al sistema di disuguaglianze dato.

Per risolvere graficamente un sistema di due disuguaglianze in due incognite è necessario:

1) in ognuno di essi, sposta tutti i termini in una parte, cioè Portare

disuguaglianze nella forma:

2) costruire grafici di funzioni specificate implicitamente: f(x, y) = 0 e G(x, y) = 0;

3) ciascuno di questi grafici divide il piano delle coordinate in due parti:

in uno di essi la disuguaglianza giusto, in un altro - no;risolvere

graficamente ciascuna di queste disuguaglianze è sufficiente verificare

validità della disuguaglianza in un punto arbitrario all'interno di qualsiasi

parti dell'aereo; se a questo punto si verifica la disuguaglianza, allora

questa parte del piano delle coordinate è la sua soluzione, altrimenti

la soluzione è la parte opposta dell'aereo;

4) la soluzione di un dato sistema di diseguaglianze è l'intersezione

(area generale) parti del piano delle coordinate.

ESEMPIO Risolvi il sistema di diseguaglianze:

Soluzione Innanzitutto, costruiamo grafici di funzioni lineari: 5 X - 7sì= -11 e

2X + 3sì= 10 (figura 32). Per ognuno di essi troviamo un semipiano,

All'interno del quale la corrispondente disuguaglianza data

Giusto. Sappiamo che è sufficiente verificarne l'equità

Disuguaglianze in un punto arbitrario della regione; in questo

Il modo più semplice per farlo è utilizzare l'origine delle coordinate O (0, 0).

Sostituendo invece le sue coordinate nelle nostre disuguaglianze X E sì,

Otteniamo: 5 0 - 7 0 = 0 > -11, quindi il minore

Mezzo piano ( colore giallo) è una soluzione alla prima

Disuguaglianze; 20 + 30 = 0< 10, поэтому второе неравенство

La sua soluzione presenta anche il semipiano inferiore (blu

Colori). L'intersezione di questi semipiani (area colorata turchese)

È la soluzione al nostro sistema di disuguaglianze.

Soluzione grafica di equazioni

Giorno d'oro, 2009

introduzione

La necessità di risolvere equazioni quadratiche nei tempi antichi era causata dalla necessità di risolvere problemi legati alla ricerca delle aree appezzamenti di terreno e con lavori di sterro di carattere militare, nonché con lo sviluppo dell’astronomia e della matematica stessa. I babilonesi furono in grado di risolvere equazioni quadratiche intorno al 2000 a.C. La regola per risolvere queste equazioni, esposta nei testi babilonesi, coincide essenzialmente con quelli moderni, ma non si sa come i babilonesi siano arrivati ​​a questa regola.

Le formule per risolvere le equazioni quadratiche in Europa furono esposte per la prima volta nel Libro dell'Abaco, scritto nel 1202 dal matematico italiano Leonardo Fibonacci. Il suo libro contribuì alla diffusione della conoscenza algebrica non solo in Italia, ma anche in Germania, Francia e altri paesi europei.

Ma regola generale le soluzioni delle equazioni quadratiche per tutte le possibili combinazioni dei coefficienti b e c furono formulate in Europa solo nel 1544 da M. Stiefel.

Nel 1591 François Viet introdotte formule per la risoluzione di equazioni quadratiche.

IN antica Babilonia potrebbe risolvere alcuni tipi di equazioni quadratiche.

Diofanto di Alessandria E Euclide, Al-Khwarizmi E Omar Khayyam equazioni risolte utilizzando metodi geometrici e grafici.

In seconda media abbiamo studiato le funzioni y = C, y =kx, y =kx+ M, y =X 2,y = –X 2, in terza media - y = √X, y =|X|, y =ascia2 + bx+ C, y =K/ X. Nel libro di testo di algebra della terza media, ho visto funzioni che non mi erano ancora note: y =X 3, y =X 4,y =X 2n, y =X- 2n, y = 3√X, (X– UN) 2 + (sì –B) 2 = R 2 e altri. Esistono regole per costruire grafici di queste funzioni. Mi chiedevo se esistessero altre funzioni che obbediscono a queste regole.

Il mio lavoro è studiare grafici di funzioni e risolvere graficamente equazioni.

1. Quali sono le funzioni?

Il grafico di una funzione è l'insieme di tutti i punti del piano delle coordinate, le cui ascisse sono uguali ai valori degli argomenti e le ordinate sono uguali ai valori corrispondenti della funzione.

La funzione lineare è data dall'equazione y =kx+ B, Dove K E B- alcuni numeri. Il grafico di questa funzione è una linea retta.

Funzione proporzionale inversa y =K/ X, dove k ¹ 0. Il grafico di questa funzione è chiamato iperbole.

Funzione (X– UN) 2 + (y –B) 2 = R2 , Dove UN, B E R- alcuni numeri. Il grafico di questa funzione è un cerchio di raggio r con centro nel punto A ( UN, B).

Funzione quadratica sì= ascia2 + bx+ C Dove UN,B, Con– alcuni numeri e UN¹ 0. Il grafico di questa funzione è una parabola.

L'equazione A2 (UN– X) = X2 (UN+ X) . Il grafico di questa equazione sarà una curva chiamata strofoide.

/>Equazione (X2 + sì2 ) 2 = UN(X2 – sì2 ) . Il grafico di questa equazione è chiamato lemniscata di Bernoulli.

L'equazione. Il grafico di questa equazione è chiamato astroide.

Curva (X2 sì2 – 2 assi)2 =4 a2 (X2 + sì2 ) . Questa curva è chiamata cardioide.

Funzioni: y =X 3 – parabola cubica, y =X 4, y = 1/X 2.

2. Il concetto di equazione e la sua soluzione grafica

L'equazione– un'espressione contenente una variabile.

Risolvi l'equazione- questo significa ritrovare tutte le sue radici, oppure dimostrare che esse non esistono.

Radice dell'equazioneè un numero che, se sostituito in un'equazione, produce un'uguaglianza numerica corretta.

Risoluzione grafica di equazioni permette di trovare il valore esatto o approssimativo delle radici, permette di trovare il numero di radici dell'equazione.

Quando si costruiscono grafici e si risolvono equazioni, vengono utilizzate le proprietà di una funzione, motivo per cui il metodo viene spesso chiamato grafico-funzionale.

Per risolvere l'equazione, la “dividiamo” in due parti, introduciamo due funzioni, costruiamo i relativi grafici e troviamo le coordinate dei punti di intersezione dei grafici. Le ascisse di questi punti sono le radici dell'equazione.

3. Algoritmo per tracciare il grafico di una funzione

Conoscere il grafico di una funzione y =F(X) , puoi costruire grafici di funzioni y =F(X+ M) ,y =F(X)+ l E y =F(X+ M)+ l. Tutti questi grafici sono ottenuti dal grafico della funzione y =F(X) utilizzando la trasformazione del riporto parallelo: a │ M│ unità di scala a destra o a sinistra lungo l'asse x e oltre │ l│ unità di scala verso l'alto o verso il basso lungo un asse sì.

4. Soluzione grafica dell'equazione quadratica

Utilizzando una funzione quadratica come esempio, considereremo la soluzione grafica di un'equazione quadratica. Il grafico di una funzione quadratica è una parabola.

Cosa sapevano gli antichi greci della parabola?

Il simbolismo matematico moderno ha avuto origine nel XVI secolo.

Gli antichi matematici greci no metodo delle coordinate, non esisteva il concetto di funzione. Tuttavia, le proprietà della parabola furono studiate in dettaglio da loro. L'ingegnosità degli antichi matematici è semplicemente sorprendente: dopo tutto, potevano usare solo disegni e descrizioni verbali delle dipendenze.

Ha esplorato in modo più approfondito la parabola, l'iperbole e l'ellisse Apollonio di Perga, vissuto nel III secolo a.C. Ha dato nomi a queste curve e ha indicato quali condizioni soddisfano i punti che giacciono su questa o quella curva (dopo tutto, non c'erano formule!).

Esiste un algoritmo per costruire una parabola:

Trovare le coordinate del vertice della parabola A (x0; y0): X=- B/2 UN;

y0=axo2+in0+s;

Trovare l'asse di simmetria della parabola (retta x=x0);

INTERRUZIONE DI PAGINA--

Compiliamo una tabella di valori per la costruzione dei punti di controllo;

Costruiamo i punti risultanti e costruiamo punti che sono simmetrici ad essi rispetto all'asse di simmetria.

1. Utilizzando l'algoritmo, costruiremo una parabola sì= X2 – 2 X– 3 . Ascisse dei punti di intersezione con l'asse X e ci sono radici dell'equazione quadratica X2 – 2 X– 3 = 0.

Esistono cinque modi per risolvere graficamente questa equazione.

2. Dividiamo l'equazione in due funzioni: sì= X2 E sì= 2 X+ 3

3. Dividiamo l'equazione in due funzioni: sì= X2 –3 E sì=2 X. Le radici dell'equazione sono le ascisse dei punti di intersezione della parabola e della retta.

4. Trasforma l'equazione X2 – 2 X– 3 = 0 isolando un quadrato completo in funzioni: sì= (X–1) 2 E sì=4. Le radici dell'equazione sono le ascisse dei punti di intersezione della parabola e della retta.

5. Dividi entrambi i membri dell'equazione termine per termine X2 – 2 X– 3 = 0 SU X, noi abbiamo X– 2 – 3/ X= 0 , dividiamo questa equazione in due funzioni: sì= X– 2, sì= 3/ X. Le radici dell'equazione sono le ascisse dei punti di intersezione della retta e dell'iperbole.

5. Soluzione grafica delle equazioni di gradoN

Esempio 1. Risolvi l'equazione X5 = 3 – 2 X.

sì= X5 , sì= 3 – 2 X.

Risposta: x = 1.

Esempio 2. Risolvi l'equazione 3 √ X= 10 – X.

Le radici di questa equazione sono l'ascissa del punto di intersezione dei grafici di due funzioni: sì= 3 √ X, sì= 10 – X.

Risposta: x = 8.

Conclusione

Osservando i grafici delle funzioni: y =ascia2 + bx+ C, y =K/ X, у = √X, y =|X|, y =X 3, y =X 4,y = 3√X, Ho notato che tutti questi grafici sono costruiti secondo la regola della traslazione parallela rispetto agli assi X E sì.

Utilizzando l'esempio della risoluzione di un'equazione quadratica, possiamo concludere che il metodo grafico è applicabile anche per equazioni di grado n.

I metodi grafici per risolvere le equazioni sono belli e comprensibili, ma non forniscono una garanzia al 100% di risolvere alcuna equazione. Le ascisse dei punti di intersezione dei grafici possono essere approssimative.

In prima media e al liceo continuerò a conoscere altre funzioni. Sono interessato a sapere se tali funzioni obbediscono alle regole del trasferimento parallelo quando costruiscono i loro grafici.

L'anno prossimo vorrei anche considerare la questione della risoluzione grafica dei sistemi di equazioni e disequazioni.

Letteratura

1. Algebra. 7 ° grado. Parte 1. Libro di testo per istituzioni educative / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosine, 2007.

2. Algebra. 8 ° grado. Parte 1. Libro di testo per istituzioni educative / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosine, 2007.

3. Algebra. 9° grado. Parte 1. Libro di testo per istituzioni educative / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosine, 2007.

4. Glazer G.I. Storia della matematica a scuola. Gradi VII-VIII. – M.: Educazione, 1982.

5. Rivista Matematica N. 5 2009; N. 8 2007; N. 23 2008.

6. Soluzione grafica dei siti web di equazioni su Internet: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.

Il grafico di una disuguaglianza lineare o quadratica è costruito allo stesso modo del grafico di qualsiasi funzione (equazione). La differenza è che una disuguaglianza implica soluzioni multiple, quindi il grafico di una disuguaglianza non è solo un punto su una linea numerica o una linea su un piano di coordinate. Usando le operazioni matematiche e il segno di disuguaglianza, puoi determinare molte soluzioni alla disuguaglianza.

Passi

Rappresentazione grafica della disuguaglianza lineare sulla retta numerica

Risolvi la disuguaglianza. Per fare ciò, isola la variabile utilizzando le stesse tecniche algebriche che usi per risolvere qualsiasi equazione. Ricorda che quando moltiplichi o dividi una disuguaglianza per un numero (o termine) negativo, inverti il ​​segno della disuguaglianza.

Disegna una linea numerica. Sulla linea numerica, segna il valore che hai trovato (la variabile può essere minore, maggiore o uguale a questo valore). Disegna una linea numerica della lunghezza appropriata (lunga o corta).

Disegna un cerchio per rappresentare il valore trovato. Se la variabile è inferiore a ( < {\displaystyle <} ) o più ( > (\displaystyle >)) di questo valore, il cerchio non è riempito perché l'insieme delle soluzioni non include questo valore. Se la variabile è minore o uguale a ( ≤ (\displaystyle \leq )) o maggiore o uguale a ( ≥ (\displaystyle \geq )) a questo valore, il cerchio è riempito perché il set di soluzioni include questo valore.

Sulla linea numerica, ombreggia la regione che definisce l'insieme della soluzione. Se la variabile è maggiore del valore trovato, ombreggia l'area alla sua destra, perché l'insieme della soluzione comprende tutti i valori maggiori del valore trovato. Se la variabile è inferiore al valore trovato, ombreggiare l'area alla sua sinistra, perché l'insieme della soluzione comprende tutti i valori inferiori al valore trovato.

Rappresentazione grafica della disuguaglianza lineare sul piano delle coordinate

1. Risolvi la disuguaglianza (trova il valore sì (\displaystyle y) ). Per ottenere un'equazione lineare, isola la variabile sul lato sinistro utilizzando tecniche algebriche familiari. Dovrebbe esserci una variabile sul lato destro x (\displaystyle x) e forse qualche costante.

   Disegna un grafico di un'equazione lineare sul piano delle coordinate. Per fare ciò, converti la disuguaglianza in un'equazione e rappresentala come se rappresentassi qualsiasi equazione lineare. Traccia l'intercetta Y e poi usa la pendenza per tracciare gli altri punti.

   Disegna una linea retta. Se la disuguaglianza è stretta (include il segno < {\displaystyle <} O > (\displaystyle >)), tracciare una linea tratteggiata perché l'insieme della soluzione non include valori sulla linea. Se la disuguaglianza non è stretta (include il segno ≤ (\displaystyle \leq ) O ≥ (\displaystyle \geq )), traccia una linea continua perché l'insieme della soluzione include valori che giacciono sulla linea.

   Ombreggia l'area appropriata. Se la disuguaglianza è della forma y > mx+b (\displaystyle y>mx+b), ombreggia l'area sopra la linea. Se la disuguaglianza è della forma sì< m x + b {\displaystyle y, ombreggia l'area sotto la linea.

Rappresentazione grafica della disuguaglianza quadratica sul piano delle coordinate

Determina che questa disuguaglianza è quadratica. La disuguaglianza quadratica ha la forma a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). A volte la disuguaglianza non contiene una variabile del primo ordine ( x (\displaystyle x)) e/o un termine libero (costante), ma include necessariamente una variabile del secondo ordine ( x2 (\displaystyle x^(2))). Variabili x (\displaystyle x) E y (\displaystyle y) devono essere isolati sui diversi lati della disuguaglianza.

AGENZIA FEDERALE PER L'ISTRUZIONE

ISTITUTO PER LO SVILUPPO EDUCATIVO

“Metodi grafici per risolvere equazioni e disequazioni con parametri”

Completato

insegnante di matematica

Scuola secondaria dell'istituto scolastico municipale n. 62

Lipeck 2008

INTRODUZIONE................................................. ...................................................... ............. .3

X;A) 4

1.1. Trasferimento parallelo.................................... ....................................5

1.2. Giro................................................. .................................................... ......9

1.3. Omotetismo. Compressione in linea retta............................................ ..... ................ 13

1.4. Due rette su un piano............................................ ...................................... 15

2. TECNICHE GRAFICHE. PIANO DELLE COORDINATE ( X;UN) 17

CONCLUSIONE................................................. ....................................20

ELENCO BIBLIOGRAFICO............................................ .................... ........22

INTRODUZIONE

I problemi che gli scolari incontrano quando risolvono equazioni e disuguaglianze non standard sono causati sia dalla relativa complessità di questi problemi sia dal fatto che la scuola, di regola, si concentra sulla risoluzione di problemi standard.

Molti scolari percepiscono il parametro come un numero “normale”. In alcuni problemi, infatti, un parametro può essere considerato un valore costante, ma questo valore costante assume valori sconosciuti! Pertanto è necessario considerare il problema per tutti i possibili valori di questa costante. In altri problemi può essere conveniente dichiarare artificialmente una delle incognite come parametro.

Altri scolari trattano un parametro come una quantità sconosciuta e, senza imbarazzo, possono esprimere il parametro in termini di variabile nella loro risposta X.

Negli esami finali e di ammissione ci sono principalmente due tipi di problemi con i parametri. Puoi immediatamente distinguerli dalla loro formulazione. Primo: “Per ciascun valore di parametro, trova tutte le soluzioni di qualche equazione o disuguaglianza”. Secondo: "Trova tutti i valori del parametro, per ciascuno dei quali sono soddisfatte determinate condizioni per una data equazione o disuguaglianza." Di conseguenza, le risposte ai problemi di questi due tipi differiscono essenzialmente. La risposta ad un problema del primo tipo elenca tutti i possibili valori del parametro e per ognuno di questi valori vengono scritte le soluzioni dell'equazione. La risposta a un problema del secondo tipo indica tutti i valori dei parametri in base ai quali sono soddisfatte le condizioni specificate nel problema.

La soluzione di un'equazione con un parametro per un dato valore fisso del parametro è un tale valore dell'incognito, quando lo si sostituisce nell'equazione, quest'ultima si trasforma in un'uguaglianza numerica corretta. La soluzione di una disuguaglianza con un parametro viene determinata in modo simile. Risolvere un'equazione (disuguaglianza) con un parametro significa, per ogni valore ammissibile del parametro, trovare l'insieme di tutte le soluzioni di una data equazione (disuguaglianza).

1. TECNICHE GRAFICHE. PIANO DELLE COORDINATE ( X;A)

Insieme alle tecniche analitiche di base e ai metodi per risolvere i problemi con i parametri, esistono modi per utilizzare interpretazioni visive e grafiche.

A seconda del ruolo assegnato al parametro nel problema (diverso o uguale alla variabile), si possono distinguere di conseguenza due principali tecniche grafiche: la prima è la costruzione di un'immagine grafica sul piano delle coordinate (X;sì), il secondo - su (X; UN).

Sul piano (x;y) la funzione y =F (X; UN) definisce una famiglia di curve in funzione del parametro UN.È chiaro che ogni famiglia F ha determinate proprietà. Saremo interessati principalmente a quale tipo di trasformazione del piano (traslazione parallela, rotazione, ecc.) può essere utilizzata per passare da una curva all'altra della famiglia. A ciascuna di queste trasformazioni sarà dedicato un paragrafo a parte. Ci sembra che una tale classificazione renda più facile per il decisore trovare l'immagine grafica necessaria. Si noti che con questo approccio, la parte ideologica della soluzione non dipende da quale figura (retta, cerchio, parabola, ecc.) sarà membro della famiglia delle curve.

Naturalmente, l'immagine grafica della famiglia non è sempre y =F (X;UN) descritto da una semplice trasformazione. Pertanto, in tali situazioni, è utile concentrarsi non su come sono correlate le curve della stessa famiglia, ma sulle curve stesse. In altre parole, possiamo distinguere un altro tipo di problema in cui l'idea di soluzione si basa principalmente sulle proprietà di specifiche figure geometriche e non sulla famiglia nel suo insieme. Quali figure (più precisamente, famiglie di queste figure) ci interesseranno innanzitutto? Queste sono linee rette e parabole. Questa scelta è dovuta alla posizione speciale (di base) delle funzioni lineari e quadratiche nella matematica scolastica.

Parlando di metodi grafici, è impossibile evitare un problema “nato” dalla pratica dei concorsi. Ci riferiamo alla questione del rigore, e quindi della legalità, di una decisione basata su considerazioni grafiche. Indubbiamente, dal punto di vista formale, il risultato tratto dal “quadro”, non supportato analiticamente, non è stato ottenuto in modo rigoroso. Tuttavia, chi, quando e dove determina il livello di rigore a cui uno studente delle scuole superiori dovrebbe attenersi? A nostro avviso, i requisiti per il livello di rigore matematico di uno studente dovrebbero essere determinati dal buon senso. Comprendiamo il grado di soggettività di un simile punto di vista. Inoltre, il metodo grafico è solo uno dei mezzi di chiarezza. E la visibilità può essere ingannevole..gif" width="232" Height="28"> ha una sola soluzione.

Soluzione. Per comodità indichiamo lg b = a. Scriviamo un'equazione equivalente a quella originale: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" Height="92">

Costruire il grafico di una funzione con il dominio di definizione e (Fig. 1). Il grafico risultante è una famiglia di linee rette y = a devono intersecarsi in un solo punto. La figura mostra che questo requisito è soddisfatto solo quando un > 2, cioè lg b> 2, b> 100.

Risposta. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" larghezza="15 altezza=16" altezza="16"> determina il numero di soluzioni dell'equazione .

Soluzione. Tracciamo la funzione 102" Height="37" style="vertical-align:top">

Consideriamo. Questa è una linea retta parallela all'asse OX.

Risposta..gif" larghezza="41" altezza="20">, quindi 3 soluzioni;

se , allora 2 soluzioni;

se , 4 soluzioni.

Passiamo ad una nuova serie di compiti..gif" width="107" Height="27 src=">.

Soluzione. Costruiamo una linea retta A= X+1 (Fig. 3)..gif" larghezza="92" altezza="57">

avere una soluzione, che è equivalente per l'equazione ( X+1)2 = x+ UN have one root..gif" width="44 Height=47" Height="47"> la disuguaglianza originale non ha soluzioni. Nota che qualcuno che ha familiarità con la derivata può ottenere questo risultato in modo diverso.

Successivamente, spostando la “semi-parabola” a sinistra, fisseremo l'ultimo momento in cui i grafici A = X+ 1 e hanno due punti in comune (posizione III). Questa disposizione è garantita dal requisito UN= 1.

È chiaro che per il segmento [ X 1; X 2], dove X 1 e X 2 – le ascisse dei punti di intersezione dei grafici, saranno la soluzione della disuguaglianza originaria..gif" larghezza="68 altezza=47" altezza="47">, quindi

Quando una "semiparabola" e una retta si intersecano in un solo punto (questo corrisponde al caso un > 1), allora la soluzione sarà il segmento [- UN; X 2"], dove X 2" – la più grande delle radici X 1 e X 2 (posizione IV).

Esempio 4..gif" larghezza="85" altezza="29 src=">.gif" larghezza="75" altezza="20 src="> . Da qui otteniamo .

Diamo un'occhiata alle funzioni e . Tra queste, solo una definisce una famiglia di curve. Ora vediamo che la sostituzione ha portato indubbi benefici. Parallelamente, notiamo che nel problema precedente, utilizzando una sostituzione simile, è possibile eseguire non una mossa “semi-parabola”, ma una linea retta. Passiamo alla Fig. 4. Ovviamente, se l’ascissa del vertice della “semiparabola” è maggiore di uno, cioè –3 UN > 1, , quindi l'equazione non ha radici..gif" larghezza="89" altezza="29"> e ha una diversa monotonicità.

Risposta. Se allora l'equazione ha una radice; se https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" larghezza="141" altezza="81 src=">

ha soluzioni.

Soluzione.È chiaro che le famiglie dirette https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" Height="52">..jpg" width="259" Height="155 ">

Senso k1 lo troveremo sostituendo la coppia (0;0) nella prima equazione del sistema. Da qui K1 =-1/4. Senso K 2 che otteniamo esigendo dal sistema

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" larghezza="151" altezza="47"> quando K> 0 hanno una radice. Da qui k2= 1/4.

Risposta. .

Facciamo un'osservazione. In alcuni esempi di questo punto dovremo risolvere un problema standard: per una famiglia di linee, trovare il suo coefficiente angolare corrispondente al momento di tangenza con la curva. Ti mostreremo come farlo vista generale utilizzando la derivata.

Se (x0; sì 0) = centro di rotazione, quindi le coordinate (X 1; A 1) punti di tangenza con la curva y =f(x) può essere trovato risolvendo il sistema

La pendenza richiesta K uguale a .

Esempio 6. Per quali valori del parametro l'equazione ha una soluzione unica?

Soluzione..gif" larghezza="160" altezza="29 src=">..gif" larghezza="237" altezza="33">, arco AB.

Tutti i raggi che passano tra OA e OB intersecano l'arco AB in un punto, e intersecano anche l'arco AB OB e OM (tangente) in un punto..gif" larghezza="16" altezza="48 src=">. L'angolo il coefficiente della tangente è uguale a .Facilmente rilevabile dal sistema

Quindi, famiglie dirette https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" Height="52">.

Risposta. .

Esempio 7..gif" width="160" Height="25 src="> ha una soluzione?

Soluzione..gif" width="61" Height="24 src="> e diminuisce di . Il punto è il punto massimo.

Una funzione è una famiglia di rette passanti per il punto https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" Height="28"> è l'arco AB. La retta le linee che si troveranno tra le rette OA e OB, soddisfano le condizioni del problema..gif" larghezza="17" altezza="47 src=">.

Risposta..gif" larghezza="15" altezza="20">nessuna soluzione.

1.3. Omotetismo. Compressione su una linea retta.

Esempio 8. Quante soluzioni ha il sistema?

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" Height="20 src="> il sistema non ha soluzioni. Per un fisso un > 0 il grafico della prima equazione è un quadrato di vertici ( UN; 0), (0;-UN), (-UN;0), (0;UN). Pertanto, i membri della famiglia sono quadrati omotetici (il centro di omoteti è il punto O(0; 0)).

Passiamo alla Fig. 8..gif" width="80" Height="25"> ogni lato del quadrato ha due punti in comune con il cerchio, il che significa che il sistema avrà otto soluzioni. Quando il cerchio risulta inscritto nel quadrato, cioè ci saranno ancora quattro soluzioni. Ovviamente il sistema non ha soluzioni.

Risposta. Se UN< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, allora ci sono quattro soluzioni; se , allora ci sono otto soluzioni.

Esempio 9. Trova tutti i valori del parametro, per ciascuno dei quali l'equazione è https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" Height="29 src=">. Considera la funzione ..jpg" larghezza="195" altezza="162">

Il numero di radici corrisponderà al numero 8 quando il raggio del semicerchio è maggiore e minore di , cioè. Tieni presente che esiste.

Risposta. O .

1.4. Due rette su un piano

Essenzialmente, l'idea di risolvere i problemi di questo paragrafo si basa sulla questione dello studio della posizione relativa di due rette: E . È facile mostrare la soluzione di questo problema in forma generale. Passeremo direttamente a esempi tipici specifici che, a nostro avviso, non danneggeranno il lato generale della questione.

Esempio 10. Per cosa a e b fa il sistema

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" larghezza="160" altezza="25 src=">..gif" larghezza="67" altezza="24 src="> , t..gif" larghezza="116" altezza="55">

La disuguaglianza del sistema definisce un semipiano con bordo A= 2x– 1 (figura 10). È facile rendersi conto che il sistema risultante ha soluzione se la retta ah+per = 5 interseca il confine di un semipiano oppure, essendo ad esso parallelo, giace nel semipiano A– 2x+ 1 < 0.

Cominciamo dal caso b = 0. Allora sembrerebbe che l'equazione OH+ da = 5 definisce una linea verticale che ovviamente interseca la linea y = 2X - 1. Tuttavia, questa affermazione è vera solo quando ..gif" larghezza="43" altezza="20 src="> il sistema ha soluzioni ..gif" larghezza="99" altezza="48">. In questo caso la condizione per l'intersezione delle linee è soddisfatta in , cioè ..gif" width="52" Height="48">.gif" width="41" Height="20"> e , o e , oppure e https ://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" Height="24 src=">.

− Nel piano delle coordinate xOa costruiamo un grafico della funzione.

− Consideriamo le rette e scegliamo gli intervalli dell'asse Oa su cui tali rette soddisfano seguenti condizioni: a) non interseca il grafico della funzione https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" Height="24"> in un punto, c) in due punti, d) in tre punti e così via.

− Se il compito è trovare i valori di x, allora esprimiamo x in termini di a per ciascuno degli intervalli trovati del valore di a separatamente.

La visualizzazione di un parametro come variabile uguale si riflette nei metodi grafici..jpg" width="242" Height="182">

Risposta. a = 0 o a = 1.

CONCLUSIONE

Ci auguriamo che i problemi analizzati dimostrino in modo convincente l'efficacia dei metodi proposti. Tuttavia, purtroppo, l'ambito di applicazione di questi metodi è limitato dalle difficoltà che si possono incontrare durante la costruzione di un'immagine grafica. È davvero così brutto? Apparentemente no. Infatti, con questo approccio, il principale valore didattico dei problemi con parametri come modello di ricerca in miniatura viene in gran parte perso. Tuttavia, le considerazioni di cui sopra sono rivolte agli insegnanti e per i candidati la formula è abbastanza accettabile: il fine giustifica i mezzi. Inoltre, permettiamoci di dire che in un numero considerevole di università i compilatori di problemi competitivi con parametri seguono il percorso dall'immagine alla condizione.

In questi problemi abbiamo discusso le possibilità di risoluzione dei problemi con parametri che ci si aprono quando disegniamo su un foglio di carta i grafici delle funzioni incluse nei lati sinistro e destro di equazioni o disuguaglianze. Dato che il parametro può assumere valori arbitrari, uno o entrambi i grafici visualizzati si muovono in un certo modo sul piano. Possiamo dire che si ottiene un'intera famiglia di grafici corrispondenti a diversi valori del parametro.

Sottolineiamo con forza due dettagli.

Innanzitutto non stiamo parlando di una soluzione “grafica”. Tutti i valori, le coordinate, le radici sono calcolati rigorosamente, analiticamente, come soluzioni alle equazioni e ai sistemi corrispondenti. Lo stesso vale per i casi in cui si toccano o si incrociano i grafici. Non sono determinati a occhio, ma con l'aiuto di discriminanti, derivati ​​e altri strumenti a tua disposizione. L'immagine fornisce solo una soluzione.

In secondo luogo, anche se non trovi alcun modo per risolvere il problema associato ai grafici mostrati, la tua comprensione del problema si espanderà in modo significativo, riceverai informazioni per l'autotest e le possibilità di successo aumenteranno in modo significativo. Comprendendo esattamente cosa succede in un problema per valori di parametri diversi, potresti trovare algoritmo corretto soluzioni.

Concluderemo quindi queste parole con un suggerimento urgente: se anche nel problema più remotamente complesso ci sono funzioni per le quali sai disegnare grafici, assicurati di farlo, non te ne pentirai.

ELENCO BIBLIOGRAFICO

1. Cherkasov: Manuale per studenti delle scuole superiori e candidati alle università [Testo] /, . – M.: AST-PRESS, 2001. – 576 p.

2. Gorshtein, con parametri [Testo]: 3a edizione, ampliata e rivista / , . – M.: Ilexa, Kharkov: Gymnasium, 1999. – 336 p.