Tesi: Studio del metodo delle coordinate in un corso di geometria scolastica base. Raccomandazioni metodologiche sull'argomento "metodo delle coordinate" Schema per risolvere problemi geometrici utilizzando il metodo delle coordinate

Ministero dell'Istruzione della Federazione Russa

Istituto scolastico municipale "Scuola secondaria n. 18"

ASTRATTO

PER GEOMETRIA

ARGOMENTO: METODO DELLE COORDINATE NELLO SPAZIO

Completato dallo studente dell'11° anno “C”

Melnik Romano

Supervisore

insegnante di matematica Baksheeva I.K.

Bijsk - 2008

Contenuto

introduzione……………………………………………………………..… 3.

Capitolo 1.

1. Metodo delle coordinate: storia dello sviluppo……………4

   Coordinate di un punto nello spazio………….…...5

   Definire le figure nello spazio…………….……...8

Capitolo 2.

1. Scomposizione di un vettore in vettori coordinati. Coordinate

vettore………………………………………..……..10

1. Operazioni lineari su vettori in coordinate…………..………12

   Condizione di collinearità di due vettori in coordinate……………..13

   I problemi più semplici in coordinate…………….....14

   Prodotto scalare di vettori e calcolo dell'angolo tra vettori attraverso le loro coordinate……………………………………….…………15

   Calcolo degli angoli tra rette e piani…………………..16

4. Capitolo 3.

4.1. Applicazione del metodo delle coordinate alla risoluzione di problemi stereometrici

compiti ………………………………………………………..…………….. 19

Conclusione. ………………………...26

Bibliografia……………………………………………………... 27

introduzione

L’argomento del mio lavoro è “Metodo delle coordinate nello spazio”. Questo argomento è rilevante oggi per qualsiasi diplomato perché:

consente di risolvere analiticamente molti problemi di geometria dell'esame, il che richiede meno conoscenze di geometria e riduce significativamente i tempi di esecuzione;

Questo metodo è alla base della geometria analitica, che viene studiata nel corso di matematica superiore.

• Obiettivo del lavoro: sistematizzare le conoscenze su questo argomento e considerare l'applicazione di questo metodo nella risoluzione di vari problemi stereometrici.

  Per raggiungere l’obiettivo sono stati stabiliti quanto segue compiti:

• studiare materiale teorico sull'argomento;

  sistematizzare e riassumere il materiale studiato;

  identificare le caratteristiche dell'utilizzo del metodo;

  considerare l'applicazione del metodo delle coordinate alla risoluzione di problemi stereometrici;

  confrontare l'applicazione del metodo delle coordinate con altri metodi per risolvere problemi stereometrici.

Metodi utilizzati :

metodo di analisi e sintesi,

metodo di confronto.

Capitolo 1

1. Metodo delle coordinate: storia dello sviluppo.

Il metodo delle coordinate è un modo per determinare la posizione di un punto o di un corpo utilizzando numeri o altri simboli.

I numeri utilizzati per determinare la posizione di un punto sono chiamati coordinate del punto.

Le coordinate geografiche a noi ben note determinano la posizione di un punto sulla superficie terrestre: ogni punto sulla superficie terrestre ha due coordinate: latitudine e longitudine.

Per determinare la posizione di un punto nello spazio sono necessari tre numeri. Ad esempio, per determinare la posizione di un satellite, è possibile specificare la sua altezza sopra la superficie terrestre, nonché la latitudine e la longitudine del punto su cui si trova.

Utilizzando il metodo delle coordinate, puoi presentare quasi l'intero corso di geometria scolastica senza un solo disegno, utilizzando solo numeri e operazioni algebriche. Ad esempio, un cerchio può essere definito come un insieme di punti che soddisfano un'equazione e una linea retta può essere definita come un insieme di punti che soddisfano un'equazione. Pertanto, con l'aiuto di questo metodo è stato possibile collegare scienze apparentemente completamente diverse dell'algebra e della geometria. Questa connessione fu, in sostanza, una rivoluzione nella matematica. Ha ripristinato la matematica come scienza unificata.

Il creatore del metodo delle coordinate è considerato il filosofo e matematico francese René Descartes (1596-1650), che nell'ultima parte del grande trattato filosofico di Cartesio, pubblicato nel 1637, descrisse il metodo delle coordinate e la sua applicazione alla risoluzione di problemi geometrici.

Lo sviluppo delle idee di Cartesio portò all'emergere di un ramo speciale della matematica, che ora è chiamato geometria analitica.

Questo nome stesso esprime l'idea di base della teoria. La geometria analitica è quella parte della matematica che risolve i problemi geometrici analiticamente (cioè algebricamente) mediante mezzi.

Insieme a Cartesio, il fondatore della geometria analitica è il notevole matematico francese P. Fermat. Utilizzando il metodo delle coordinate, Fermat studiò le linee rette e le curve del secondo ordine. Lo studio della geometria analitica nello spazio tridimensionale fu significativamente avanzato nel XVIII secolo da A. Clairaut. La geometria analitica esplicitamente e coerente sul piano e nello spazio tridimensionale fu presentata da L. Euler nel 1748 nel libro di testo "Introduzione all'analisi degli infiniti".

IN XIXsecolo, fu compiuto un altro passo nello sviluppo della geometria: furono studiati gli spazi multidimensionali. L’idea principale per i creatori della teoria era l’analogia con la “Geometria” di Cartesio. Per lui un punto su un piano è una coppia di numeri, un punto nello spazio tridimensionale è una terna di numeri; nella nuova teoria, un punto nello spazio quadridimensionale è una quadrupla di numeri. Cartesio ha l'equazione del cerchio su un piano, l'equazione della superficie di una palla nello spazio tridimensionale; nella nuova teoria, la superficie di una sfera nello spazio quadridimensionale. Allo stesso modo dentroN - la geometria dimensionale considera piani, rette, distanze tra punti, angoli tra rette, ecc.

Alla fine le idee della geometria multidimensionale si consolidarono saldamente nella matematicaXIXsecolo e all'inizioXXsecolo, hanno trovato applicazione nella teoria della relatività speciale, dove alle tre coordinate spaziali viene aggiunta una quarta: il tempo. Pertanto, le idee della geometria di Cartesio, sviluppate dagli scienziati delle generazioni successive, sono alla base della scienza moderna.

2. Coordinate di un punto nello spazio .

Dicono che viene dato un sistema di coordinate rettangolari (cartesiane) se tre linee perpendicolari a coppie vengono tracciate attraverso un punto nello spazio, su ciascuna di esse viene selezionata una direzione e viene selezionata un'unità di misura per i segmenti. Vengono chiamati i piani passanti per gli assi coordinati rispettivamente e , e , epiani coordinati e sono indicati con , ,.

Le coordinate di un punto nello spazio sono le coordinate delle proiezioni di questo punto sugli assi coordinati.

Coordinate dei punti: , , , , , , .

Nello spazio, oltre agli assi coordinati, è conveniente considerare i piani coordinati, ad es. piani passanti per due assi qualsiasi. Esistono tre di questi aerei:

Un piano (passante per gli assi e ) è un insieme di punti della forma, dove e sono numeri qualsiasi;

Un piano (passante per gli assi e ) è un insieme di punti della forma , dove e sono numeri qualsiasi;

Un piano (passante per gli assi e ) è un insieme di punti della forma , dove e sono numeri qualsiasi.

Per qualsiasi punto M nello spazio, puoi trovare tre numeri che fungeranno da coordinate.

Per trovare il primo numero, tracciamo attraverso il punto M un piano parallelo al piano delle coordinate (perpendicolare all'asseX).Il punto di intersezione di questo piano con l'asse (punto M 1 ) ha una coordinata su questo asse. Questo numero è la coordinata del punto M 1 sull'asse - chiamatoascissa punti M.

Per trovare la seconda coordinata, traccia un piano parallelo al piano (perpendicolare all'asse) passante per il punto Msì), che si trova sull'asse sì punto M2. Numero sì– coordinata del punto M 2 per asse sì- chiamato ordinato punti M.

Troveremo la terza coordinata del punto M eseguendo costruzioni simili, ma perpendicolari all'asse z. Chiamiamo il numero risultante z applicare punti M.

3. Definire le figure nello spazio.

Proprio come su un piano, le coordinate nello spazio consentono di specificare non solo punti, ma anche linee, superfici e altri insiemi di punti utilizzando numeri e relazioni numeriche. Vediamo, ad esempio, quale insieme di punti si otterrà se specifichiamo solo due coordinate e consideriamo la terza arbitraria.

(ad esempio, ), definire una linea retta nello spazio parallela all'asse.

Tutti i punti di tale retta hanno la stessa ascissa e la stessa ordinata. La coordinata può assumere qualsiasi valore.

Diamo un'occhiata ad alcuni altri esempi che mostrano come puoi ambientarti

diversi insiemi nello spazio utilizzando equazioni e altre relazioni tra le coordinate.

1). Considera l'equazione.

Poiché la distanza di un punto dall'origine delle coordinate è data dall'espressione , è chiaro che, tradotto in linguaggio geometrico la relazione significa che il punto con coordinate è distanteR dall'origine. Ciò significa che l'insieme di tutti i punti per i quali vale la relazione è la superficie della palla, una sfera con un centro nell'origine e un raggioR .

2). Consideriamo dove si trovano i punti le cui coordinate soddisfano la relazione.

Poiché questa relazione significa che la distanza di un punto dall'origine è minore di uno, l'insieme richiesto è l'insieme dei punti che giacciono all'interno di una palla con centro nell'origine e raggio uguale a uno.

capitolo 2

1. Scomposizione di un vettore in vettori di coordinate. Coordinate vettoriali.

La base di uno spazio è una qualsiasi terna ordinata di vettori non complanari , , , denotati dal simbolo .

Un caso speciale è una base ortonormale rettangolare, dove è il vettore unitario dell'asse delle ascisse, through è il vettore unitario dell'asse delle ordinate e through è il vettore unitario dell'asse applicato, cioè , , , .

Questa base e origine DI definire un sistema di coordinate cartesiane rettangolari nello spazio.

Teorema 1

Qualsiasi vettore spaziale può essere espanso in vettori di coordinate, cioè presente nella forma -

ed i coefficienti di dilatazione sono determinati in modo unico.

Numerisono chiamate coordinate vettoriali, cioè . Poiché il vettore zero può essere rappresentato nella forma , allora tutte le coordinate del vettore zero sono uguali a zero, .

2. Operazioni lineari su vettori in coordinate.

Regola 1.

Coordinate di uguali i vettori sono rispettivamente uguali, quelli. se vettori E sono uguali, quindi , e .

Regola 2.

Ciascuna coordinata della somma di due o più vettori è uguale alla somma delle corrispondenti coordinate di questi vettori.

In altre parole, se E sono dati i vettori, allora il vettore ha coordinate .

Regola 3.

Ciascuna coordinata della differenza di due vettori è uguale alla differenza delle coordinate corrispondenti di questi vettori.

In altre parole, se E -dati i vettori, allora il vettore ha coordinate

Regola 4.

Ciascuna coordinata del prodotto di un vettore e di un numero è uguale al prodotto delle corrispondenti coordinate del vettore e di questo numero.

In altre parole, se dato il vettore, dato il numero, il vettore ha delle coordinate. .

Esempio.

Trova le coordinate del vettore se , , .

Soluzione.

Un vettore ha coordinate e un vettore ha coordinate.

Poiché , le sue coordinate possono essere calcolate come: , , Quindi il vettore ha coordinate .

3. Relazione tra coordinate vettoriali e coordinate puntuali.

Definizione.

Si dice un vettore la cui fine coincide con un punto dato e il cui inizio coincide con l'origine delle coordinate vettore del raggio questo punto.

Vettore del raggio

Regola 5.

Le coordinate di qualsiasi punto sono uguali alle corrispondenti coordinate del suo raggio vettore. ,.

Regola 6.

Ciascuna coordinata vettoriale è uguale alla differenza tra le coordinate corrispondenti della sua fine e del suo inizio.

4. Condizione di collinearità di due vettori in coordinate.

Siano specificati due vettori nel sistema di coordinate tramite le loro coordinate e .

Regola 7.

Vettori E sono collineari se e solo se le loro coordinate corrispondenti sono proporzionali, .

Esempio.

a) Consideriamo i vettori e .

Le coordinate di un vettore sono proporzionali alle corrispondenti coordinate del vettore: Pertanto, e quindi i vettori sono collineari.

b) Consideriamo i vettori e .

Le coordinate di un vettore non sono proporzionali alle corrispondenti coordinate del vettore, ad esempio. Ciò significa che i vettori non sono collineari.

5. I problemi più semplici in coordinate.

Compito 1.

Ciascuna coordinata del centro di un segmento è uguale alla metà della somma delle corrispondenti coordinate delle sue estremità.

Dove e.

,, ,

b) Calcolo della lunghezza di un vettore a partire dalle sue coordinate.

Considera un vettore ,

la lunghezza del vettore viene calcolata dalla formula .

Perché ==, ==, ==, e , quindi dall'uguaglianza otteniamo la formula: .

V) La distanza tra due punti.

Consideriamo due punti arbitrari: punto e punto . Esprimiamo la distanzaD tra i punti e attraverso le loro coordinate.

Considera il vettore dove .

Ma . Così,distanza tra i punti e

calcolato dalla formula .

6. Prodotto scalare di vettori e calcolo dell'angolo tra vettori attraverso le loro coordinate.

1) Prodotto scalare di vettori

Il prodotto scalare di due vettori è il prodotto delle loro lunghezze per il coseno dell'angolo compreso tra loro.

quelli.- speziato.

Il prodotto scalare di vettori diversi da zero è negativo se e solo se l'angolo tra i vettori è ottuso,

quelli.- smussare.

Per qualsiasi vettore , , , e qualsiasi numeroK valgono le uguaglianze:

1. 0 e >0 a 0.

2. (legge sullo spostamento).

3. (legge distributiva).

4. (diritto combinatorio).

2) Calcolo dell'angolo tra i vettori utilizzando le loro coordinate.

Coseno dell'angolo compreso tra vettori diversi da zeroE calcolato dalla formula ,

Dove

7. Calcolo degli angoli tra rette e piani.

1) Angolo tra rette.

Per risolvere questo problema introduciamo il concetto di vettore direttore di una retta.

Definizione.

Un vettore diverso da zero si dice vettore direzionale di una retta a se giace su una retta a oppure su una retta parallela ad a.

Esempio

Vettori e direttrici di retteUN E B , rispettivamente.

Definizione.

L'angolo tra le linee è l'angolo tra i vettori di direzione di queste linee.

Angolo tra retteUN E B è uguale all'angolo tra i vettori di direzione delle linee date, e .

2).Angolo tra una linea retta e un piano.

Definizione.

L'angolo tra una linea e un piano è l'angolo tra il vettore direzione di una data linea e un vettore diverso da zero perpendicolare al piano (normale).

Permettere , ( , a è l'angolo desiderato ().

Poi

Significa .

Capitolo 3.

Applicazione del metodo delle coordinate alla risoluzione di problemi stereometrici.

Problema.1

Alla base della piramide MABC si trova triangolo rettangolo ABC. ,AC.=3, AVANTI CRISTO.=5. Il bordo AM è perpendicolare ad AC, AM=4, . Trova il volume della piramide.

Soluzione.

1) Introduciamo un sistema di coordinate rettangolare con l'origine nel punto . Dirigiamo l'asse lungo il bordoAC e l'aereo OH sì lungo la base della piramideABC.

In questo sistema di coordinate: , , . Poiché per condizione , allora il punto M giace nel pianoxz e ha coordinate .

2) , .

Troviamo l'altezza della piramide. Lasciamo il puntoM perpendicolare M D all'aereo (ABC), poi, perché . Di conseguenza, la distanza tra i puntiM E Dè uguale, perché .

Troviamo il valore delle coordinatez utilizzando le distanze tra punti contenenti una data coordinata: , . , cioè. .

Abbiamo:

Poiché , allora l'altezza della piramide è pari a . Quindi .

Risposta: .

Problema.2.

In un parallelepipedo rettangolare , , . Trovare: l'angolo tra le linee rette e .

Soluzione.

1).Introdurre un sistema di coordinate con l'origine nel punto . Dirigiamo rispettivamente gli assi , e lungo i bordi , e . Poiché l'angolo tra rette varia da a , e l'angolo tra vettori da a , allora l'angolo tra rette e è uguale all'angolo tra i vettori e se è acuto, o adiacente ad esso se l'angolo tra i vettori è ottuso.

Così,

2).Calcola l'angolo tra i vettori e .

Troviamo le coordinate dei vettori utilizzando le coordinate dei punti e :

, ,, .

Quindi le coordinate dei vettori e .

===

Quindi,

Risposta: .

Compito 3.

Dato un parallelepipedo rettangolare. Trova l'angolo formato dalla retta e dal piano della base.

Soluzione.

1) Angolo formato da una retta e da un pianoAB 1 CON- Questo l'angolo formato da una retta e la sua proiezione su un piano. L'angolo formato dalla normale al piano e dalla retta è complementare a 90° 0, quindi.

Ciò significa che per trovare l'angolo tra la retta e il piano (), dovresti trovare l'angolo tra la retta e la normale al piano ().

2) Introduciamo un sistema di coordinate con l'origine nel punto . Dirigiamo rispettivamente gli assi , e lungo i bordi , e .

Coordinate del punto:

, , ,

UN .

3) Trova le coordinate del piano normale (). Scriviamo l'equazione del piano (), sostituendo le coordinate dei puntiUN , B 1 E CON V equazione piana .

Otteniamo un sistema di equazioni lineari:

Pertanto, l'equazione del piano () ha la forma , o , e il vettore normale ha coordinate .

Significa

E .

Risposta: .

Consideriamo di risolvere il problema in due modi.

Compito 4. Metodo 1: geometrico.

Sulle costole, ecc. . Disegniamo una linea retta: la linea mediana del triangolo e, ad es. E,

Il materiale teorico studiato è stato sistematizzato.

Quando si utilizza il metodo per risolvere i problemi, sono state identificate le seguenti caratteristiche del metodo:

• la capacità di introdurre correttamente un sistema di coordinate,

  corretta determinazione delle coordinate del punto,

  conoscenza dell'apparato analitico del metodo.

• L'applicazione del metodo è stata considerata una soluzione vari tipi compiti e rispetto ad altri metodi.

Ho riscontrato alcune difficoltà durante lo svolgimento del lavoro:

• • quando si stabiliscono traguardi e obiettivi;

    quantità insufficiente di materiale teorico nel libro di testo scolastico;

    nell'identificare le peculiarità dell'utilizzo del metodo,

    quando si seleziona il materiale per la presentazione di un abstract.

Bibliografia.

l S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, L. S. Kiseleva, E. G. Poznyak. Geometria, 10-11.M., Educazione, 2003.

V.N.Litvinenko. Laboratorio di matematica elementare. Stereometria: Libro di testo.-M.: Verbum-M, 2000.

LORO.Gelfand, E.G. Glagoleva, A.A. Kirillov. Metodo delle coordinate - M.: Nauka, 1968.

S.G. Grigoriev. Algebra vettoriale e geometria analitica. Libro di testo di matematica superiore.-M.: Centro di informazione e implementazione “Marketing”, 2000.

I. Ivanova, Z. Ilchenkova. Applicazione del vettore di coordinate alla risoluzione di problemi stereometrici. // Matematica, 2007, n. 2.

A.V. Dorofeev. Cartesio e la sua geometria.//Matematica, 1992, n. 4.

Metodo delle coordinate

Nei test Compiti dell'Esame di Stato Unificato le parti 1 (B 1 – B 14) e i compiti C 1, C 2 sono standard in termini di curriculum scolastico. Oltre ai compiti del blocco orientato alla pratica, ci sono compiti per comprendere i fatti e le idee di base del corso di matematica scolastica, nonché compiti in cui è necessario risolvere equazioni, trovare elementi di una figura spaziale, esplorare una funzione , eccetera. Per risolvere i compiti C 2, è necessaria una grande quantità di conoscenze in geometria, nonché la capacità di rappresentare figure spaziali su un piano. Mi concentrerò solo su un tipo di soluzione ai problemi C 2. Questo è il metodo delle coordinate. A volte è molto comodo trovare angoli tra piani, tra rette, tra una retta e un piano, ecc. Per risolvere tali problemi abbiamo bisogno delle equazioni di un piano e di una retta.

1. a) Equazione di un piano

Dove UN (X 1 ; sì 1 ; z 1), B (X 2 ; sì 2 ; z 2), C (X 3 ; sì 3 ; z 3) – punti di questo piano.

b) Equazione di una retta

Dove M (X 1 ; sì 1), N (X 2 ; sì 2) – punti di questa linea.

Conoscendo le equazioni dei piani, possiamo trovare l'angolo tra loro usando la formula

Se α – angolo tra i piani

Conoscendo le equazioni delle rette, possiamo trovare l'angolo tra loro usando la formula

Se α – l'angolo tra rette con vettori di direzione) i).

Diamo un'occhiata ad alcune attività C 2 in cui è possibile utilizzare il metodo delle coordinate.

Problema 1. In un prisma quadrangolare regolare ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . I lati della base sono uguali a 3 e i bordi laterali sono uguali a 5. Sul bordo GG 1 punto segnato F COSÌ DF : FD 1 = 2:3. Trova l'angolo tra i piani ADC E A.F.C. 1 .

Introduciamo un sistema di coordinate rettangolare. Picchi UN(3; 0; 0); B(0; 0; 0); C(0; 3; 0) appartengono al piano ( ABC).

Possiamo creare un'equazione per questo piano.

Semplifichiamo e otteniamo l'equazione del piano ( ABC):

Picchi UN(3; 0; 0); F(3; 3; 2); C 1 (0; 3; 5) appartengono al piano ( A.F.C. 1). Possiamo creare un'equazione per questo piano.

Semplifichiamo e otteniamo l'equazione.

Ora troviamo il coseno dell'angolo compreso tra questi piani

Spesso le risposte a questi problemi vengono date in termini di tangenti. Puoi trovare tg α secondo la formula; E.

Nota: il determinante del terzo ordine può essere calcolato utilizzando la formula

Questa formula può essere scritta diversamente

Problema 2. In un prisma triangolare regolare ABCA 1 B 1 C 1 lato della base è 2, l'altezza è 3. In un triangolo ABC bisettrice disegnata SONO.. Trova il coseno dell'angolo formato dalle rette UN 1 M E B 1 C.

Soluzione

Introduciamo un sistema di coordinate rettangolare. I vettori e sono i vettori di direzione delle rette AC. 1 e B 1 C. Troviamo le coordinate di questi vettori. Per prima cosa troviamo le coordinate dei punti UN 1 ; M; B 1 ; C.

UN 1 (0; 0; 3); B 1 (; 1; 3); CON(0; 2; 0); M (; ; 0).

Ora troviamo le coordinate del vettore direzione di regola successiva: per trovare le coordinate di un vettore è necessario sottrarre le coordinate iniziali da quelle finali . (; ; –3) e anche (; 1; –3).

Ora troviamo il coseno dell'angolo formato dalle rette UN 1 M E B 1 C secondo la formula

2. Considera la formula per trovare l'angolo tra una linea retta e un piano.

Se α – angolo tra la retta e il piano

, ( – vettore di direzione.

Problema 3. In un parallelepipedo rettangolare MNPQM 1 N 1 P 1 Q 1 costola MN=15, MQ=MM 1 = 8. Trova l'angolo tra QP 1 e aereo QPN 1 .

Soluzione

Introduciamo un sistema di coordinate rettangolare. Guida vettoriale per linea retta QP 1 . Troviamo le sue coordinate.

Q (15; 8; 0); P 1 (0; 8; 8); (–15; 0; 8).

Ora troviamo l'equazione del piano ( QPN 1).

Q (15; 8; 0); P (0; 8; 0); N (0; 0; 8).

Ora troviamo l'angolo tra e il piano

Problema 4. In un prisma esagonale regolare ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 altezza è 4, AB=4. Trova l'angolo formato dalla linea retta AC. 1 e aereo ACD 1 .

Soluzioni

UN(; –2; 0); C 1 (0; 4; 4); (; –6; 4).

Creiamo un'equazione del piano ( ACD 1). UN(; –2; 0); C(0; 4; 0); D 1 (; 6; 4).

Ora troviamo l'angolo tra la linea retta AC. 1 e aereo ( ACD 1).

Università Internazionale della Natura, della Società e dell'Uomo "Dubna"

Bozza del programma del corso

Sviluppo di lezioni sull'argomento:

"Distanza da un punto a una linea"

"Distanza tra linee parallele"

Dmitrov, 2013

1. Introduzione……………………………………3

2. Bozza del programma del corso

“Metodo delle coordinate e fondamenti di geometria analitica su un piano” ………………….................................................................................. 4

3. Sviluppo della lezione:

Lezione-lezione “Distanza da un punto ad una linea”…………….8

Lezione-lezione “Distanza tra rette parallele”…..17

4. Conclusione………………………………..23

5. Riferimenti…………………..……………

6. Applicazioni……………………………….24

1. INTRODUZIONE

La strategia di sviluppo della società moderna basata sulla conoscenza e su tecnologie altamente efficaci richiede oggettivamente adeguamenti significativi alla teoria e alla pratica pedagogica e un’intensificazione della ricerca di nuovi modelli educativi.

Lo studio della geometria a livello dell'istruzione generale di base è finalizzato al raggiungimento dei seguenti obiettivi:

- padroneggiare un sistema di conoscenze e abilità necessario per l'applicazione in attività pratiche, studio di discipline affini, formazione continua;

- sviluppo intellettuale, la formazione delle qualità della personalità necessarie affinché una persona possa vivere una vita piena nella società moderna, caratteristica dell'attività matematica: chiarezza e accuratezza del pensiero, pensiero critico, intuizione, pensiero logico, elementi di cultura algoritmica, concetti spaziali, capacità di superare le difficoltà;

- formazione delle idee sulle idee e sui metodi della matematica come linguaggio universale della scienza e della tecnologia, un mezzo per modellare fenomeni e processi;

- educazione cultura personale, attitudine alla matematica come parte della cultura umana universale, giocando un ruolo speciale nello sviluppo sociale.

In questo progetto, lo studio delle basi della geometria analitica inizia nel grado 7, che consentirà agli studenti di avvicinarsi alla risoluzione dei problemi stereometrici utilizzando il metodo delle coordinate a un livello più consapevole e qualitativo.

2. PARTE PRINCIPALE

Bozza del programma del corso

“Metodo delle coordinate e fondamenti di geometria analitica su un piano”

per gli studenti delle classi 7-8 della scuola primaria

,

(Università Internazionale della Natura, della Società e dell’Umanità “Dubna”)

e studenti dei corsi di PC presso l'Università Internazionale "Dubna"

1. Idea del corso, scopi e obiettivi –

Rilevanza Questo argomento è dovuto al fatto che i contenuti e i metodi di insegnamento della matematica utilizzati nelle scuole di base in alcune parti non corrispondono alle moderne esigenze degli specialisti della formazione nelle aree tecniche.

Bersaglio: Avvicinare i contenuti e i metodi di insegnamento della matematica nelle scuole primarie alle moderne esigenze di una società tecnologica.

Compiti:

1. Analizzare le esigenze della moderna società tecnologica e confrontare la matematica utilizzata nella risoluzione dei problemi applicati con il contenuto della matematica nella scuola primaria.

2. Creazione di un progetto di programma per il corso “Metodo delle coordinate e fondamenti di geometria analitica su un piano”

3. Sviluppo di lezioni sull'argomento "Distanza da un punto a una linea", "Distanza tra linee parallele" R Sezione "Disposizione relativa degli oggetti su un piano"

2. Posto nel programma della scuola secondaria– 7-9 gradi. Volume – 1 lezione a settimana, parallelamente al corso principale di geometria tradizionale, insegnata, ad esempio, da un libro di testo Atanasyan (con coautori). Il volume totale è di 70 ore, ovvero 1/3 del volume totale del corso di geometria per i gradi 7-9. Date consigliate per il completamento del corso: inizio - seconda metà del 7° anno, fine - 1a metà del 9° anno. Tuttavia, a seconda delle condizioni specifiche per padroneggiare il programma in ciascuna scuola particolare (curricula, programmi di lavoro, libri di testo di base, disponibilità di ore aggiuntive nel curriculum di geometria), sono possibili altre scadenze per la sua padronanza. Ad esempio, se sono disponibili ore aggiuntive, il periodo di sviluppo può essere ridotto aumentando il numero di ore settimanali

3. Sezioni principali e contenuti.

3. SVILUPPO DELLE LEZIONI

Lezione-lezione: “Distanza da un punto ad una retta”

Obiettivi:introdurre i concetti di distanza da un punto a una retta, mostrare come vengono utilizzati nella risoluzione dei problemi.

1. Spiegazione del nuovo materiale

Definizione.

Distanza dal punto alla linea è la lunghezza della perpendicolare tracciata da un dato punto a una data linea

Va notato che la distanza da un punto a una linea è la più piccola delle distanze da questo punto ai punti di una data linea. Mostriamolo.

Prendiamolo in linea retta UN punto Q, non coincidente con il punto M1. Segmento M1Q chiamato inclinato, tratto dal punto M1 ad una linea retta UN. Dobbiamo mostrare che la perpendicolare tracciata dal punto M1 ad una linea retta UN, minore di qualsiasi pendenza tracciata dal punto M1 ad una linea retta UN. E' vero: un triangolo M1QH1 rettangolare con ipotenusa M1Q, e la lunghezza dell'ipotenusa è sempre maggiore della lunghezza di qualsiasi cateto, quindi,font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.

dimensione carattere: 12,0 pt; line-height:115%;font-family:Verdana">Se, quando si trova la distanza da un punto a una linea, è possibile inserire un sistema di coordinate rettangolari, è possibile utilizzare il metodo delle coordinate. In questa lezione vedremo soffermiamoci in dettaglio su due modi per trovare la distanza da un punto M1 ad una linea retta UN, che sono specificati in un sistema di coordinate cartesiane rettangolari Ossi in superficie. Nel primo caso, la distanza dal punto M1 ad una linea retta UN cercheremo come distanza dal punto M1 al punto H1, Dove H1– la base di una perpendicolare caduta da un punto M1 direttamente UN. Nel secondo metodo per trovare la distanza da un punto M1 ad una linea retta UN useremo l'equazione normale della retta UN.

Quindi, poniamoci il seguente compito: lasciamo che un sistema di coordinate rettangolari sia fissato sul piano Ossi potremo calcolare utilizzando la formula per trovare la distanza da un punto M1 al punto H1 secondo le loro coordinate:.

Resta da capire come trovare le coordinate del punto H1.

Sappiamo che una linea retta in un sistema di coordinate rettangolari Ossi corrisponde a qualche equazione di una retta su un piano. Assumeremo che il metodo per specificare la linea retta UN nella formulazione del problema ti permette di scrivere l'equazione generale della retta UN o equazione di una retta con coefficiente angolare. Successivamente, possiamo creare un'equazione per una linea che passa per un dato punto M1, perpendicolare alla linea UN. Indichiamo questa linea retta con la lettera B. Quindi punta H1è il punto di intersezione delle rette aa E B, risolvendo un sistema di equazioni linearifont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana;color:#32322E">o;

4) calcolare la distanza richiesta dal punto M1 ad una linea retta UN secondo la formula.

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Contenuto testuale delle diapositive della presentazione: Complesso didattico della scuola-liceo di fisica e matematica dell'autore n. 61. PROGETTO “Metodo di coordinazione in matematica e geografia” Completato da: studenti dei gradi 7 B e 7 C del codice penale dell'AFMSL n. 61 Evlashkov Daniil Littau Roman Khegai Vladimir Supervisore: Gorborukova N.V.g. Bishkek - 2012 Determinare la posizione di un oggetto sulla superficie della Terra o di qualsiasi punto su un piano significa determinarne l'indirizzo. “Indirizzo” in geografia è la latitudine geografica; longitudine geografica; altezza assoluta “Indirizzo” in matematica – ascissa, ordinata di un punto sul piano delle coordinate Obiettivo del progetto: esplorare e confrontare metodi per determinare l'“indirizzo” di un oggetto in geografia e matematica. Obiettivi del progetto: Rispondere alle seguenti domande: Chi, quando e per quale scopo ha introdotto per la prima volta il concetto di "coordinate"? Esiste una connessione genetica tra i concetti di "coordinate geografiche" e "metodo delle coordinate" in matematica? Oppure si tratta di parole omonime? Lo sviluppo di quali scienze è stato influenzato dal metodo delle coordinate? Quali altri tipi di sistemi di coordinate esistono oltre a quello rettangolare e sono attualmente utilizzati dall'uomo nelle attività pratiche? Riferimento storico.Nel II-III secolo a.C. e. Meridiani e paralleli apparvero per la prima volta sulla mappa di Eratostene. Tuttavia, non rappresentavano ancora una griglia di coordinate. Mappa di Eratostene Nel II secolo. AVANTI CRISTO e. Ipparco fu il primo a dividere il cerchio in 360 parti e propose di circondare il globo su una mappa con meridiani e paralleli. Introdusse il concetto di equatore, disegnò paralleli e meridiani attraverso i poli. Pertanto, è stata creata una rete cartografica ed è diventato possibile tracciare oggetti geografici sulla mappa. La mappa di Ipparco Claudio Tolomeo (190 - 168 a.C.) completò la galassia dei grandi astronomi e geografi antichi. Nella sua opera “Guida alla Geografia” in 8 libri ha dato una descrizione di oltre 8000 oggetti geografici indicandone le coordinate geografiche: latitudine e longitudine. 1. Geografia: “geo” - Terra, “grafo” - scrittura.2. Geometria: “geo” - terra, “metero” - misurare Come puoi vedere, queste due scienze erano strettamente correlate tra loro, la loro nascita era dovuta alle attività pratiche delle persone di quel tempo. Perché la latitudine e la longitudine geografica si misurano in gradi? La latitudine geografica è la grandezza dell'arco del meridiano dall'equatore a un dato punto. Dal corso di geometria è noto che gli archi si misurano sia in quantità lineari che angolari: gradi e radianti.La longitudine geografica è la grandezza dell'arco parallelo dal primo meridiano a un dato punto. Si può vedere che le coordinate geografiche sono un concetto matematico. L’emergere dell’algebra come branca della matematica Nel IX secolo, il matematico e astronomo uzbeko Muhammad al-Khorezmi scrisse il trattato “Kitab al-jabr wal-muqabala”, in cui diede regole generali per risolvere equazioni di 1° grado. La parola “al-jabr” (“restauro”) significava il trasferimento dei termini negativi delle equazioni da una parte all’altra con un cambio di segno. Da lui la nuova scienza prese il nome: algebra. Per molto tempo l'algebra e la geometria si svilupparono parallelamente e rappresentarono due rami della matematica. Nel XIV secolo. Il matematico francese Nicolas Oresme ha proposto di introdurre, per analogia con le coordinate geografiche, le coordinate su un piano. Propose di coprire il piano con una griglia rettangolare e di chiamare latitudine e longitudine ciò che oggi chiamiamo ascissa e ordinata. Ciò segnò l'inizio della creazione del metodo delle coordinate e dell'algebra e della geometria collegate. Metodo delle coordinateAlgebraUn punto piano è specificato da una coppia di numeri M (x;y) - un oggetto algebrico.Una linea retta è specificata dall'equazione y = ax + bGeometria Un punto piano è un oggetto geometrico René Descartes (1596-1650) - Matematico, filosofo, fisico e fisiologo francese. Cartesio è uno dei creatori della geometria analitica, del moderno simbolismo algebrico e il metodo per specificare una curva utilizzando un'equazione è stato un passo decisivo verso il concetto di funzione. In matematica, è stato lui a fu in gran parte responsabile della creazione del metodo delle coordinate, che fu la base della geometria analitica. 1. Va notato che Cartesio non disponeva ancora di quello che oggi chiamiamo sistema di coordinate cartesiane. Cartesio iniziò traducendo in linguaggio algebrico i problemi riguardanti la costruzione con compasso e righelli.2. Il notevole merito di Cartesio è stata l'introduzione di comode notazioni usate oggi: x, y, z - per incognite, a, b, c - per coefficienti, nonché la notazione delle potenze.3. Attualmente le coordinate cartesiane sono assi ortogonali con la stessa scala in tutte le direzioni, quindi O è l'origine. Confrontiamo i sistemi di coordinate in matematica e geografia.1. Per determinare la posizione di un oggetto sulla superficie terrestre sono necessarie 2 coordinate: longitudine e latitudine.2. Per determinare la posizione di un punto su un piano sono necessarie 2 coordinate: ascissa e ordinata.3. Paralleli e meridiani sono reciprocamente perpendicolari.4. Gli assi OX e OY sono reciprocamente perpendicolari.5. Per determinare un punto nello spazio, è necessaria la 3a coordinata: altezza assoluta (in geografia); applicata in matematica.6. L'equatore e il meridiano fondamentale dividono la superficie del globo in 4 parti7. Gli assi delle coordinate dividono il piano in 4 parti e lo spazio in 8 parti. Coordinate polari e sferiche. Il sistema di coordinate polari comprende t.O - polo e raggio - asse polare. Ogni punto sul piano corrisponde a una coppia di numeri P(r; φ), l'angolo tra la direzione dell'oggetto e l'asse polare e la distanza dall'oggetto. In geografia, l'analogo delle coordinate polari è l'azimut. Per determinare la posizione di un oggetto, è necessario conoscere l'angolo tra la direzione verso l'oggetto e la direzione verso nord e la distanza dall'oggetto. Se è necessario determinare la posizione di un punto nello spazio, viene utilizzato un sistema di coordinate sferiche. Questo metodo viene utilizzato nella navigazione aerea. Utilizzando il radar, vengono determinate 3 coordinate: la distanza in linea retta più breve dall'aereo; l'angolo con il quale un aeroplano è visto sopra l'orizzonte; l'angolo tra la direzione verso l'aereo e la direzione verso nord MAPPA CONCETTUALEGeografiaCartografiaSistema di coordinate1. Rettangolare - latitudine geografica - longitudine geografica - altezza assoluta2. Polare - azimut - distanza dall'oggetto - altezza assoluta Matematica Algebra Geometria Metodo delle coordinate1. Rettangolare - ascissa - ordinata - applicata2. Polare - angolo di rotazione - distanza dall'origine al punto Diagramma di Eulero – Venn (per sistemi di coordinate rettangolari) Diagramma di Eulero – Venn (per sistemi di coordinate polari). Conclusioni: 1. Le parole “geometria” e “geografia” sono di origine greca antica e sono associate alle attività pratiche delle persone sulla superficie della Terra.2. La latitudine e la longitudine geografica si misurano in gradi, poiché rappresentano archi di cerchio che sottendono angoli al centro, cioè sono quantità matematiche.3. Sia la matematica che la geografia utilizzano sia le coordinate rettangolari che quelle polari.4. Nei sistemi di coordinate rettangolari, gli assi (equatore e meridiano primo, assi OX e OY) sono tra loro perpendicolari e dividono il piano in 4 parti: emisferi settentrionale, meridionale, occidentale e orientale in geografia e quadranti I, II, III, IV. 5. La posizione di un punto su un piano è specificata da 2 coordinate: latitudine e longitudine in geografia, ascissa e ordinata in matematica.6. Quando si determina la posizione di un oggetto nello spazio, appare una terza coordinata: altezza assoluta in geografia e applicata in matematica 7. Per impostare le coordinate polari, è necessario: un punto di riferimento, un angolo di rotazione, la distanza dal polo a un dato punto. Pertanto, i concetti di “coordinate” in geografia e matematica non sono parole omonime. Esiste una stretta connessione genetica tra loro. Originario di Grecia antica per risolvere i problemi pratici dell'epoca, furono trasformati in un concetto matematico che collegava algebra e geometria, creando una nuova branca della matematica. Grazie al metodo delle coordinate, è diventato possibile risolvere problemi che non erano impossibili da risolvere utilizzando i metodi dell'algebra e della geometria: descrivere linee curve e superfici sotto forma di formule, risolvere graficamente espressioni algebriche. Il metodo delle coordinate viene utilizzato in vari campi dell'attività umana, aiutandoci a determinare gli "indirizzi" degli oggetti che ci interessano e a descrivere le traiettorie del loro movimento. Letteratura:1. "Geografia. Materiali di riferimento". Ed. Maksakovsky.-M., “Illuminismo”, 1989.2. Prochukhaev V.G. "Misurazioni in un corso di matematica delle scuole superiori." - M., "Prosveshchenie", 19653. Maslov A.V. "Geodesia" - M., Nedra, 19724. Znamensky M.A. “Misurare il lavoro sul terreno.” - M., “Uchpedgiz”, 1986.5. Dizionario enciclopedico di un giovane matematico. Comp. L.P. Savin, - M., “Pedagogia”, 1985.6. https://www.10489.jpg7. https://www.dekart2d.gif8. https.//www.image100.jpg9. https.//www.edumedia-sciences.com10. https.//www.k08-latlon.gif GRAZIE PER LA VOSTRA ATTENZIONE!

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Complesso didattico della scuola-liceo di fisica e matematica dell'autore n. 61. PROGETTO “Metodo di coordinazione in matematica e geografia” Completato da: studenti dei gradi 7 B e 7 C del codice penale dell'AFMSL n. 61 Evlashkov Daniil Littau Roman Khegai Vladimir Supervisore: Gorborukova N.V. Biškek – 2012

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Determinare la posizione di un oggetto sulla superficie della Terra o di qualsiasi punto su un piano significa determinarne l'indirizzo. “Indirizzo” in geografia è la latitudine geografica; longitudine geografica; altezza assoluta. L'“indirizzo” in matematica è l'ascissa, l'ordinata di un punto sul piano delle coordinate

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Obiettivo del progetto: ricercare e confrontare metodi per determinare l '"indirizzo" di un oggetto in geografia e matematica.

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Obiettivi del progetto: Rispondere alle seguenti domande: Chi, quando e per quale scopo ha introdotto per primo il concetto di "coordinate"? Esiste una connessione genetica tra i concetti di “coordinate geografiche” e “metodo delle coordinate” in matematica? Oppure queste parole sono omonime? Lo sviluppo di quali scienze è stato influenzato dal metodo delle coordinate? Quali altri tipi di sistemi di coordinate esistono e sono attualmente utilizzati dagli esseri umani nelle attività pratiche oltre a quello rettangolare?

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Riferimento storico. Nel II-III secolo a.C. e. Meridiani e paralleli apparvero per la prima volta sulla mappa di Eratostene. Tuttavia, non rappresentavano ancora una griglia di coordinate.

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Nel II secolo. AVANTI CRISTO e. Ipparco fu il primo a dividere il cerchio in 360 parti e propose di circondare il globo su una mappa con meridiani e paralleli. Introdusse il concetto di equatore, disegnò paralleli e meridiani attraverso i poli. Pertanto, è stata creata una rete cartografica ed è diventato possibile tracciare oggetti geografici sulla mappa.

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Descrizione diapositiva:

La galassia dei grandi astronomi e geografi antichi fu completata da Claudio Tolomeo (190 - 168 a.C.). Nella sua opera “Guida alla Geografia” in 8 libri ha dato una descrizione di oltre 8000 oggetti geografici indicandone le coordinate geografiche: latitudine e longitudine.

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Descrizione diapositiva:

1. Geografia: “geo” - Terra, “grafo” - scrittura. 2. Geometria: “geo” - terra, “metero” - misurare. Come puoi vedere, queste due scienze erano strettamente correlate tra loro, la loro comparsa era dovuta alle attività pratiche delle persone di quel tempo.

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Perché la latitudine e la longitudine geografica vengono misurate in gradi? La latitudine geografica è la grandezza dell'arco del meridiano dall'equatore ad un dato punto. Dal corso di geometria è noto che gli archi si misurano sia in quantità lineari che in quantità angolari: gradi e radianti. La longitudine geografica è la grandezza dell'arco parallelo dal primo meridiano a un dato punto. Si può vedere che le coordinate geografiche sono un concetto matematico.

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Descrizione diapositiva:

L’emergere dell’algebra come branca della matematica. Nel IX secolo, il matematico e astronomo uzbeko Muhammad al-Khorezmi scrisse il trattato “Kitab al-jabr wal-mukabala”, dove fornì le regole generali per risolvere le equazioni di 1° grado. La parola “al-jabr” (“restauro”) significava il trasferimento dei termini negativi delle equazioni da una parte all’altra con un cambio di segno. Da lui la nuova scienza prese il nome: algebra. Per molto tempo l'algebra e la geometria si svilupparono parallelamente e rappresentarono due rami della matematica.

Diapositiva 13

Descrizione diapositiva:

Nel XIV secolo. Il matematico francese Nicolas Oresme ha proposto di introdurre, per analogia con le coordinate geografiche, le coordinate su un piano. Propose di coprire il piano con una griglia rettangolare e di chiamare latitudine e longitudine ciò che oggi chiamiamo ascissa e ordinata. Ciò segnò l'inizio della creazione del metodo delle coordinate e dell'algebra e della geometria collegate.

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Descrizione diapositiva:

Metodo delle coordinate Algebra Un punto su un piano è specificato da una coppia di numeri M (x;y) - un oggetto algebrico Una linea retta è specificata dall'equazione y=ax+b Geometria Un punto su un piano - un oggetto geometrico

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Descrizione diapositiva:

René Descartes (1596-1650) - matematico, filosofo, fisico e fisiologo francese. Cartesio è uno dei creatori della geometria analitica, del moderno simbolismo algebrico e il metodo per definire una curva utilizzando un'equazione è stato un passo decisivo verso il concetto di funzione. In matematica, fu a lui il merito principale della creazione del metodo delle coordinate, che costituì la base della geometria analitica.

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Descrizione diapositiva:

1. Va notato che Cartesio non disponeva ancora di quello che oggi chiamiamo sistema di coordinate cartesiane. Cartesio iniziò traducendo in linguaggio algebrico i problemi riguardanti la costruzione con compasso e righello. 2. Il merito considerevole di Cartesio è stata l'introduzione di comode notazioni usate oggi: x, y, z - per incognite, a, b, c - per coefficienti, nonché la notazione delle potenze. 3. Attualmente le coordinate cartesiane sono assi ortogonali con la stessa scala in tutte le direzioni, quindi O è l'origine delle coordinate.

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Descrizione diapositiva:

Confrontiamo i sistemi di coordinate in matematica e geografia. 1. Per determinare la posizione di un oggetto sulla superficie della Terra sono necessarie 2 coordinate: longitudine e latitudine. 2. Per determinare la posizione di un punto su un piano sono necessarie 2 coordinate: ascissa e ordinata. 3. Paralleli e meridiani sono reciprocamente perpendicolari. 4. Gli assi OX e OY sono reciprocamente perpendicolari. 5. Per determinare un punto nello spazio, è richiesta la 3a coordinata: altezza assoluta (in geografia); applicare in matematica. 6. L'equatore e il meridiano fondamentale dividono la superficie del globo in 4 parti. 7. Gli assi delle coordinate dividono il piano in 4 parti e lo spazio in 8 parti.

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Descrizione diapositiva:

Coordinate polari e sferiche. Il sistema di coordinate polari comprende t.O - polo e raggio - asse polare. Ogni punto sul piano corrisponde a una coppia di numeri P(r; φ), l'angolo tra la direzione dell'oggetto e l'asse polare e la distanza dall'oggetto. In geografia, un analogo delle coordinate polari è l'azimut. Per determinare la posizione di un oggetto, è necessario conoscere l'angolo tra la direzione verso l'oggetto e la direzione verso nord e la distanza dall'oggetto.

Diapositiva 19

Descrizione diapositiva:

Il sistema di coordinate sferiche viene utilizzato se è necessario determinare la posizione di un punto nello spazio. Questo metodo viene utilizzato nella navigazione aerea. Utilizzando il radar, vengono determinate 3 coordinate: la distanza in linea retta più breve dall'aereo; l'angolo con il quale l'aereo è visibile sopra l'orizzonte; angolo tra la direzione del piano e la direzione del nord

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MAPPA CONCETTUALE Geografia Cartografia Sistema di coordinate 1. Rettangolare - latitudine geografica - longitudine geografica - altezza assoluta 2. Polare - azimut - distanza dall'oggetto - altezza assoluta Matematica Algebra Geometria Metodo delle coordinate 1. Rettangolare - ascissa - ordinata - applicata 2. Polare - angolo di rotazione - distanza dall'origine al punto

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