La lunghezza dell'altitudine collegata all'ipotenusa del triangolo. Triangolo rettangolo

Proprietà: 1. In ogni triangolo rettangolo, l'altezza presa dall'angolo retto (dall'ipotenusa) divide il triangolo rettangolo in tre triangoli simili.

Proprietà: 2. L'altezza di un triangolo rettangolo, abbassata all'ipotenusa, è pari alla media geometrica delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa (o alla media geometrica dei segmenti in cui l'altezza divide l'ipotenusa).

Proprietà: 3. La gamba è uguale alla media geometrica dell'ipotenusa e alla proiezione di questa gamba sull'ipotenusa.

Proprietà: 4. Un cateto opposto ad un angolo di 30 gradi è uguale alla metà dell'ipotenusa.

Formula 1.

Formula 2., dov'è l'ipotenusa; , gambe.

Proprietà: 5. In un triangolo rettangolo la mediana tirata all'ipotenusa è pari alla metà di essa ed è uguale al raggio del cerchio circoscritto.

Proprietà: 6. Relazione tra i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo:

44. Teorema dei coseni. Corollari: relazione tra diagonali e lati di un parallelogramma; determinare il tipo di triangolo; formula per calcolare la lunghezza della mediana di un triangolo; Calcolo del coseno di un angolo triangolare.

Fine del lavoro -

Questo argomento appartiene alla sezione:

Classe. Programma del colloquio sulla planimetria di base

Proprietà degli angoli adiacenti.. definizione di due angoli che sono adiacenti se hanno un lato in comune e gli altri due formano una retta..

Se avete bisogno materiale aggiuntivo su questo argomento, oppure non hai trovato quello che cercavi, ti consigliamo di utilizzare la ricerca nel nostro database delle opere:

Cosa faremo con il materiale ricevuto:

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In realtà, tutto non è affatto così spaventoso. Naturalmente, la definizione “reale” di seno, coseno, tangente e cotangente dovrebbe essere esaminata nell'articolo. Ma davvero non voglio, vero? Possiamo rallegrarci: per risolvere i problemi relativi a un triangolo rettangolo, puoi semplicemente compilare le seguenti semplici cose:

E l'angolo? Esiste una gamba opposta all'angolo, cioè una gamba opposta (per un angolo)? Certo che sì! Questa è una gamba!

E l'angolo? Guarda attentamente. Quale gamba è adiacente all'angolo? Naturalmente, la gamba. Ciò significa che per l'angolo la gamba è adiacente e

Ora, fai attenzione! Guarda cosa abbiamo:

Guarda quanto è bello:

Passiamo ora a tangente e cotangente.

Come posso scriverlo a parole adesso? Qual è la gamba in relazione all'angolo? Di fronte, ovviamente, "si trova" di fronte all'angolo. E la gamba? Adiacente all'angolo. Allora cosa abbiamo?

Vedi come il numeratore e il denominatore si sono scambiati di posto?

E ora di nuovo i calci d'angolo e facciamo uno scambio:

Riepilogo

Scriviamo brevemente tutto ciò che abbiamo imparato.

Teorema di Pitagora:

Il teorema principale sui triangoli rettangoli è il teorema di Pitagora.

teorema di Pitagora

A proposito, ricordi bene cosa sono i cateti e l'ipotenusa? Se non è molto buono, guarda l'immagine: aggiorna le tue conoscenze

È del tutto possibile che tu abbia già usato il teorema di Pitagora molte volte, ma ti sei mai chiesto perché un simile teorema è vero? Come posso dimostrarlo? Facciamo come gli antichi greci. Disegniamo un quadrato con un lato.

Guarda con quanta intelligenza abbiamo diviso i suoi lati in lunghezze e!

Ora colleghiamo i punti contrassegnati

Qui però abbiamo notato qualcos'altro, ma tu stesso guardi il disegno e pensi perché è così.

Qual è l'area del quadrato più grande?

Giusto, .

E che dire di un'area più piccola?

Certamente, .

Rimane l'area totale dei quattro angoli. Immagina di prenderli due alla volta e di appoggiarli l'uno contro l'altro con le loro ipotenuse.

Quello che è successo? Due rettangoli. Ciò significa che l'area dei “tagli” è uguale.

Mettiamo tutto insieme adesso.

Trasformiamo:

Quindi abbiamo visitato Pitagora: abbiamo dimostrato il suo teorema in modo antico.

Triangolo rettangolo e trigonometria

Per un triangolo rettangolo valgono le seguenti relazioni:

Il seno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa

Il coseno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa.

La tangente di un angolo acuto è uguale al rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente.

La cotangente di un angolo acuto è uguale al rapporto tra il lato adiacente e il lato opposto.

E ancora una volta tutto questo sotto forma di tablet:

È molto comodo!

Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli

I. Su due lati

II. Per cateto e ipotenusa

III. Per ipotenusa e angolo acuto

IV. Lungo la gamba e l'angolo acuto

UN)

B)

Attenzione! È molto importante qui che le gambe siano "adeguate". Ad esempio, se funziona così:

ALLORA I TRIANGOLI NON SONO UGUALI, nonostante abbiano un angolo acuto identico.

Bisogno di in entrambi i triangoli la gamba era adiacente, oppure in entrambi era opposta.

Hai notato come i segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli differiscono dai soliti segni di uguaglianza dei triangoli?

Dai un'occhiata all'argomento “e presta attenzione al fatto che per l'uguaglianza dei triangoli “ordinari”, tre dei loro elementi devono essere uguali: due lati e l'angolo tra loro, due angoli e il lato tra loro, o tre lati.

Ma per l'uguaglianza dei triangoli rettangoli bastano solo due elementi corrispondenti. Fantastico, vero?

La situazione è più o meno la stessa con i segni di somiglianza dei triangoli rettangoli.

Segni di somiglianza dei triangoli rettangoli

I. Lungo un angolo acuto

II. Su due lati

III. Per cateto e ipotenusa

Mediana in un triangolo rettangolo

Perché è così?

Invece di un triangolo rettangolo, considera un intero rettangolo.

Disegniamo una diagonale e consideriamo un punto: il punto di intersezione delle diagonali. Cosa sai delle diagonali di un rettangolo?

E cosa ne consegue?

Quindi si è scoperto che

1. - mediana:

Ricorda questo fatto! Aiuta molto!

Ciò che è ancora più sorprendente è che è vero anche il contrario.

Che vantaggio si può ottenere dal fatto che la mediana tracciata verso l'ipotenusa è pari alla metà dell'ipotenusa? Diamo un'occhiata alla foto

Guarda attentamente. Abbiamo: , cioè le distanze dal punto a tutti e tre i vertici del triangolo sono risultate uguali. Ma c'è solo un punto nel triangolo, le cui distanze da tutti e tre i vertici del triangolo sono uguali, e questo è il CENTRO DEL CERCHIO. Allora, cos'è successo?

Allora cominciamo con questo “oltre a...”.

Diamo un'occhiata e.

Ma i triangoli simili hanno tutti gli angoli uguali!

Lo stesso si può dire di e

Ora disegniamolo insieme:

Quale vantaggio può derivare da questa “triplice” somiglianza?

Beh, per esempio... due formule per l'altezza di un triangolo rettangolo.

Scriviamo le relazioni delle parti corrispondenti:

Per trovare l'altezza, risolviamo la proporzione e otteniamo la prima formula "Altezza in un triangolo rettangolo":

Bene, ora, applicando e combinando questa conoscenza con altre, risolverai qualsiasi problema con un triangolo rettangolo!

Quindi, applichiamo la somiglianza: .

Cosa succederà adesso?

Ancora una volta risolviamo la proporzione e otteniamo la seconda formula:

È necessario ricordare molto bene entrambe le formule e utilizzare quella più conveniente.

Scriviamoli di nuovo

Teorema di Pitagora:

In un triangolo rettangolo il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti: .

Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli:

• su due lati:
• per gamba e ipotenusa: o
• lungo la gamba e l'angolo acuto adiacente: o
• lungo la gamba e l'angolo acuto opposto: o
• per ipotenusa e angolo acuto: o.

Segni di somiglianza dei triangoli rettangoli:

• un angolo acuto: o
• dalla proporzionalità di due gambe:
• dalla proporzionalità del cateto e dell'ipotenusa: o.

Seno, coseno, tangente, cotangente in un triangolo rettangolo

• Il seno di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa:
• Il coseno di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa:
• La tangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente:
• La cotangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra il lato adiacente e il lato opposto: .

Altezza di un triangolo rettangolo: o.

In un triangolo rettangolo la mediana ricavata dal vertice dell'angolo retto è pari alla metà dell'ipotenusa: .

Area di un triangolo rettangolo:

• tramite le gambe:

(ABC) e le sue proprietà, presentate in figura. Triangolo rettangolo ha un'ipotenusa, il lato opposto all'angolo retto.

Suggerimento 1: come trovare l'altezza di un triangolo rettangolo

I lati che formano un angolo retto si chiamano gambe. L'immagine mostra i lati DC, DC e BD, DC- gambe e fianchi AC E NE- ipotenusa.

Teorema 1. In un triangolo rettangolo con un angolo di 30°, il cateto opposto a questo angolo romperà metà dell'ipotenusa.

hC

AB- ipotenusa;

ANNO DOMINI E DВ

Triangolo
Esiste un teorema:
sistema di commenti RISCHIAREE

Soluzione: 1) Le diagonali di qualsiasi rettangolo sono uguali Vero 2) Se un triangolo ha un angolo acuto, allora questo triangolo è acuto. Non vero. Tipi di triangoli. Un triangolo si dice acuto se tutti e tre i suoi angoli sono acuti, cioè minori di 90° 3) Se il punto giace su.

Oppure, in un'altra voce,

Secondo il teorema di Pitagora

Qual è la formula per calcolare l'altezza di un triangolo rettangolo?

Altezza di un triangolo rettangolo

L'altezza di un triangolo rettangolo disegnato rispetto all'ipotenusa può essere trovata in un modo o nell'altro a seconda dei dati contenuti nella formulazione del problema.

Oppure, in un'altra voce,

Dove BK e KC sono le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa (i segmenti in cui l'altezza divide l'ipotenusa).

L'altezza dell'ipotenusa può essere trovata attraverso l'area di un triangolo rettangolo. Se applichiamo la formula per trovare l'area di un triangolo

(metà del prodotto di un lato e l'altezza portata a questo lato) per l'ipotenusa e l'altezza portata all'ipotenusa, otteniamo:

Da qui possiamo trovare l'altezza come rapporto tra il doppio dell'area del triangolo e la lunghezza dell'ipotenusa:

Poiché l'area di un triangolo rettangolo è pari alla metà del prodotto delle gambe:

Cioè, la lunghezza dell'altezza portata all'ipotenusa è uguale al rapporto tra il prodotto dei cateti e l'ipotenusa. Se indichiamo le lunghezze dei cateti con a e b, la lunghezza dell'ipotenusa con c, la formula può essere riscritta come

Poiché il raggio della circonferenza circoscritta di un triangolo rettangolo è uguale alla metà dell'ipotenusa, la lunghezza dell'altezza può essere espressa in termini di cateti e raggio della circonferenza circoscritta:

Poiché l'altezza portata all'ipotenusa forma altri due triangoli rettangoli, la sua lunghezza può essere trovata attraverso le relazioni nel triangolo rettangolo.

Dal triangolo rettangolo ABK

Dal triangolo rettangolo ACK

La lunghezza dell'altezza di un triangolo rettangolo può essere espressa in termini di lunghezze delle gambe. Perché

Secondo il teorema di Pitagora

Se eleviamo al quadrato entrambi i lati dell'equazione:

Puoi ottenere un'altra formula per mettere in relazione l'altezza di un triangolo rettangolo con le sue gambe:

Qual è la formula per calcolare l'altezza di un triangolo rettangolo?

Triangolo rettangolo. Livello medio.

Vuoi mettere alla prova la tua forza e scoprire il risultato di quanto sei pronto per l'Esame di Stato Unificato o l'Esame di Stato Unificato?

Il teorema principale sui triangoli rettangoli è il teorema di Pitagora.

teorema di Pitagora

A proposito, ricordi bene cosa sono i cateti e l'ipotenusa? Se non è molto buono, guarda l'immagine: aggiorna le tue conoscenze

È del tutto possibile che tu abbia già usato il teorema di Pitagora molte volte, ma ti sei mai chiesto perché un simile teorema è vero? Come posso dimostrarlo? Facciamo come gli antichi greci. Disegniamo un quadrato con un lato.

Guarda con quanta intelligenza abbiamo diviso i suoi lati in lunghezze e!

Ora colleghiamo i punti contrassegnati

Qui però abbiamo notato qualcos'altro, ma tu stesso guardi il disegno e pensi perché è così.

Qual è l'area del quadrato più grande? Giusto, . E che dire di un'area più piccola? Certamente, . Rimane l'area totale dei quattro angoli. Immagina di prenderli due alla volta e di appoggiarli l'uno contro l'altro con le loro ipotenuse. Quello che è successo? Due rettangoli. Ciò significa che l'area dei “tagli” è uguale.

Mettiamo tutto insieme adesso.

Quindi abbiamo visitato Pitagora: abbiamo dimostrato il suo teorema in modo antico.

Triangolo rettangolo e trigonometria

Per un triangolo rettangolo valgono le seguenti relazioni:

Il seno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa

Il coseno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa.

La tangente di un angolo acuto è uguale al rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente.

La cotangente di un angolo acuto è uguale al rapporto tra il lato adiacente e il lato opposto.

E ancora una volta tutto questo sotto forma di tablet:

Hai notato una cosa molto comoda? Osserva attentamente il cartello.

È molto comodo!

Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli

II. Per cateto e ipotenusa

III. Per ipotenusa e angolo acuto

IV. Lungo la gamba e l'angolo acuto

Attenzione! È molto importante qui che le gambe siano "adeguate". Ad esempio, se funziona così:

ALLORA I TRIANGOLI NON SONO UGUALI, nonostante abbiano un angolo acuto identico.

Bisogno di In entrambi i triangoli la gamba era adiacente, oppure in entrambi era opposta.

Hai notato come i segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli differiscono dai soliti segni di uguaglianza dei triangoli? Dai un'occhiata all'argomento "Triangolo" e presta attenzione al fatto che per l'uguaglianza dei triangoli "ordinari", tre dei loro elementi devono essere uguali: due lati e l'angolo tra loro, due angoli e il lato tra loro, o tre lati. Ma per l'uguaglianza dei triangoli rettangoli bastano solo due elementi corrispondenti. Fantastico, vero?

La situazione è più o meno la stessa con i segni di somiglianza dei triangoli rettangoli.

Segni di somiglianza dei triangoli rettangoli

III. Per cateto e ipotenusa

Mediana in un triangolo rettangolo

Invece di un triangolo rettangolo, considera un intero rettangolo.

Disegniamo una diagonale e consideriamo il punto in cui le diagonali si intersecano. Cosa sai delle diagonali di un rettangolo?

Il punto di intersezione delle diagonali è diviso a metà e le diagonali sono uguali.

E cosa ne consegue?

Quindi si è scoperto che

Ricorda questo fatto! Aiuta molto!

Ciò che è ancora più sorprendente è che è vero anche il contrario.

Che vantaggio si può ottenere dal fatto che la mediana tracciata verso l'ipotenusa è pari alla metà dell'ipotenusa? Diamo un'occhiata alla foto

Guarda attentamente. Abbiamo: , cioè le distanze dal punto a tutti e tre i vertici del triangolo sono risultate uguali. Ma c'è solo un punto nel triangolo, le cui distanze da tutti e tre i vertici del triangolo sono uguali, e questo è il CENTRO DEL CERCHIO. Allora, cos'è successo?

Cominciamo con questo “inoltre”. "

Ma i triangoli simili hanno tutti gli angoli uguali!

Lo stesso si può dire di e

Ora disegniamolo insieme:

Hanno gli stessi angoli acuti!

Quale vantaggio può derivare da questa “triplice” somiglianza?

Beh, per esempio... Due formule per l'altezza di un triangolo rettangolo.

Scriviamo le relazioni delle parti corrispondenti:

Per trovare l'altezza, risolviamo la proporzione e otteniamo La prima formula "Altezza in un triangolo rettangolo":

Come ottenerne un secondo?

Ora applichiamo la somiglianza dei triangoli e.

Quindi, applichiamo la somiglianza: .

Cosa succederà adesso?

Ancora una volta risolviamo la proporzione e otteniamo la seconda formula "Altezza in un triangolo rettangolo":

È necessario ricordare molto bene entrambe le formule e utilizzare quella più conveniente. Scriviamoli di nuovo

Bene, ora, applicando e combinando questa conoscenza con altre, risolverai qualsiasi problema con un triangolo rettangolo!

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Proprietà dell'altezza di un triangolo rettangolo ridotta all'ipotenusa

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Proprietà di un triangolo rettangolo

Considera un triangolo rettangolo (ABC) e le sue proprietà, presentate in figura. Un triangolo rettangolo ha un'ipotenusa, il lato opposto all'angolo retto. I lati che formano un angolo retto si chiamano gambe. L'immagine mostra i lati DC, DC e BD, DC- gambe e fianchi AC E NE- ipotenusa.

Segni di uguaglianza di un triangolo rettangolo:

Teorema 1. Se l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo sono simili all'ipotenusa e al cateto di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

Teorema 2. Se due cateti di un triangolo rettangolo sono uguali a due cateti di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

Teorema 3. Se l'ipotenusa e l'angolo acuto di un triangolo rettangolo sono simili all'ipotenusa e all'angolo acuto di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

Teorema 4. Se una gamba e un angolo acuto adiacente (opposto) di un triangolo rettangolo sono uguali a una gamba e un angolo acuto adiacente (opposto) di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

Proprietà di una gamba opposta ad un angolo di 30°:

Teorema 1.

Altezza in un triangolo rettangolo

In un triangolo rettangolo con un angolo di 30°, il cateto opposto a questo angolo rompe metà dell'ipotenusa.

Teorema 2. Se in un triangolo rettangolo il cateto è uguale alla metà dell'ipotenusa, allora l'angolo opposto è 30°.

Se si traccia l'altezza dal vertice dell'angolo retto all'ipotenusa, tale triangolo viene diviso in due più piccoli, simili a quello uscente e simili tra loro. Da ciò discendono le seguenti conclusioni:

1. L'altezza è la media geometrica (media proporzionale) dei due segmenti dell'ipotenusa.
2. Ogni cateto del triangolo è medio proporzionale all'ipotenusa e ai segmenti adiacenti.

In un triangolo rettangolo i cateti fungono da altezze. L'ortocentro è il punto in cui avviene l'intersezione delle altezze del triangolo. Coincide con il vertice dell'angolo retto della figura.

hC- l'altezza emergente dall'angolo retto del triangolo;

AB- ipotenusa;

ANNO DOMINI E DВ- segmenti che si formano dividendo l'ipotenusa per l'altezza.

Torna alla visualizzazione delle informazioni sulla disciplina "Geometria"

Triangolo- Questo figura geometrica, costituito da tre punti (vertici) che non si trovano sulla stessa retta e da tre segmenti che collegano questi punti. Un triangolo rettangolo è un triangolo che ha uno dei suoi angoli a 90° (un angolo retto).
Esiste un teorema: la somma degli angoli acuti di un triangolo rettangolo è 90°.
sistema di commenti RISCHIAREE

Parole chiave: triangolo, angolo retto, cateto, ipotenusa, teorema di Pitagora, cerchio

Il triangolo si chiama rettangolare se ha un angolo retto.
Un triangolo rettangolo ha due lati reciprocamente perpendicolari chiamati gambe; si chiama il suo terzo lato ipotenusa.

• Secondo le proprietà della perpendicolare e dell'obliquo, l'ipotenusa è più lunga di ciascuno dei cateti (ma inferiore alla loro somma).
• La somma di due angoli acuti di un triangolo rettangolo è uguale ad un angolo retto.
• Due altezze di un triangolo rettangolo coincidono con i suoi cateti. Pertanto uno dei quattro punti notevoli cade ai vertici dell'angolo retto del triangolo.
• Il circocentro di un triangolo rettangolo si trova al centro dell'ipotenusa.
• La mediana di un triangolo rettangolo disegnato dal vertice dell'angolo retto all'ipotenusa è il raggio del cerchio circoscritto a questo triangolo.

Considera un triangolo rettangolo ABC arbitrario e traccia l'altezza CD = hc dal vertice C del suo angolo retto.

Dividerà il triangolo dato in due triangoli rettangoli ACD e BCD; ciascuno di questi triangoli ha un angolo acuto in comune con il triangolo ABC ed è quindi simile al triangolo ABC.

Tutti e tre i triangoli ABC, ACD e BCD sono simili tra loro.

Dalla somiglianza dei triangoli si determinano le seguenti relazioni:

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• c = ac + bc;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

teorema di Pitagora uno dei teoremi fondamentali della geometria euclidea, che stabilisce la relazione tra i lati di un triangolo rettangolo.

Formulazione geometrica. In un triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

Formulazione algebrica. In un triangolo rettangolo il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti.
Cioè, indicando la lunghezza dell'ipotenusa del triangolo con c e le lunghezze dei cateti con a e b:
a2 + b2 = c2

Teorema di Pitagora inverso.

Altezza di un triangolo rettangolo

Per ogni terna di numeri positivi a, b e c tale che
a2 + b2 = c2,
Esiste un triangolo rettangolo con i cateti a e b e l'ipotenusa c.

Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli:

• lungo la gamba e l'ipotenusa;
• su due gambe;
• lungo la gamba e l'angolo acuto;
• lungo l'ipotenusa e l'angolo acuto.

Guarda anche:
Area di un triangolo, Triangolo isoscele, Triangolo equilatero

Geometria. 8 Classe. Test 4. Opzione 1 .

ANNO DOMINI : CD = CD : B.D. Quindi CD2 = AD ∙ B.D. Dicono:

ANNO DOMINI : CA = CA : AB. Quindi AC2 = AB ∙ ANNO DOMINI. Dicono:

B.D : a.C. = a.C : AB. Quindi BC2 = AB ∙ B.D.

Risolvere problemi:

1.

UN) 70cm; B) 55cm; C) 65cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. L'altezza di un triangolo rettangolo portato all'ipotenusa divide l'ipotenusa nei segmenti 9 e 36.

Determina la lunghezza di questa altezza.

UN) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4.

UN) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5.

UN) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6.

UN) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7.

8. La gamba di un triangolo rettangolo è 30.

Come trovare l'altezza in un triangolo rettangolo?

Trova la distanza dal vertice dell'angolo retto all'ipotenusa se il raggio del cerchio circoscritto a questo triangolo è 17.

UN) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

UN) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

UN) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

UN) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Controlla le risposte!

G8.04.1. Segmenti proporzionali in un triangolo rettangolo

Geometria. 8 Classe. Test 4. Opzione 1 .

In Δ ABC ∠ACV = 90°. cateti AC e BC, ipotenusa AB.

CD è l'altezza del triangolo disegnato rispetto all'ipotenusa.

Proiezione AD della gamba AC sull'ipotenusa,

Proiezione BD del cateto BC sull'ipotenusa.

L'altitudine CD divide il triangolo ABC in due triangoli simili ad esso (e tra loro): Δ ADC e Δ CDB.

Dalla proporzionalità dei lati di Δ ADC e Δ CDB simili segue:

ANNO DOMINI : CD = CD : B.D.

Proprietà dell'altezza di un triangolo rettangolo ridotta all'ipotenusa.

Quindi CD2 = AD ∙ B.D. Dicono: altezza di un triangolo rettangolo legato all'ipotenusa,è il valore proporzionale medio tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

Dalla somiglianza di Δ ADC e Δ ACB segue:

ANNO DOMINI : CA = CA : AB. Quindi AC2 = AB ∙ ANNO DOMINI. Dicono: ogni gamba è il valore medio proporzionale tra l'intera ipotenusa e la proiezione di questa gamba sull'ipotenusa.

Allo stesso modo, dalla somiglianza di Δ CDB e Δ ACB segue:

B.D : a.C. = a.C : AB. Quindi BC2 = AB ∙ B.D.

Risolvere problemi:

1. Trova l'altezza di un triangolo rettangolo legato all'ipotenusa se divide l'ipotenusa in segmenti di 25 cm e 81 cm.

UN) 70cm; B) 55cm; C) 65cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. L'altezza di un triangolo rettangolo disegnato attorno all'ipotenusa divide l'ipotenusa nei segmenti 9 e 36. Determina la lunghezza di questa altezza.

UN) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. L'altezza di un triangolo rettangolo portato all'ipotenusa è 22, la proiezione di uno dei cateti è 16. Trova la proiezione dell'altro cateto.

UN) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. Il cateto di un triangolo rettangolo è 18 e la sua proiezione sull'ipotenusa è 12. Trova l'ipotenusa.

UN) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. L'ipotenusa è uguale a 32. Trova il lato la cui proiezione sull'ipotenusa è uguale a 2.

UN) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. L'ipotenusa di un triangolo rettangolo è 45. Trova il lato la cui proiezione sull'ipotenusa è 9.

8. La gamba di un triangolo rettangolo è 30. Trova la distanza dal vertice dell'angolo retto all'ipotenusa se il raggio del cerchio circoscritto a questo triangolo è 17.

UN) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. L'ipotenusa di un triangolo rettangolo è 41 e la proiezione di uno dei cateti è 16. Trova la lunghezza dell'altitudine tracciata dal vertice dell'angolo retto all'ipotenusa.

UN) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

UN) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. La differenza tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa è 15 e la distanza dal vertice dell'angolo retto all'ipotenusa è 4. Trova il raggio del cerchio circoscritto.

UN) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Triangolo rettangolo- questo è un triangolo in cui uno degli angoli è dritto, cioè uguale a 90 gradi.

• Il lato opposto all'angolo retto è chiamato ipotenusa (nella figura indicato come C o AB)
• Il lato adiacente all'angolo retto si chiama gamba. Ogni triangolo rettangolo ha due cateti (nella figura sono indicati come UN e b o AC e BC)

Formule e proprietà del triangolo rettangolo

(vedi foto sopra)

un, b- cateti di un triangolo rettangolo

C- ipotenusa

α, β - angoli acuti di un triangolo

S- piazza

H- altezza ribassata dal vertice di un angolo retto all'ipotenusa

ma un UN dall'angolo opposto ( α )

m b- mediana tirata di lato B dall'angolo opposto ( β )

mc- mediana tirata di lato C dall'angolo opposto ( γ )

IN triangolo rettangolo uno qualsiasi dei cateti è minore dell'ipotenusa(Formula 1 e 2). Questa proprietàè una conseguenza del teorema di Pitagora.

Coseno di uno qualsiasi degli angoli acuti meno di uno (Formula 3 e 4). Questa proprietà segue dalla precedente. Poiché uno qualsiasi dei cateti è inferiore all'ipotenusa, il rapporto tra cateto e ipotenusa è sempre inferiore a uno.

Il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti (teorema di Pitagora). (Formula 5). Questa proprietà viene costantemente utilizzata durante la risoluzione dei problemi.

Area di un triangolo rettangolo pari alla metà del prodotto delle gambe (Formula 6)

Somma delle mediane quadrate alle gambe è pari a cinque quadrati della mediana rispetto all'ipotenusa e cinque quadrati dell'ipotenusa divisi per quattro (Formula 7). In aggiunta a quanto sopra, c'è Altre 5 formule, pertanto, si consiglia di leggere anche la lezione "Mediana di un triangolo rettangolo", che descrive le proprietà della mediana in modo più dettagliato.

Altezza di un triangolo rettangolo è uguale al prodotto dei cateti diviso per l'ipotenusa (Formula 8)

I quadrati dei cateti sono inversamente proporzionali al quadrato dell'altezza abbassata all'ipotenusa (Formula 9). Questa identità è anche una delle conseguenze del teorema di Pitagora.

Lunghezza dell'ipotenusa pari al diametro (due raggi) del cerchio circoscritto (Formula 10). Ipotenusa di un triangolo rettangolo è il diametro della circonferenza circoscritta. Questa proprietà viene spesso utilizzata nella risoluzione dei problemi.

Raggio inscritto V triangolo rettangolo cerchio può essere trovato come metà dell'espressione inclusa la somma dei cateti di questo triangolo meno la lunghezza dell'ipotenusa. Oppure come il prodotto delle gambe diviso per la somma di tutti i lati (perimetro) di un dato triangolo. (Formula 11)
Seno dell'angolo rapporto al contrario questo angolo gamba all'ipotenusa(per definizione di seno). (Formula 12). Questa proprietà viene utilizzata durante la risoluzione dei problemi. Conoscendo le dimensioni dei lati, puoi trovare l'angolo che formano.

Il coseno dell'angolo A (α, alfa) in un triangolo rettangolo sarà uguale a atteggiamento adiacente questo angolo gamba all'ipotenusa(per definizione di seno). (Formula 13)

Triangoli.

Concetti basilari.

Triangoloè una figura composta da tre segmenti e tre punti che non giacciono sulla stessa retta.

I segmenti vengono chiamati partiti, e i punti sono picchi.

Somma degli angoli il triangolo è 180º.

Altezza del triangolo.

Altezza del triangolo- questa è una perpendicolare tracciata dal vertice al lato opposto.

In un triangolo acuto l'altezza è contenuta all'interno del triangolo (Fig. 1).

In un triangolo rettangolo, le gambe sono le altezze del triangolo (Fig. 2).

In un triangolo ottuso l'altitudine si estende all'esterno del triangolo (Fig. 3).

Proprietà dell'altezza di un triangolo:

Bisettrice di un triangolo.

Bisettrice di un triangolo- si tratta di un segmento che divide a metà l'angolo del vertice e collega il vertice ad un punto sul lato opposto (Fig. 5).

Proprietà della bisettrice:

Mediana di un triangolo.

Mediana di un triangolo- questo è un segmento che collega il vertice con il centro del lato opposto (Fig. 9a).

La linea mediana del triangolo.

Linea mediana del triangolo- questo è un segmento che collega i punti medi dei suoi due lati (Fig. 10).

La linea mediana del triangolo è parallela al terzo lato e pari alla metà di esso

Angolo esterno di un triangolo.

Angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma di due angoli interni non adiacenti (Fig. 11).

Un angolo esterno di un triangolo è maggiore di qualsiasi angolo non adiacente.

Triangolo rettangolo.

Triangolo rettangoloè un triangolo che ha un angolo retto (Fig. 12).

Si chiama il lato di un triangolo rettangolo opposto all'angolo retto ipotenusa.

Vengono chiamati gli altri due lati gambe.

Segmenti proporzionali in un triangolo rettangolo.

1) In un triangolo rettangolo, l'altitudine tracciata dall'angolo retto forma tre triangoli simili: ABC, ACH e HCB (Fig. 14a). Pertanto gli angoli formati dall'altezza sono uguali agli angoli A e B.

Fig.14a

Triangolo isoscele.

Triangolo isosceleè un triangolo i cui due lati sono uguali (Fig. 13).

Questi lati uguali sono chiamati lati, e il terzo - base triangolo.

In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali. (Nel nostro triangolo, l'angolo A è uguale all'angolo C).

In un triangolo isoscele la mediana portata alla base è sia la bisettrice che l'altezza del triangolo.

Triangolo equilatero.

Un triangolo equilatero è un triangolo in cui tutti i lati sono uguali (Fig. 14).

Proprietà di un triangolo equilatero:

Proprietà notevoli dei triangoli.

I triangoli hanno proprietà uniche che ti aiuteranno a risolvere con successo i problemi che coinvolgono queste forme. Alcune di queste proprietà sono descritte sopra. Ma li ripetiamo ancora, aggiungendovi alcune altre meravigliose caratteristiche:

Segni di uguaglianza dei triangoli.

Primo segno di uguaglianza: se due lati e l'angolo formato da un triangolo sono uguali a due lati e l'angolo formato da un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

Secondo segno di uguaglianza: se un lato e gli angoli adiacenti di un triangolo sono uguali al lato e gli angoli adiacenti di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

Terzo segno di uguaglianza: Se tre lati di un triangolo sono uguali a tre lati di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

Disuguaglianza del triangolo.

In ogni triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due lati.

Teorema di Pitagora.

In un triangolo rettangolo il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti:

C 2 = UN 2 + B 2 .

Area di un triangolo.

1) L'area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto del suo lato per l'altezza tracciata su questo lato:

ah
S = ——
2

2) L'area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto di due qualsiasi dei suoi lati e del seno dell'angolo compreso tra loro:

1
S = — AB · AC. · peccato UN
2

Un triangolo circoscritto ad un cerchio.

Un cerchio si dice inscritto in un triangolo se ne tocca tutti i lati (Fig. 16 UN).

Un triangolo inscritto in un cerchio.

Un triangolo si dice inscritto in una circonferenza se la tocca con tutti i suoi vertici (Fig. 17 UN).

Seno, coseno, tangente, cotangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo (Fig. 18).

Seno angolo acuto X opposto gamba all'ipotenusa.
È indicato come segue: peccatoX.

Coseno angolo acuto X di un triangolo rettangolo è il rapporto adiacente gamba all'ipotenusa.
Indicato come segue: cos X.

Tangente angolo acuto X- questo è il rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente.
È designato come segue: tgX.

Cotangente angolo acuto X- questo è il rapporto tra il lato adiacente e il lato opposto.
È designato come segue: ctgX.

Regole:

Gamba opposta all'angolo X, è uguale al prodotto dell'ipotenusa per il peccato X:

b = c peccato X

Gamba adiacente all'angolo X, è uguale al prodotto dell'ipotenusa e del cos X:

un = c cos X

Gamba opposta all'angolo X, è uguale al prodotto della seconda tappa per tg X:

b = a tg X

Gamba adiacente all'angolo X, è uguale al prodotto della seconda gamba per ctg X:

un = b· ctg X.

Per qualsiasi angolo acuto X:

peccato (90° - X) = cos X

cos (90° - X) = peccato X