Vectori pe un plan și în spațiu - definiții de bază. Vectori pentru examenul de stat unificat la matematică

În acest articol vom oferi definiția unui vector din punct de vedere al geometriei, precum și principalele concepte aferente. În plan și în spațiu, un vector este un obiect geometric cu drepturi depline, adică are contururi foarte reale, pe care le veți vedea în ilustrațiile grafice furnizate.

Definiție.

Vector este un segment drept direcționat.

Adică luăm un segment pe un plan sau în spațiu ca vector, considerând că unul dintre punctele sale de limită este începutul și celălalt capătul.

Pentru a desemna vectori, vom folosi litere latine mici cu o săgeată deasupra lor, de exemplu. Dacă sunt date punctele de limită ale începutului și sfârșitului segmentului, de exemplu A și B, atunci vom nota vectorul ca .

Definiție.

Vector zero este orice punct dintr-un plan sau spațiu.

Definiție.

Lungimea vectorului este un număr nenegativ egal cu lungimea segmentului AB.

Vom nota lungimea vectorului ca .

Deoarece desemnarea pentru lungimea unui vector coincide exact cu semnul modulului, puteți auzi că lungimea vectorului se numește modulul vectorului. Cu toate acestea, vă recomandăm să utilizați termenul „lungime vector”. Lungimea vectorului zero este zero.

Definiție.

Cei doi vectori sunt numiți coliniare, dacă se află fie pe aceeași dreaptă, fie pe drepte paralele.

Definiție.

Cei doi vectori sunt numiți necoliniare, dacă nu se află pe aceeași linie sau pe aceleași linii paralele.

Vectorul nul este coliniar cu orice alt vector.

Definiție.

co-regizat, dacă direcțiile lor coincid și denotă .

Definiție.

Se numesc doi vectori coliniari îndreptată opus, dacă direcțiile lor sunt opuse și denotă .

Definiție.

Cei doi vectori sunt numiți egal, dacă sunt codirecționale și lungimile lor sunt egale.

Definiție.

Cei doi vectori sunt numiți opus, dacă sunt direcționate opus și lungimile lor sunt egale.

Conceptul de vectori egali ne oferă posibilitatea de a lua în considerare vectorii fără referire la puncte specifice. Cu alte cuvinte, avem posibilitatea de a înlocui un vector cu un vector egal reprezentat din orice punct.

Să fie doi vectori arbitrari pe un plan sau în spațiu. Să trasăm vectorii și dintr-un punct O al planului sau spațiului. Razele OA și OB formează un unghi.

În acest articol, vom începe să discutăm despre o „baghetă magică” care vă va permite să reduceți multe probleme de geometrie la aritmetică simplă. Acest „băț” îți poate face viața mult mai ușoară, mai ales când nu te simți sigur că construiești figuri spațiale, secțiuni etc. Toate acestea necesită o anumită imaginație și abilități practice. Metoda pe care vom începe să o luăm în considerare aici vă va permite să abstrageți aproape complet de toate tipurile de construcții și raționamente geometrice. Metoda este numită "metoda coordonate". În acest articol vom lua în considerare următoarele întrebări:

Planul de coordonate
Puncte și vectori în plan
Construirea unui vector din două puncte
Lungimea vectorului (distanța dintre două puncte).
Coordonatele mijlocului segmentului
Produsul punctual al vectorilor
Unghiul dintre doi vectori

Cred că ai ghicit deja de ce metoda coordonatelor se numește așa? Așa este, a primit acest nume pentru că nu operează cu obiecte geometrice, ci cu caracteristicile lor numerice (coordonatele). Iar transformarea în sine, care ne permite să trecem de la geometrie la algebră, constă în introducerea unui sistem de coordonate. Dacă figura originală era plată, atunci coordonatele sunt bidimensionale, iar dacă figura este tridimensională, atunci coordonatele sunt tridimensionale. În acest articol vom lua în considerare doar cazul bidimensional. Și scopul principal al articolului este să vă învețe cum să utilizați câteva tehnici de bază ale metodei coordonatelor (uneori se dovedesc a fi utile atunci când rezolvați probleme de planimetrie din partea B a examenului de stat unificat). Următoarele două secțiuni pe acest subiect sunt dedicate unei discuții despre metodele de rezolvare a problemelor C2 (problema stereometriei).

Unde ar fi logic să începem să discutăm despre metoda coordonatelor? Probabil din conceptul de sistem de coordonate. Amintește-ți când ai întâlnit-o pentru prima dată. Mi se pare că în clasa a VII-a, când ai aflat despre existența unei funcții liniare, de exemplu. Permiteți-mi să vă reamintesc că ați construit-o punct cu punct. Vă amintiți? Ai ales un număr arbitrar, l-ai înlocuit în formulă și l-ai calculat în acest fel. De exemplu, dacă, atunci, dacă, atunci etc. Ce ai obținut până la urmă? Și ați primit puncte cu coordonate: și. Apoi, ați desenat o „cruce” (sistem de coordonate), ați ales o scară pe ea (câte celule veți avea ca segment unitar) și ați marcat punctele pe care le-ați obținut pe ea, pe care apoi le-ați conectat cu o linie dreaptă; rezultatul linia este graficul funcției.

Există câteva puncte aici care ar trebui să vă fie explicate puțin mai detaliat:

1. Alegeți un singur segment din motive de comoditate, astfel încât totul să se potrivească frumos și compact în desen.

2. Se acceptă că axa merge de la stânga la dreapta, iar axa merge de jos în sus

3. Se intersectează în unghi drept, iar punctul lor de intersecție se numește origine. Este indicat printr-o literă.

4. În scrierea coordonatelor unui punct, de exemplu, în stânga între paranteze există coordonatele punctului de-a lungul axei, iar în dreapta, de-a lungul axei. În special, înseamnă pur și simplu că la punctul

5. Pentru a specifica orice punct de pe axa de coordonate, trebuie să indicați coordonatele acestuia (2 numere)

6. Pentru orice punct situat pe axă,

7. Pentru orice punct situat pe axă,

8. Axa se numește axa x

9. Axa se numește axa y

Acum să facem următorul pas: marcați două puncte. Să conectăm aceste două puncte cu un segment. Și vom pune săgeata ca și cum am fi desenat un segment din punct în punct: adică ne vom face segmentul direcționat!

Vă amintiți cum se numește alt segment direcțional? Așa e, se numește vector!

Deci, dacă conectăm punct cu punct, iar începutul va fi punctul A, iar sfârșitul va fi punctul B, atunci obținem un vector. Construcția asta ați făcut-o și în clasa a VIII-a, vă amintiți?

Se pare că vectorii, ca și punctele, pot fi notați cu două numere: aceste numere se numesc coordonate vectoriale. Întrebare: Crezi că este suficient să cunoaștem coordonatele începutului și sfârșitului unui vector pentru a-i găsi coordonatele? Se dovedește că da! Și acest lucru se face foarte simplu:

Astfel, deoarece într-un vector punctul este începutul și punctul este sfârșitul, vectorul are următoarele coordonate:

De exemplu, dacă, atunci coordonatele vectorului

Acum să facem invers, să găsim coordonatele vectorului. Ce trebuie să schimbăm pentru asta? Da, trebuie să schimbați începutul și sfârșitul: acum începutul vectorului va fi în punct, iar sfârșitul va fi în punct. Apoi:

Uită-te cu atenție, care este diferența dintre vectori și? Singura lor diferență sunt semnele din coordonate. Ele sunt opuse. Acest fapt este de obicei scris astfel:

Uneori, dacă nu este specificat în mod specific care punct este începutul vectorului și care este sfârșitul, atunci vectorii sunt notați nu cu două litere mari, ci cu o literă mică, de exemplu: , etc.

Acum puțin practicăși găsiți coordonatele următorilor vectori:

Examinare:

Acum rezolvă o problemă puțin mai dificilă:

Un vector cu un început într-un punct are un co-or-di-na-you. Găsiți punctele abs-cis-su.

La fel este destul de prozaic: fie coordonatele punctului. Apoi

Am compilat sistemul pe baza definiției a ceea ce sunt coordonatele vectoriale. Atunci punctul are coordonate. Ne interesează abscisa. Apoi

Răspuns:

Ce altceva poți face cu vectorii? Da, aproape totul este la fel ca cu numerele obișnuite (cu excepția faptului că nu poți împărți, dar poți înmulți în două moduri, dintre care unul îl vom discuta aici puțin mai târziu)

Vectorii pot fi adăugați unul altuia
Vectorii pot fi scăzuți unul de la altul
Vectorii pot fi înmulțiți (sau împărțiți) cu un număr arbitrar diferit de zero
Vectorii pot fi înmulțiți între ei

Toate aceste operații au o reprezentare geometrică foarte clară. De exemplu, regula triunghiului (sau paralelogramului) pentru adunare și scădere:

Un vector se întinde sau se contractă sau își schimbă direcția atunci când este înmulțit sau împărțit cu un număr:

Totuși, aici ne va interesa întrebarea ce se întâmplă cu coordonatele.

1. Când adunăm (scădem) doi vectori, adunăm (scădem) coordonatele acestora element cu element. Acesta este:

2. La înmulțirea (împărțirea) unui vector cu un număr, toate coordonatele acestuia sunt înmulțite (împărțite) cu acest număr:

De exemplu:

· Găsiți cantitatea de co-or-di-nat secol la ra.

Să găsim mai întâi coordonatele fiecărui vector. Ambele au aceeași origine - punctul de origine. Capatele lor sunt diferite. Apoi, . Acum să calculăm coordonatele vectorului, apoi suma coordonatelor vectorului rezultat este egală.

Răspuns:

Acum rezolvați singur următoarea problemă:

· Aflați suma coordonatelor vectoriale

Verificăm:

Să luăm acum în considerare următoarea problemă: avem două puncte pe planul de coordonate. Cum să găsești distanța dintre ele? Fie primul punct și al doilea. Să notăm distanța dintre ele cu. Să facem următorul desen pentru claritate:

Ce am facut? În primul rând, m-am conectat puncte și,a tot dintr-un punct am trasat o linie paralela cu axa, iar dintr-un punct am trasat o dreapta paralela cu axa. S-au intersectat într-un punct, formând o figură remarcabilă? Ce este atât de special la ea? Da, tu și cu mine știm aproape totul despre triunghi dreptunghic. Ei bine, teorema lui Pitagora cu siguranță. Segmentul necesar este ipotenuza acestui triunghi, iar segmentele sunt catetele. Care sunt coordonatele punctului? Da, sunt ușor de găsit din imagine: Deoarece segmentele sunt paralele cu axele și, respectiv, lungimile lor sunt ușor de găsit: dacă notăm lungimile segmentelor cu, respectiv, atunci

Acum să folosim teorema lui Pitagora. Cunoaștem lungimile catetelor, vom găsi ipotenuza:

Astfel, distanța dintre două puncte este rădăcina sumei diferențelor pătrate de la coordonate. Sau - distanța dintre două puncte este lungimea segmentului care le conectează. Este ușor de observat că distanța dintre puncte nu depinde de direcție. Apoi:

De aici tragem trei concluzii:

Să exersăm puțin despre calcularea distanței dintre două puncte:

De exemplu, dacă, atunci distanța dintre și este egală cu

Sau să mergem pe altă cale: găsiți coordonatele vectorului

Și găsiți lungimea vectorului:

După cum puteți vedea, este același lucru!

Acum exersează-te puțin:

Sarcină: găsiți distanța dintre punctele indicate:

Verificăm:

Iată încă câteva probleme folosind aceeași formulă, deși sună puțin diferit:

1. Aflați pătratul lungimii pleoapei.

2. Aflați pătratul lungimii pleoapei

Cred că te-ai descurcat cu ei fără dificultate? Verificăm:

1. Și asta pentru atenție) Am găsit deja coordonatele vectorilor mai devreme: . Atunci vectorul are coordonate. Pătratul lungimii sale va fi egal cu:

2. Aflați coordonatele vectorului

Atunci pătratul lungimii sale este

Nimic complicat, nu? Aritmetică simplă, nimic mai mult.

Următoarele probleme nu pot fi clasificate fără ambiguitate; ele sunt mai mult despre erudiția generală și capacitatea de a desena imagini simple.

1. Aflați sinusul unghiului de la tăietură, legând punctul, cu axa absciselor.

Și

Cum vom proceda aici? Trebuie să găsim sinusul unghiului dintre și axa. Unde putem căuta sine? Așa este, într-un triunghi dreptunghic. Deci, ce trebuie să facem? Construiește acest triunghi!

Deoarece coordonatele punctului sunt și, atunci segmentul este egal cu, și segmentul. Trebuie să găsim sinusul unghiului. Permiteți-mi să vă reamintesc că sinusul este raportul dintre latura opusă și ipotenuză

Ce ne mai rămâne de făcut? Aflați ipotenuza. Puteți face acest lucru în două moduri: folosind teorema lui Pitagora (picioarele sunt cunoscute!) sau folosind formula distanței dintre două puncte (de fapt, același lucru ca prima metodă!). Voi merge pe a doua cale:

Răspuns:

Următoarea sarcină ți se va părea și mai ușoară. Ea este pe coordonatele punctului.

Sarcina 2. Din punctul per-pen-di-ku-lyar-ul este coborât pe axa ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Hai sa facem un desen:

Baza unei perpendiculare este punctul în care se intersectează cu axa x (axa), pentru mine acesta este un punct. Figura arată că are coordonatele: . Ne interesează abscisa - adică componenta „x”. Ea este egală.

Răspuns: .

Sarcina 3.În condițiile problemei anterioare, găsiți suma distanțelor de la punct la axele de coordonate.

Sarcina este în general elementară dacă știți care este distanța de la un punct la axe. Ştii? Sper, dar tot iti amintesc:

Deci, în desenul meu de mai sus, am desenat deja o astfel de perpendiculară? Pe ce axa se afla? Spre axă. Și atunci ce lungime are? Ea este egală. Acum trageți singur o perpendiculară pe axă și găsiți-i lungimea. Va fi egal, nu? Atunci suma lor este egală.

Răspuns: .

Sarcina 4.În condițiile sarcinii 2, găsiți ordonata unui punct simetric față de punctul relativ la axa absciselor.

Cred că îți este clar intuitiv ce este simetria? Multe obiecte o au: multe clădiri, mese, avioane, multe figuri geometrice: bilă, cilindru, pătrat, romb etc. În linii mari, simetria poate fi înțeleasă astfel: o figură este formată din două (sau mai multe) jumătăți identice. Această simetrie se numește simetrie axială. Ce este atunci o axă? Aceasta este exact linia de-a lungul căreia figura poate fi, relativ vorbind, „tăiată” în jumătăți egale (în această imagine axa de simetrie este dreaptă):

Acum să revenim la sarcina noastră. Știm că căutăm un punct care este simetric față de axă. Atunci această axă este axa de simetrie. Aceasta înseamnă că trebuie să marchem un punct astfel încât axa să taie segmentul în două părți egale. Încercați să marcați singur un astfel de punct. Acum compară cu soluția mea:

La tine a mers la fel? Amenda! Ne interesează ordonata punctului găsit. Este egal

Răspuns:

Acum spuneți-mi, după ce m-am gândit câteva secunde, care va fi abscisa unui punct simetric față de punctul A față de ordonată? Care este răspunsul tău? Răspuns corect: .

În general, regula poate fi scrisă astfel:

Un punct simetric față de un punct relativ la axa absciselor are coordonatele:

Un punct simetric față de un punct relativ la axa ordonatelor are coordonatele:

Ei bine, acum este complet înfricoșător sarcină: găsiți coordonatele unui punct simetric față de punctul relativ la origine. Mai întâi gândești singur și apoi uită-te la desenul meu!

Răspuns:

Acum problema paralelogramului:

Sarcina 5: Punctele apar ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Găsiți or-di-pe-acel punct.

Puteți rezolva această problemă în două moduri: logic și metoda coordonatelor. Voi folosi mai întâi metoda coordonatelor, apoi vă voi spune cum o puteți rezolva diferit.

Este destul de clar că abscisa punctului este egală. (se află pe perpendiculara trasată de la punct la axa absciselor). Trebuie să găsim ordonata. Să profităm de faptul că figura noastră este un paralelogram, asta înseamnă că. Să găsim lungimea segmentului folosind formula pentru distanța dintre două puncte:

Coborâm perpendiculara care leagă punctul de axă. Voi nota punctul de intersecție cu o literă.

Lungimea segmentului este egală. (găsiți singur problema acolo unde am discutat acest punct), apoi vom găsi lungimea segmentului folosind teorema lui Pitagora:

Lungimea unui segment coincide exact cu ordonata lui.

Răspuns: .

O alta solutie (voi da doar o poza care o ilustreaza)

Progresul soluției:

1. Conduita

2. Aflați coordonatele punctului și ale lungimii

3. Demonstrează că.

Încă unul problema lungimii segmentului:

Punctele apar deasupra triunghiului. Aflați lungimea liniei mediane, paralelă.

Îți amintești ce este linia de mijloc a unui triunghi? Atunci această sarcină este elementară pentru tine. Dacă nu vă amintiți, vă reamintesc: linia de mijloc a unui triunghi este linia care leagă punctele medii ale laturilor opuse. Este paralel cu baza și egal cu jumătate din ea.

Baza este un segment. A trebuit să-i căutăm lungimea mai devreme, este egală. Atunci lungimea liniei de mijloc este la jumătate mai mare și egală.

Răspuns: .

Comentariu: această problemă poate fi rezolvată într-un alt mod, la care vom reveni puțin mai târziu.

Între timp, iată câteva probleme pentru tine, exersează-te pe ele, sunt foarte simple, dar te ajută să te îmbunătățești la utilizarea metodei coordonatelor!

1. Punctele sunt vârful tra-pe-ţiilor. Găsiți lungimea liniei mediane.

2. Puncte și apariții ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Găsiți or-di-pe-acel punct.

3. Găsiți lungimea de la tăiere, conectând punctul și

4. Găsiți zona din spatele figurii colorate pe planul de coordonare.

5. Un cerc cu un centru în na-cha-le ko-or-di-nat trece prin punct. Găsește-o pe ra-di-us.

6. Găsește-di-te ra-di-us al cercului, descrie-san-noy despre unghiul drept-no-ka, vârfurile a ceva au un co-sau -di-na-ești atât de responsabil

Solutii:

1. Se știe că linia mediană a unui trapez este egală cu jumătate din suma bazelor sale. Baza este egală, iar baza. Apoi

Răspuns:

2. Cel mai simplu mod de a rezolva această problemă este să notăm că (regula paralelogramului). Calcularea coordonatelor vectorilor nu este dificilă: . La adăugarea vectorilor, coordonatele sunt adăugate. Apoi are coordonate. Punctul are și aceste coordonate, deoarece originea vectorului este punctul cu coordonatele. Ne intereseaza ordonata. Ea este egală.

Răspuns:

3. Acționăm imediat după formula pentru distanța dintre două puncte:

Răspuns:

4. Uită-te la poză și spune-mi între care două figuri este „sandwich” zona umbrită? Este prins între două pătrate. Apoi, aria figurii dorite este egală cu aria pătratului mare minus aria celui mic. Latura unui pătrat mic este un segment care leagă punctele și lungimea lui este

Atunci aria pătratului mic este

Facem același lucru cu un pătrat mare: latura sa este un segment care leagă punctele și lungimea sa este

Atunci aria pătratului mare este

Găsim aria figurii dorite folosind formula:

Răspuns:

5. Dacă un cerc are originea ca centru și trece printr-un punct, atunci raza lui va fi exact egală cu lungimea segmentului (fă un desen și vei înțelege de ce acest lucru este evident). Să aflăm lungimea acestui segment:

Răspuns:

6. Se știe că raza unui cerc circumscris unui dreptunghi este egală cu jumătatea diagonalei acestuia. Să găsim lungimea oricăreia dintre cele două diagonale (la urma urmei, într-un dreptunghi sunt egale!)

Răspuns:

Ei bine, ai făcut față tuturor? Nu a fost foarte greu să-ți dai seama, nu-i așa? Există o singură regulă aici - să puteți face o imagine vizuală și pur și simplu să „citiți” toate datele din ea.

Mai avem foarte puțin. Mai sunt literalmente două puncte pe care aș dori să le discut.

Să încercăm să rezolvăm această problemă simplă. Lăsați două puncte și să fie date. Găsiți coordonatele punctului de mijloc al segmentului. Soluția la această problemă este următoarea: fie punctul să fie mijlocul dorit, apoi are coordonatele:

Acesta este: coordonatele mijlocului segmentului = media aritmetică a coordonatelor corespunzătoare ale capetelor segmentului.

Această regulă este foarte simplă și de obicei nu provoacă dificultăți elevilor. Să vedem în ce probleme și cum se folosește:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point and

2. Punctele par a fi vârful lumii. Find-di-te or-di-na-tu puncte per-re-se-che-niya lui dia-go-na-ley.

3. Find-di-te abs-cis-su centru al cercului, descrie-san-noy despre dreptunghiular-no-ka, vârfurile a ceva au co-or-di-na-you atât de responsabil-dar.

Solutii:

1. Prima problemă este pur și simplu o clasică. Procedăm imediat la stabilirea mijlocului segmentului. Are coordonate. ordonata este egală.

Răspuns:

2. Este ușor de observat că acest patrulater este un paralelogram (chiar și un romb!). Puteți demonstra singuri acest lucru calculând lungimile laturilor și comparându-le între ele. Ce știu despre paralelograme? Diagonalele sale sunt împărțite în jumătate de punctul de intersecție! Da! Deci, care este punctul de intersecție al diagonalelor? Acesta este mijlocul oricăreia dintre diagonale! Voi alege, în special, diagonala. Atunci punctul are coordonate. Ordonata punctului este egală cu.

Răspuns:

3. Cu ce coincide centrul cercului circumscris dreptunghiului? El coincide cu punctul de intersecție al diagonalelor sale. Ce știi despre diagonalele unui dreptunghi? Sunt egali, iar punctul de intersecție le împarte la jumătate. Sarcina a fost redusă la cea anterioară. Să luăm, de exemplu, diagonala. Atunci, dacă este centrul cercului circumscris, atunci este punctul de mijloc. Caut coordonate: Abscisa este egală.

Răspuns:

Acum exersați puțin pe cont propriu, voi da doar răspunsurile la fiecare problemă, astfel încât să vă puteți testa.

1. Find-di-te ra-di-us a cercului, descrie-san-noy despre tri-unghi-no-ka, vârfurile ceva au un co-or-di -no misters

2. Găsește-di-te sau-di-pe-acel centru al cercului, descrie-san-noy despre triunghiul-no-ka, ale cărui vârfuri au coordonate

3. Ce fel de ra-di-u-sa ar trebui să existe un cerc cu un centru într-un punct astfel încât să atingă axa ab-ciss?

4. Găsiți-di-cele sau-di-pe-acel punct de re-se-ce-tion al axei și de la tăiat, conectați-punctul și

Raspunsuri:

Totul a avut succes? Chiar sper! Acum - ultima împingere. Acum fii deosebit de atent. Materialul pe care îl voi explica acum este direct legat nu numai de probleme simple privind metoda coordonatelor din partea B, ci se găsește și peste tot în problema C2.

Pe care dintre promisiunile mele nu le-am ținut încă? Îți amintești ce operații pe vectori am promis să le introduc și pe care le-am introdus în cele din urmă? Ești sigur că nu am uitat nimic? Uitat! Am uitat să explic ce înseamnă multiplicarea vectorială.

Există două moduri de a înmulți un vector cu un vector. În funcție de metoda aleasă, vom obține obiecte de diferite naturi:

Produsul încrucișat este realizat destul de inteligent. Vom discuta cum să facem acest lucru și de ce este necesar în articolul următor. Și în aceasta ne vom concentra pe produsul scalar.

Există două moduri care ne permit să o calculăm:

După cum ați ghicit, rezultatul ar trebui să fie același! Deci, să ne uităm mai întâi la prima metodă:

Punctează produsul prin coordonate

Găsiți: - notație general acceptată pentru produsul scalar

Formula de calcul este următoarea:

Adică produsul scalar = suma produselor coordonatelor vectoriale!

Exemplu:

Find-di-te

Soluţie:

Să găsim coordonatele fiecărui vector:

Calculăm produsul scalar folosind formula:

Răspuns:

Vezi, absolut nimic complicat!

Ei bine, acum încearcă singur:

· Găsiți un scalar pro-iz-ve-de-nie de secole și

Ai reușit? Poate ai observat o mică captură? Sa verificam:

Coordonate vectoriale, ca în problema anterioară! Răspuns: .

Pe lângă cea de coordonate, există o altă modalitate de a calcula produsul scalar, și anume, prin lungimile vectorilor și cosinusul unghiului dintre ei:

Indică unghiul dintre vectorii și.

Adică produsul scalar este egal cu produsul lungimilor vectorilor și cosinusul unghiului dintre ei.

De ce avem nevoie de această a doua formulă, dacă avem prima, care este mult mai simplă, măcar nu există cosinus în ea. Și este necesar pentru ca din prima și a doua formulă să putem deduce cum să găsim unghiul dintre vectori!

Să ne amintim de formula pentru lungimea vectorului!

Apoi, dacă înlocuiesc aceste date în formula produsului scalar, obțin:

Dar în alt fel:

Deci ce am primit tu și cu mine? Acum avem o formulă care ne permite să calculăm unghiul dintre doi vectori! Uneori este scris și așa pentru concizie:

Adică, algoritmul pentru calcularea unghiului dintre vectori este următorul:

Calculați produsul scalar prin coordonate
Aflați lungimile vectorilor și înmulțiți-le
Împărțiți rezultatul punctului 1 la rezultatul punctului 2

Să exersăm cu exemple:

1. Găsiți unghiul dintre pleoape și. Dați răspunsul în grad-du-sah.

2. În condițiile problemei anterioare, găsiți cosinusul dintre vectori

Să facem asta: te voi ajuta să rezolvi prima problemă și încerc să o faci singur pe a doua! De acord? Atunci să începem!

1. Acești vectori sunt vechii noștri prieteni. Am calculat deja produsul lor scalar și a fost egal. Coordonatele lor sunt: , . Apoi găsim lungimile lor:

Apoi căutăm cosinusul dintre vectori:

Care este cosinusul unghiului? Acesta este colțul.

Răspuns:

Ei bine, acum rezolvă singur a doua problemă și apoi compară! Voi da doar o soluție foarte scurtă:

2. are coordonate, are coordonate.

Fie unghiul dintre vectori și, apoi

Răspuns:

Trebuie remarcat faptul că problemele direct pe vectori și metoda coordonatelor din partea B a lucrării de examen sunt destul de rare. Cu toate acestea, marea majoritate a problemelor C2 pot fi rezolvate cu ușurință prin introducerea unui sistem de coordonate. Deci, puteți considera acest articol fundația pe baza căreia vom realiza construcții destul de inteligente de care vom avea nevoie pentru a rezolva probleme complexe.

COORDONATE ȘI VECTORI. NIVEL MEDIU

Tu și cu mine continuăm să studiem metoda coordonatelor. În ultima parte, am derivat o serie de formule importante care vă permit să:

Găsiți coordonatele vectoriale
Găsiți lungimea unui vector (alternativ: distanța dintre două puncte)
Adunarea și scăderea vectorilor. Înmulțiți-le cu un număr real
Găsiți punctul de mijloc al unui segment
Calculați produsul scalar al vectorilor
Găsiți unghiul dintre vectori

Desigur, întreaga metodă de coordonate nu se încadrează în aceste 6 puncte. Stă la baza unei științe precum geometria analitică, cu care vă veți familiariza la universitate. Vreau doar să construiesc o fundație care să vă permită să rezolvați problemele într-o singură stare. examen. Ne-am ocupat de sarcinile din partea B. Acum este timpul să trecem la un nivel cu totul nou! Acest articol va fi dedicat unei metode de rezolvare a acelor probleme C2 în care ar fi rezonabil să trecem la metoda coordonatelor. Acest caracter rezonabil este determinat de ceea ce trebuie găsit în problemă și de ce cifră este dată. Deci, aș folosi metoda coordonatelor dacă întrebările sunt:

Aflați unghiul dintre două plane
Aflați unghiul dintre o linie dreaptă și un plan
Găsiți unghiul dintre două drepte
Aflați distanța de la un punct la un plan
Aflați distanța de la un punct la o linie
Găsiți distanța de la o linie dreaptă la un avion
Aflați distanța dintre două linii

Dacă cifra dată în enunțul problemei este un corp de rotație (bilă, cilindru, con...)

Cifrele potrivite pentru metoda coordonatelor sunt:

Paralepiped dreptunghiular
Piramida (triunghiulara, patrangulara, hexagonala)

Tot din experienta mea este nepotrivit să se folosească metoda coordonatelor pentru:

Găsirea zonelor de secțiune transversală
Calculul volumelor corpurilor

Cu toate acestea, trebuie remarcat imediat că cele trei situații „nefavorabile” pentru metoda coordonatelor sunt destul de rare în practică. În majoritatea sarcinilor, poate deveni salvatorul tău, mai ales dacă nu ești foarte bun la construcții tridimensionale (care uneori pot fi destul de complicate).

Care sunt toate cifrele pe care le-am enumerat mai sus? Nu mai sunt plate, ca, de exemplu, un pătrat, un triunghi, un cerc, ci voluminoase! În consecință, trebuie să luăm în considerare nu un sistem de coordonate bidimensional, ci un sistem de coordonate tridimensional. Este destul de ușor de construit: doar pe lângă axa abscisă și ordonată, vom introduce o altă axă, axa aplicată. Figura arată schematic poziția lor relativă:

Toate sunt reciproc perpendiculare și se intersectează într-un punct, pe care îl vom numi originea coordonatelor. Ca și mai înainte, vom nota axa absciselor, axa ordonatelor - și axa aplicată introdusă - .

Dacă anterior fiecare punct din plan a fost caracterizat de două numere - abscisa și ordonata, atunci fiecare punct din spațiu este deja descris de trei numere - abscisa, ordonatele și aplicata. De exemplu:

În consecință, abscisa unui punct este egală, ordonata este , iar aplicația este .

Uneori, abscisa unui punct se mai numește și proiecția unui punct pe axa absciselor, ordonată - proiecția unui punct pe axa ordonatelor, iar aplicată - proiecția unui punct pe axa aplicată. În consecință, dacă este dat un punct, atunci un punct cu coordonate:

numită proiecția unui punct pe un plan

Se ridică o întrebare firească: toate formulele derivate pentru cazul bidimensional sunt valabile în spațiu? Răspunsul este da, sunt corecte și au același aspect. Pentru un mic detaliu. Cred că ai ghicit deja care este. În toate formulele va trebui să adăugăm încă un termen responsabil pentru axa aplicată. Și anume.

1. Dacă sunt date două puncte: , atunci:

Coordonatele vectoriale:
Distanța dintre două puncte (sau lungimea vectorului)
Punctul de mijloc al segmentului are coordonate

2. Dacă sunt dați doi vectori: și, atunci:

Produsul lor scalar este egal cu:
Cosinusul unghiului dintre vectori este egal cu:

Cu toate acestea, spațiul nu este atât de simplu. După cum înțelegeți, adăugarea unei alte coordonate introduce o diversitate semnificativă în spectrul figurilor care „trăiesc” în acest spațiu. Și pentru o narațiune ulterioară, va trebui să introduc o „generalizare” generală a liniei drepte. Această „generalizare” va fi un plan. Ce știi despre avion? Încercați să răspundeți la întrebarea, ce este un avion? Este foarte greu de spus. Cu toate acestea, toți ne imaginăm intuitiv cum arată:

În linii mari, acesta este un fel de „foaie” nesfârșită blocată în spațiu. „Infinitul” trebuie înțeles că planul se extinde în toate direcțiile, adică aria sa este egală cu infinitul. Cu toate acestea, această explicație „practică” nu oferă nici cea mai mică idee despre structura avionului. Și ea este cea care va fi interesată de noi.

Să ne amintim una dintre axiomele de bază ale geometriei:

o linie dreaptă trece prin două puncte diferite dintr-un plan și doar unul:

Sau analogul său în spațiu:

Desigur, vă amintiți cum să derivați ecuația unei linii din două puncte date; nu este deloc dificil: dacă primul punct are coordonate: iar al doilea, atunci ecuația dreptei va fi după cum urmează:

Ai luat asta în clasa a 7-a. În spațiu, ecuația unei drepte arată astfel: să ni se dea două puncte cu coordonate: , atunci ecuația dreptei care trece prin ele are forma:

De exemplu, o linie trece prin puncte:

Cum ar trebui să fie înțeles acest lucru? Acest lucru trebuie înțeles după cum urmează: un punct se află pe o dreaptă dacă coordonatele sale satisfac următorul sistem:

Nu ne va interesa foarte mult ecuația unei linii, dar trebuie să fim atenți la conceptul foarte important al vectorului de direcție al unei linii. - orice vector diferit de zero situat pe o linie dată sau paralel cu aceasta.

De exemplu, ambii vectori sunt vectori de direcție ai unei linii drepte. Fie un punct situat pe o dreaptă și fie vectorul său de direcție. Atunci ecuația dreptei poate fi scrisă sub următoarea formă:

Încă o dată, nu voi fi foarte interesat de ecuația unei linii drepte, dar chiar am nevoie să vă amintiți ce este un vector de direcție! Din nou: acesta este ORICE vector diferit de zero situat pe o linie sau paralel cu acesta.

Retrage ecuația unui plan bazată pe trei puncte date nu mai este atât de banal, iar problema nu este de obicei abordată în cursurile de liceu. Dar în zadar! Această tehnică este vitală atunci când recurgem la metoda coordonatelor pentru a rezolva probleme complexe. Totuși, presupun că ești dornic să înveți ceva nou? Mai mult, îți vei putea impresiona profesorul de la universitate atunci când se va dovedi că știi deja să folosești o tehnică care se studiază de obicei la un curs de geometrie analitică. Asadar, haideti sa începem.

Ecuația unui plan nu este prea diferită de ecuația unei drepte pe un plan, și anume, are forma:

unele numere (nu toate egale cu zero), dar variabile, de exemplu: etc. După cum puteți vedea, ecuația unui plan nu este foarte diferită de ecuația unei linii drepte (funcție liniară). Totuși, îți amintești ce ne-am certat tu și cu mine? Am spus că dacă avem trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă, atunci ecuația planului poate fi reconstruită în mod unic din ele. Dar cum? Voi încerca să vă explic.

Deoarece ecuația planului este:

Și punctele aparțin acestui plan, atunci când înlocuim coordonatele fiecărui punct în ecuația planului ar trebui să obținem identitatea corectă:

Astfel, este nevoie să rezolvăm trei ecuații cu necunoscute! Dilemă! Cu toate acestea, puteți presupune întotdeauna că (pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți cu). Astfel, obținem trei ecuații cu trei necunoscute:

Cu toate acestea, nu vom rezolva un astfel de sistem, ci vom scrie expresia misterioasă care decurge din el:

Ecuația unui plan care trece prin trei puncte date

\[\stanga| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(matrice)) \right| = 0\]

Stop! Ce este asta? Un modul foarte neobișnuit! Totuși, obiectul pe care îl vezi în fața ta nu are nimic de-a face cu modulul. Acest obiect se numește determinant de ordinul trei. De acum înainte, când te ocupi de metoda coordonatelor pe un plan, vei întâlni foarte des acești determinanți. Ce este un determinant de ordinul trei? Destul de ciudat, este doar un număr. Rămâne să înțelegem ce număr specific vom compara cu determinantul.

Să scriem mai întâi determinantul de ordinul trei într-o formă mai generală:

Unde sunt niște numere. Mai mult, prin primul index înțelegem numărul rândului, iar prin index înțelegem numărul coloanei. De exemplu, înseamnă că acest număr se află la intersecția celui de-al doilea rând și a treia coloană. Să ne punem următoarea întrebare: cum vom calcula exact un astfel de determinant? Adică, ce număr specific vom compara cu el? Pentru determinantul de ordinul trei există o regulă triunghiulară euristică (vizuală), arată astfel:

Produsul elementelor diagonalei principale (din colțul din stânga sus până în dreapta jos) produsul elementelor care formează primul triunghi „perpendicular” pe diagonala principală produsul elementelor care formează al doilea triunghi „perpendicular” pe diagonala principală
Produsul elementelor diagonalei secundare (din colțul din dreapta sus până în stânga jos) produsul elementelor care formează primul triunghi „perpendicular” pe diagonala secundară produsul elementelor care formează al doilea triunghi „perpendicular” pe diagonala secundara
Atunci determinantul este egal cu diferența dintre valorile obținute la pas și

Dacă scriem toate acestea în numere, obținem următoarea expresie:

Cu toate acestea, nu trebuie să vă amintiți metoda de calcul în această formă; este suficient să păstrați în cap triunghiurile și însăși ideea a ceea ce se adaugă la ce și ce se scade apoi din ce).

Să ilustrăm metoda triunghiului cu un exemplu:

1. Calculați determinantul:

Să ne dăm seama ce adăugăm și ce scădem:

Termeni care vin cu un plus:

Aceasta este diagonala principală: produsul elementelor este egal cu

Primul triunghi, „perpendicular pe diagonala principală: produsul elementelor este egal cu

Al doilea triunghi, "perpendicular pe diagonala principală: produsul elementelor este egal cu

Adaugă trei numere:

Termeni care vin cu un minus

Aceasta este o diagonală laterală: produsul elementelor este egal cu

Primul triunghi, „perpendicular pe diagonala secundară: produsul elementelor este egal cu

Al doilea triunghi, „perpendicular pe diagonala secundară: produsul elementelor este egal cu

Adaugă trei numere:

Tot ce rămâne de făcut este să scădem suma termenilor „plus” din suma termenilor „minus”:

Prin urmare,

După cum puteți vedea, nu există nimic complicat sau supranatural în calcularea determinanților de ordinul trei. Este important să vă amintiți despre triunghiuri și să nu faceți erori aritmetice. Acum încearcă să-l calculezi singur:

Verificăm:

Primul triunghi perpendicular pe diagonala principală:
Al doilea triunghi perpendicular pe diagonala principală:
Suma termenilor cu plus:
Primul triunghi perpendicular pe diagonala secundară:
Al doilea triunghi perpendicular pe diagonala laterală:
Suma termenilor cu minus:
Suma termenilor cu un plus minus suma termenilor cu un minus:

Iată încă câțiva factori determinanți, calculează-le singur valorile și compară-le cu răspunsurile:

Raspunsuri:

Ei bine, totul a coincis? Grozav, atunci poți merge mai departe! Dacă există dificultăți, atunci sfatul meu este acesta: pe internet există o mulțime de programe pentru calcularea determinantului online. Tot ce aveți nevoie este să găsiți propriul determinant, să îl calculați singur și apoi să îl comparați cu ceea ce calculează programul. Și așa mai departe până când rezultatele încep să coincidă. Sunt sigur că acest moment nu va dura mult să sosească!

Acum să revenim la determinantul pe care l-am scris când am vorbit despre ecuația unui plan care trece prin trei puncte date:

Tot ce aveți nevoie este să calculați valoarea acesteia direct (folosind metoda triunghiului) și să setați rezultatul la zero. Desigur, deoarece acestea sunt variabile, veți obține o expresie care depinde de ele. Această expresie va fi ecuația unui plan care trece prin trei puncte date care nu se află pe aceeași dreaptă!

Să ilustrăm acest lucru cu un exemplu simplu:

1. Construiți ecuația unui plan care trece prin puncte

Compilăm un determinant pentru aceste trei puncte:

Să simplificăm:

Acum îl calculăm direct folosind regula triunghiului:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ dreapta| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Astfel, ecuația planului care trece prin puncte este:

Acum încercați să rezolvați singur o problemă și apoi o vom discuta:

2. Aflați ecuația planului care trece prin puncte

Ei bine, hai să discutăm acum soluția:

Să creăm un determinant:

Și calculează-i valoarea:

Atunci ecuația planului are forma:

Sau, reducând cu, obținem:

Acum două sarcini pentru autocontrol:

Construiți ecuația unui plan care trece prin trei puncte:

Raspunsuri:

Totul a coincis? Din nou, dacă există anumite dificultăți, atunci sfatul meu este următorul: luați trei puncte din cap (cu un grad mare de probabilitate să nu se afle pe aceeași linie dreaptă), construiți un avion pe baza lor. Și apoi te verifici online. De exemplu, pe site:

Totuși, cu ajutorul determinanților vom construi nu numai ecuația planului. Amintiți-vă, v-am spus că nu numai produsul punctual este definit pentru vectori. Există, de asemenea, un produs vectorial, precum și un produs mixt. Și dacă produsul scalar al doi vectori este un număr, atunci produsul vectorial al doi vectori va fi un vector, iar acest vector va fi perpendicular pe cei dați:

Mai mult, modulul său va fi egal cu aria unui paralelogram construit pe vectori și. Vom avea nevoie de acest vector pentru a calcula distanța de la un punct la o linie. Cum putem calcula produsul vectorial al vectorilor și, dacă sunt date coordonatele lor? Determinantul de ordinul trei vine din nou în ajutorul nostru. Cu toate acestea, înainte de a trece la algoritmul de calcul al produsului vectorial, trebuie să fac o mică digresiune.

Această digresiune se referă la vectorii de bază.

Ele sunt prezentate schematic în figură:

De ce crezi că se numesc de bază? Adevărul este că:

Sau in poza:

Valabilitatea acestei formule este evidentă, deoarece:

Opera de artă vectorială

Acum pot începe să introduc produsul încrucișat:

Produsul vectorial al doi vectori este un vector, care se calculează conform următoarei reguli:

Acum să dăm câteva exemple de calcul al produsului încrucișat:

Exemplul 1: Găsiți produsul încrucișat al vectorilor:

Soluție: alcătuiesc un determinant:

Si il calculez:

Acum, de la scrierea prin vectori de bază, voi reveni la notația vectorială obișnuită:

Prin urmare:

Acum încearcă.

Gata? Verificăm:

Și în mod tradițional două sarcini de control:

Găsiți produsul vectorial al următorilor vectori:
Găsiți produsul vectorial al următorilor vectori:

Raspunsuri:

Produs mixt a trei vectori

Ultima construcție de care am nevoie este produsul mixt a trei vectori. El, ca un scalar, este un număr. Există două moduri de a o calcula. - printr-un determinant, - printr-un produs mixt.

Și anume, să ni se dau trei vectori:

Apoi produsul mixt a trei vectori, notat cu, poate fi calculat ca:

1. - adică produsul mixt este produsul scalar al unui vector și produsul vectorial al altor doi vectori

De exemplu, produsul mixt a trei vectori este:

Încercați să îl calculați singur folosind produsul vectorial și asigurați-vă că rezultatele se potrivesc!

Și din nou - două exemple pentru decizie independentă:

Raspunsuri:

Selectarea unui sistem de coordonate

Ei bine, acum avem toate bazele necesare de cunoștințe pentru a rezolva probleme complexe de geometrie stereometrică. Cu toate acestea, înainte de a trece direct la exemple și algoritmi pentru rezolvarea acestora, cred că va fi util să ne oprim asupra următoarei întrebări: cum exact alegeți un sistem de coordonate pentru o anumită figură. La urma urmei, alegerea poziției relative a sistemului de coordonate și a figurii în spațiu este cea care va determina în cele din urmă cât de greoaie vor fi calculele.

Permiteți-mi să vă reamintesc că în această secțiune luăm în considerare următoarele cifre:

Paralepiped dreptunghiular
Prismă dreaptă (triunghiulară, hexagonală...)
Piramida (triunghiulara, patruunghiulara)
Tetraedrul (la fel ca piramida triunghiulara)

Pentru un paralelipiped sau cub dreptunghiular, vă recomand următoarea construcție:

Adică voi plasa figura „în colț”. Cubul și paralelipipedul sunt figuri foarte bune. Pentru ei, puteți găsi întotdeauna cu ușurință coordonatele vârfurilor sale. De exemplu, dacă (așa cum se arată în figură)

atunci coordonatele vârfurilor sunt după cum urmează:

Desigur, nu trebuie să vă amintiți acest lucru, dar este recomandabil să vă amintiți cum să poziționați cel mai bine un cub sau un paralelipiped dreptunghiular.

Prismă dreaptă

Prisma este o figură mai dăunătoare. Poate fi poziționat în spațiu în diferite moduri. Cu toate acestea, următoarea opțiune mi se pare cea mai acceptabilă:

Prisma triunghiulara:

Adică plasăm una dintre laturile triunghiului în întregime pe axă, iar unul dintre vârfuri coincide cu originea coordonatelor.

Prisma hexagonala:

Adică, unul dintre vârfuri coincide cu originea, iar una dintre laturi se află pe axă.

Piramida patruunghiulara si hexagonala:

Situația este similară cu un cub: aliniem două laturi ale bazei cu axele de coordonate și aliniem unul dintre vârfuri cu originea coordonatelor. Singura dificultate ușoară va fi să calculați coordonatele punctului.

Pentru o piramidă hexagonală - la fel ca și pentru o prismă hexagonală. Sarcina principală va fi din nou să găsești coordonatele vârfului.

Tetraedrul (piramida triunghiulara)

Situația este foarte asemănătoare cu cea pe care am dat-o pentru o prismă triunghiulară: un vârf coincide cu originea, o latură se află pe axa de coordonate.

Ei bine, acum tu și cu mine suntem în sfârșit aproape de a începe să rezolvăm problemele. Din ceea ce am spus chiar la începutul articolului, ați putea trage următoarea concluzie: majoritatea problemelor C2 sunt împărțite în 2 categorii: probleme de unghi și probleme de distanță. În primul rând, ne vom uita la problemele de a găsi un unghi. Ele sunt, la rândul lor, împărțite în următoarele categorii (pe măsură ce complexitatea crește):

Probleme pentru găsirea unghiurilor

Găsirea unghiului dintre două drepte
Aflarea unghiului dintre două plane

Să privim secvențial aceste probleme: să începem prin a găsi unghiul dintre două linii drepte. Ei bine, ține minte, tu și cu mine nu am rezolvat exemple similare înainte? Vă amintiți, aveam deja ceva asemănător... Căutam unghiul dintre doi vectori. Permiteți-mi să vă reamintesc, dacă sunt dați doi vectori: și, atunci unghiul dintre ei se găsește din relația:

Acum scopul nostru este să găsim unghiul dintre două linii drepte. Să ne uităm la „imaginea plată”:

Câte unghiuri am obținut când două drepte s-au intersectat? Doar câteva lucruri. Adevărat, doar două dintre ele nu sunt egale, în timp ce celelalte sunt verticale față de ei (și, prin urmare, coincid cu ele). Deci ce unghi ar trebui să luăm în considerare unghiul dintre două drepte: sau? Aici regula este: unghiul dintre două linii drepte nu este întotdeauna mai mare de grade. Adică din două unghiuri vom alege întotdeauna unghiul cu cea mai mică măsură a gradului. Adică, în această imagine unghiul dintre două linii drepte este egal. Pentru a nu te deranja de fiecare dată cu găsirea celui mai mic dintre cele două unghiuri, matematicienii vicleni au sugerat folosirea unui modul. Astfel, unghiul dintre două linii drepte este determinat de formula:

Tu, ca cititor atent, ar fi trebuit să ai o întrebare: de unde, exact, obținem aceleași numere de care avem nevoie pentru a calcula cosinusul unui unghi? Răspuns: le vom lua din vectorii de direcție ai liniilor! Astfel, algoritmul pentru găsirea unghiului dintre două drepte este următorul:

Aplicam formula 1.

Sau mai detaliat:

Căutăm coordonatele vectorului de direcție al primei drepte
Căutăm coordonatele vectorului de direcție al celei de-a doua drepte
Calculăm modulul produsului lor scalar
Căutăm lungimea primului vector
Căutăm lungimea celui de-al doilea vector
Înmulțiți rezultatele de la punctul 4 cu rezultatele de la punctul 5
Împărțim rezultatul punctului 3 la rezultatul punctului 6. Obținem cosinusul unghiului dintre drepte
Dacă acest rezultat ne permite să calculăm cu exactitate unghiul, îl căutăm
Altfel scriem prin arc cosinus

Ei bine, acum este timpul să trecem la probleme: voi demonstra soluția primelor două în detaliu, voi prezenta soluția altuia în pe scurt, iar pentru ultimele două probleme voi da doar răspunsuri; trebuie să efectuați singuri toate calculele pentru ele.

Sarcini:

1. În tet-ra-ed-re din dreapta, găsiți unghiul dintre înălțimea tet-ra-ed-ra și latura din mijloc.

2. În pi-ra-mi-de cu șase colțuri din partea dreaptă, cele sute de os-no-va-niya sunt egale, iar marginile laterale sunt egale, găsiți unghiul dintre linii și.

3. Lungimile tuturor marginilor pi-ra-mi-dy cu patru cărbuni drepte sunt egale între ele. Găsiți unghiul dintre liniile drepte și dacă din tăietură - sunteți cu pi-ra-mi-dy dat, punctul este se-re-di-pe bo-co- secundele sale nervuri

4. Pe marginea cubului se află un punct astfel încât Aflați unghiul dintre liniile drepte și

5. Punct - pe marginile cubului Aflați unghiul dintre liniile drepte și.

Nu întâmplător am aranjat sarcinile în această ordine. Deși nu ați început încă să navigați prin metoda coordonatelor, voi analiza chiar eu cele mai „problematice” figuri și vă voi lăsa să vă ocupați de cel mai simplu cub! Treptat, va trebui să înveți cum să lucrezi cu toate figurile; voi crește complexitatea sarcinilor de la subiect la subiect.

Să începem să rezolvăm problemele:

1. Desenați un tetraedru, plasați-l în sistemul de coordonate așa cum am sugerat mai devreme. Deoarece tetraedrul este regulat, toate fețele sale (inclusiv baza) sunt triunghiuri regulate. Deoarece nu ni se dă lungimea laturii, o pot considera egală. Cred că înțelegeți că unghiul nu va depinde de fapt de cât de mult este „întins” tetraedrul nostru?. De asemenea, voi desena înălțimea și mediana în tetraedru. Pe parcurs îi voi desena baza (ne va fi și nouă de folos).

Trebuie să găsesc unghiul dintre și. Ce știm? Știm doar coordonatele punctului. Aceasta înseamnă că trebuie să găsim coordonatele punctelor. Acum ne gândim: un punct este punctul de intersecție al altitudinilor (sau bisectoarelor sau medianelor) triunghiului. Și un punct este un punct ridicat. Punctul este mijlocul segmentului. Apoi trebuie să aflăm în sfârșit: coordonatele punctelor: .

Să începem cu cel mai simplu lucru: coordonatele unui punct. Priviți figura: este clar că aplicația unui punct este egală cu zero (punctul se află pe plan). Ordonata sa este egală (deoarece este mediana). Este mai greu să-i găsești abscisa. Cu toate acestea, acest lucru este ușor de realizat pe baza teoremei lui Pitagora: Luați în considerare un triunghi. Ipotenuza sa este egală, iar unul dintre catetele sale este egal. Atunci:

În sfârșit avem: .

Acum să găsim coordonatele punctului. Este clar că aplicația sa este din nou egală cu zero, iar ordonata sa este aceeași cu cea a unui punct, adică. Să-i găsim abscisa. Acest lucru se face destul de banal dacă vă amintiți asta înălțimile unui triunghi echilateral la punctul de intersecție se împart proporțional, numărând de sus. Deoarece: , atunci abscisa necesară a punctului, egală cu lungimea segmentului, este egală cu: . Astfel, coordonatele punctului sunt:

Să găsim coordonatele punctului. Este clar că abscisa și ordonata ei coincid cu abscisa și ordonata punctului. Și aplicația este egală cu lungimea segmentului. - acesta este unul dintre catetele triunghiului. Ipotenuza unui triunghi este un segment - un catet. Se caută din motive pe care le-am evidențiat cu caractere aldine:

Punctul este mijlocul segmentului. Apoi trebuie să ne amintim formula pentru coordonatele punctului de mijloc al segmentului:

Asta e, acum putem căuta coordonatele vectorilor de direcție:

Ei bine, totul este gata: înlocuim toate datele în formula:

Prin urmare,

Răspuns:

Nu ar trebui să vă sperie astfel de răspunsuri „înfricoșătoare”: pentru sarcinile C2 aceasta este o practică obișnuită. Aș fi mai degrabă surprins de răspunsul „frumos” din această parte. De asemenea, după cum ați observat, practic nu am recurs la altceva decât la teorema lui Pitagora și la proprietatea altitudinilor unui triunghi echilateral. Adică, pentru a rezolva problema stereometrică, am folosit chiar minimul de stereometrie. Câștigul din aceasta este parțial „stins” prin calcule destul de greoaie. Dar sunt destul de algoritmici!

2. Să descriem o piramidă hexagonală regulată împreună cu sistemul de coordonate, precum și baza acesteia:

Trebuie să găsim unghiul dintre linii și. Astfel, sarcina noastră se rezumă la găsirea coordonatelor punctelor: . Vom găsi coordonatele ultimelor trei folosind un mic desen și vom găsi coordonatele vârfului prin coordonatele punctului. Mai este mult de lucru, dar trebuie să începem!

a) Coordonata: este clar ca aplicata si ordonata ei sunt egale cu zero. Să găsim abscisa. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un triunghi dreptunghic. Din păcate, în ea nu cunoaștem decât ipotenuza, care este egală. Vom încerca să găsim piciorul (căci este clar că lungimea dublă a piciorului ne va da abscisa punctului). Cum îl putem căuta? Să ne amintim ce fel de figură avem la baza piramidei? Acesta este un hexagon obișnuit. Ce înseamnă? Aceasta înseamnă că toate laturile și toate unghiurile sunt egale. Trebuie să găsim un astfel de unghi. Vreo idee? Există o mulțime de idei, dar există o formulă:

Suma unghiurilor unui n-gon regulat este .

Astfel, suma unghiurilor unui hexagon regulat este egală cu grade. Atunci fiecare dintre unghiuri este egal cu:

Să ne uităm din nou la imagine. Este clar că segmentul este bisectoarea unghiului. Atunci unghiul este egal cu grade. Apoi:

Atunci de unde.

Astfel, are coordonate

b) Acum putem găsi cu ușurință coordonatele punctului: .

c) Aflați coordonatele punctului. Deoarece abscisa coincide cu lungimea segmentului, este egală. Găsirea ordonatei nu este, de asemenea, foarte dificilă: dacă conectăm punctele și desemnăm punctul de intersecție al dreptei ca, de exemplu, . (fa-te singur construcție simplă). Atunci, astfel, ordonata punctului B este egală cu suma lungimilor segmentelor. Să ne uităm din nou la triunghi. Apoi

Apoi din Atunci punctul are coordonate

d) Acum să găsim coordonatele punctului. Luați în considerare dreptunghiul și demonstrați că. Astfel, coordonatele punctului sunt:

e) Rămâne de găsit coordonatele vârfului. Este clar că abscisa și ordonata ei coincid cu abscisa și ordonata punctului. Să găsim aplicația. De atunci. Luați în considerare un triunghi dreptunghic. În funcție de condițiile problemei, o margine laterală. Aceasta este ipotenuza triunghiului meu. Atunci înălțimea piramidei este un picior.

Atunci punctul are coordonatele:

Ei bine, asta e, am coordonatele tuturor punctelor care ma intereseaza. Caut coordonatele vectorilor de direcție ai liniilor drepte:

Căutăm unghiul dintre acești vectori:

Răspuns:

Din nou, în rezolvarea acestei probleme nu am folosit alte tehnici sofisticate decât formula pentru suma unghiurilor unui n-gon regulat, precum și definiția cosinusului și sinusului unui triunghi dreptunghic.

3. Deoarece din nou nu ni se dau lungimile marginilor din piramidă, le voi considera egale cu unu. Astfel, deoarece TOATE muchiile, și nu doar cele laterale, sunt egale între ele, atunci la baza piramidei și mine există un pătrat, iar fețele laterale sunt triunghiuri regulate. Să desenăm o astfel de piramidă, precum și baza ei pe un plan, notând toate datele prezentate în textul problemei:

Căutăm unghiul dintre și. Voi face calcule foarte scurte când voi căuta coordonatele punctelor. Va trebui să le „descifrezi”:

b) - mijlocul segmentului. Coordonatele sale:

c) Voi găsi lungimea segmentului folosind teorema lui Pitagora într-un triunghi. Îl pot găsi folosind teorema lui Pitagora într-un triunghi.

Coordonate:

d) - mijlocul segmentului. Coordonatele sale sunt

e) Coordonate vectoriale

f) Coordonate vectoriale

g) Căutarea unghiului:

Un cub este cea mai simplă figură. Sunt sigur că o să-ți dai seama singur. Răspunsurile la problemele 4 și 5 sunt următoarele:

Aflarea unghiului dintre o linie dreaptă și un plan

Ei bine, timpul pentru puzzle-uri simple s-a terminat! Acum exemplele vor fi și mai complicate. Pentru a găsi unghiul dintre o dreaptă și un plan, vom proceda după cum urmează:

Folosind trei puncte construim o ecuație a planului
,
folosind un determinant de ordinul trei.
Folosind două puncte, căutăm coordonatele vectorului de direcție al dreptei:
Aplicam formula pentru a calcula unghiul dintre o dreapta si un plan:

După cum puteți vedea, această formulă este foarte asemănătoare cu cea pe care am folosit-o pentru a găsi unghiuri între două linii drepte. Structura din partea dreaptă este pur și simplu aceeași, iar în stânga căutăm acum sinusul, nu cosinusul ca înainte. Ei bine, a fost adăugată o acțiune urâtă - căutarea ecuației avionului.

Să nu amânăm exemple de solutie:

1. Prisma directă principală-dar-va-ni-em-suntem un triunghi egal cu sărac. Aflați unghiul dintre linie dreaptă și plan

2. Într-un par-ral-le-le-pi-pe-de dreptunghiular dinspre vest Găsiți unghiul dintre linie dreaptă și plan

3. Într-o prismă dreaptă cu șase colțuri, toate muchiile sunt egale. Aflați unghiul dintre linie dreaptă și plan.

4. In pi-ra-mi-de triunghiular drept cu os-no-va-ni-em al nervurilor cunoscute Gasiti un colt, ob-ra-zo-van -plat la baza si drept, trecand prin gri. coaste și

5. Lungimile tuturor muchiilor unui pi-ra-mi-dy dreptunghiular cu un vârf sunt egale între ele. Găsiți unghiul dintre linia dreaptă și plan dacă punctul se află pe partea marginii pi-ra-mi-dy.

Din nou, voi rezolva primele două probleme în detaliu, pe a treia pe scurt și voi lăsa pe ultimele două să le rezolvați singur. În plus, ai avut deja de-a face cu piramide triunghiulare și patrulatere, dar nu încă cu prisme.

Solutii:

1. Să descriem o prismă, precum și baza ei. Să îl combinăm cu sistemul de coordonate și să notăm toate datele care sunt date în enunțul problemei:

Îmi cer scuze pentru unele nerespectări ale proporțiilor, dar pentru rezolvarea problemei acest lucru nu este, de fapt, atât de important. Avionul este pur și simplu „peretele din spate” al prismei mele. Este suficient să ghicim că ecuația unui astfel de plan are forma:

Cu toate acestea, acest lucru poate fi afișat direct:

Să alegem trei puncte arbitrare pe acest plan: de exemplu, .

Să creăm ecuația planului:

Exercițiu pentru tine: calculează singur acest determinant. ai reusit? Atunci ecuația planului arată astfel:

Sau pur și simplu

Prin urmare,

Pentru a rezolva exemplul, trebuie să găsesc coordonatele vectorului de direcție al dreptei. Deoarece punctul coincide cu originea coordonatelor, coordonatele vectorului vor coincide pur și simplu cu coordonatele punctului.Pentru a face acest lucru, găsim mai întâi coordonatele punctului.

Pentru a face acest lucru, luați în considerare un triunghi. Să desenăm înălțimea (cunoscută și ca mediană și bisectoare) de la vârf. Deoarece, ordonata punctului este egală cu. Pentru a găsi abscisa acestui punct, trebuie să calculăm lungimea segmentului. Conform teoremei lui Pitagora avem:

Atunci punctul are coordonatele:

Un punct este un punct „ridicat”:

Atunci coordonatele vectoriale sunt:

Răspuns:

După cum puteți vedea, nu este nimic fundamental dificil atunci când rezolvați astfel de probleme. De fapt, procesul este simplificat puțin mai mult de „dreptatea” unei figuri precum o prismă. Acum să trecem la următorul exemplu:

2. Desenați un paralelipiped, trageți un plan și o linie dreaptă în el și, de asemenea, desenați separat baza sa inferioară:

În primul rând, găsim ecuația planului: coordonatele celor trei puncte aflate în el:

(primele două coordonate sunt obținute într-un mod evident și puteți găsi cu ușurință ultima coordonată din imaginea punctului). Apoi compunem ecuația planului:

Calculam:

Căutăm coordonatele vectorului de ghidare: este clar că coordonatele acestuia coincid cu coordonatele punctului, nu-i așa? Cum să găsesc coordonatele? Acestea sunt coordonatele punctului, ridicate de-a lungul axei aplicate cu una! . Apoi căutăm unghiul dorit:

Răspuns:

3. Desenați o piramidă hexagonală obișnuită, apoi desenați în ea un plan și o linie dreaptă.

Aici este chiar problematic să desenezi un avion, ca să nu mai vorbim de rezolvarea acestei probleme, dar metoda coordonatelor nu-i pasă! Versatilitatea sa este principalul său avantaj!

Avionul trece prin trei puncte: . Căutăm coordonatele lor:

1) . Aflați singur coordonatele ultimelor două puncte. Va trebui să rezolvi problema piramidei hexagonale pentru asta!

2) Construim ecuația planului:

Căutăm coordonatele vectorului: . (Vezi din nou problema piramidei triunghiulare!)

3) În căutarea unui unghi:

Răspuns:

După cum puteți vedea, nu există nimic supranatural de dificil în aceste sarcini. Trebuie doar să fii foarte atent cu rădăcinile. Voi da răspunsuri doar la ultimele două probleme:

După cum puteți vedea, tehnica de rezolvare a problemelor este aceeași peste tot: sarcina principală este să găsiți coordonatele vârfurilor și să le înlocuiți în anumite formule. Mai avem de luat în considerare încă o clasă de probleme pentru calcularea unghiurilor, și anume:

Calcularea unghiurilor dintre două plane

Algoritmul de soluție va fi următorul:

Folosind trei puncte căutăm ecuația primului plan:
Folosind celelalte trei puncte căutăm ecuația celui de-al doilea plan:
Aplicam formula:

După cum puteți vedea, formula este foarte asemănătoare cu cele două anterioare, cu ajutorul cărora am căutat unghiuri între drepte și între o dreaptă și un plan. Deci nu vă va fi greu să vă amintiți de acesta. Să trecem la analiza sarcinilor:

1. Latura bazei prismei triunghiulare drepte este egală, iar dia-go-nalul feței laterale este egală. Aflați unghiul dintre plan și planul axei prismei.

2. În pi-ra-mi-de cu patru colțuri din dreapta, ale căror margini sunt egale, găsiți sinusul unghiului dintre plan și osul plan, trecând prin punctul per-pen-di-ku- mincinos-dar drept.

3. Într-o prismă obișnuită cu patru colțuri, laturile bazei sunt egale, iar marginile laterale sunt egale. Există un punct pe marginea de-me-che-on astfel încât. Aflați unghiul dintre plane și

4. Într-o prismă dreptunghiulară, laturile bazei sunt egale, iar marginile laterale sunt egale. Există un punct pe marginea punctului astfel încât Găsiți unghiul dintre planuri și.

5. Într-un cub, găsiți co-sinusul unghiului dintre plane și

Rezolvarea problemelor:

1. Desenez o prismă triunghiulară regulată (un triunghi echilateral la bază) și marchez pe ea planurile care apar în enunțul problemei:

Trebuie să găsim ecuațiile a două plane: Ecuația bazei este banală: puteți compune determinantul corespunzător folosind trei puncte, dar voi compune imediat ecuația:

Acum să găsim ecuația Punctul are coordonate Punctul - Deoarece este mediana și altitudinea triunghiului, este ușor de găsit folosind teorema lui Pitagora în triunghi. Atunci punctul are coordonate: Să găsim aplicația punctului. Pentru a face acest lucru, considerăm un triunghi dreptunghic

Apoi obținem următoarele coordonate: Compunem ecuația planului.

Calculăm unghiul dintre plane:

Răspuns:

2. Realizarea unui desen:

Cel mai dificil lucru este să înțelegeți ce fel de plan misterios este acesta, trecând perpendicular prin punct. Ei bine, principalul lucru este, ce este? Principalul lucru este atenția! De fapt, linia este perpendiculară. Linia dreaptă este de asemenea perpendiculară. Apoi, planul care trece prin aceste două drepte va fi perpendicular pe linie și, apropo, va trece prin punct. Acest plan trece și prin vârful piramidei. Apoi avionul dorit - Și avionul ne-a fost deja dat. Căutăm coordonatele punctelor.

Găsim coordonatele punctului prin punct. Din imaginea mică este ușor de dedus că coordonatele punctului vor fi după cum urmează: Ce rămâne acum de găsit pentru a găsi coordonatele vârfului piramidei? De asemenea, trebuie să-i calculați înălțimea. Acest lucru se face folosind aceeași teoremă a lui Pitagora: mai întâi demonstrează că (trivial din triunghiuri mici formând un pătrat la bază). Deoarece prin condiție avem:

Acum totul este gata: coordonatele vârfurilor:

Compunem ecuația planului:

Ești deja un expert în calculul determinanților. Fara dificultate vei primi:

Sau altfel (dacă înmulțim ambele părți cu rădăcina a două)

Acum să găsim ecuația planului:

(Nu ați uitat cum obținem ecuația unui avion, nu? Dacă nu înțelegeți de unde provine acest minus, atunci reveniți la definiția ecuației unui avion! S-a dovedit întotdeauna înainte de asta avionul meu a aparținut originii coordonatelor!)

Calculăm determinantul:

(Poți observa că ecuația planului coincide cu ecuația dreptei care trece prin puncte și! Gândește-te de ce!)

Acum să calculăm unghiul:

Trebuie să găsim sinusul:

Răspuns:

3. Întrebare dificilă: ce crezi că este o prismă dreptunghiulară? Acesta este doar un paralelipiped pe care îl cunoști bine! Să facem un desen imediat! Nici măcar nu trebuie să descrii baza separat; este de puțin folos aici:

Planul, așa cum am observat mai devreme, este scris sub forma unei ecuații:

Acum să creăm un avion

Creăm imediat ecuația planului:

Caut un unghi:

Acum răspunsurile la ultimele două probleme:

Ei bine, acum este momentul să luăm o mică pauză, pentru că tu și cu mine suntem grozavi și am făcut o treabă grozavă!

Coordonate și vectori. Nivel avansat

În acest articol vom discuta cu tine o altă clasă de probleme care pot fi rezolvate folosind metoda coordonatelor: probleme de calcul distanță. Și anume, vom lua în considerare următoarele cazuri:

Calculul distanței dintre liniile care se intersectează.

Am comandat aceste sarcini în ordinea creșterii dificultății. Se dovedește a fi cel mai ușor de găsit distanta de la punct la plan, iar cel mai greu este de găsit distanța dintre liniile de trecere. Deși, desigur, nimic nu este imposibil! Să nu amânăm și să trecem imediat să luăm în considerare prima clasă de probleme:

Calcularea distanței de la un punct la un plan

De ce avem nevoie pentru a rezolva această problemă?

1. Coordonatele punctului

Deci, de îndată ce primim toate datele necesare, aplicăm formula:

Ar trebui să știți deja cum construim ecuația unui plan din problemele anterioare pe care le-am discutat în ultima parte. Să trecem direct la sarcini. Schema este următoarea: 1, 2 - vă ajut să decideți și, în detaliu, 3, 4 - doar răspunsul, efectuați singur soluția și comparați. Să începem!

Sarcini:

1. Dat un cub. Lungimea muchiei cubului este egală. Găsiți distanța de la se-re-di-na de la tăietură la avion

2. Având în vedere dreptul de patru cărbune pi-ra-mi-da, latura laturii este egală cu baza. Găsiți distanța de la punctul până la planul în care - se-re-di-pe margini.

3. În pi-ra-mi-de triunghiular drept cu os-no-va-ni-em, muchia laterală este egală, iar suta-ro-pe os-no-vania este egală. Găsiți distanța de la vârf la avion.

4. Într-o prismă hexagonală dreaptă, toate muchiile sunt egale. Aflați distanța de la un punct la un plan.

Solutii:

1. Desenați un cub cu margini simple, construiți un segment și un plan, notați mijlocul segmentului cu o literă

În primul rând, să începem cu cel ușor: găsiți coordonatele punctului. De atunci (amintiți-vă de coordonatele mijlocului segmentului!)

Acum compunem ecuația planului folosind trei puncte

\[\stanga| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Acum pot începe să găsesc distanța:

2. Reîncepem cu un desen pe care notăm toate datele!

Pentru o piramidă, ar fi util să-i desenați baza separat.

Nici chiar faptul că desenez ca un pui cu laba nu ne va împiedica să rezolvăm această problemă cu ușurință!

Acum este ușor să găsiți coordonatele unui punct

Din moment ce coordonatele punctului, atunci

2. Deoarece coordonatele punctului a sunt mijlocul segmentului, atunci

Fără probleme, putem găsi coordonatele a încă două puncte din plan.Creăm o ecuație pentru plan și o simplificăm:

\[\stanga| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Deoarece punctul are coordonate: , calculăm distanța:

Răspuns (foarte rar!):

Ei bine, te-ai dat seama? Mi se pare că totul aici este la fel de tehnic ca în exemplele pe care le-am analizat în partea anterioară. Deci sunt sigur că, dacă ați stăpânit acel material, atunci nu vă va fi greu să rezolvați celelalte două probleme. Vă voi da doar răspunsurile:

Calcularea distanței de la o linie dreaptă la un plan

De fapt, nu este nimic nou aici. Cum pot fi poziționate o linie dreaptă și un plan unul față de celălalt? Au o singură posibilitate: să se intersecteze sau o dreaptă este paralelă cu planul. Care credeți că este distanța de la o linie dreaptă la planul cu care se intersectează această linie dreaptă? Mi se pare că aici este clar că o astfel de distanță este egală cu zero. Nu este un caz interesant.

Al doilea caz este mai complicat: aici distanța este deja diferită de zero. Cu toate acestea, deoarece linia este paralelă cu planul, atunci fiecare punct al dreptei este echidistant de acest plan:

Prin urmare:

Aceasta înseamnă că sarcina mea a fost redusă la cea anterioară: căutăm coordonatele oricărui punct pe o dreaptă, căutăm ecuația planului și calculăm distanța de la punct la plan. De fapt, astfel de sarcini sunt extrem de rare în cadrul examenului unificat de stat. Am reușit să găsesc o singură problemă, iar datele din ea erau de așa natură încât metoda coordonatelor nu i-a fost foarte aplicabilă!

Acum să trecem la altceva, mult mai mult clasa importanta sarcini:

Calcularea distanței dintre un punct și o dreaptă

De ce avem nevoie?

1. Coordonatele punctului de la care căutăm distanța:

2. Coordonatele oricărui punct situat pe o dreaptă

3. Coordonatele vectorului de direcție al dreptei

Ce formulă folosim?

Ce înseamnă numitorul acestei fracții ar trebui să vă fie clar: aceasta este lungimea vectorului de direcție al dreptei. Acesta este un numărător foarte complicat! Expresia înseamnă modulul (lungimea) produsului vectorial al vectorilor și Cum se calculează produsul vectorial, am studiat în partea anterioară a lucrării. Reîmprospătează-ți cunoștințele, vom avea mare nevoie de ele acum!

Astfel, algoritmul de rezolvare a problemelor va fi următorul:

1. Căutăm coordonatele punctului de la care căutăm distanța:

2. Căutăm coordonatele oricărui punct de pe dreapta până la care căutăm distanța:

3. Construiți un vector

4. Construiți un vector de direcție al unei drepte

5. Calculați produsul vectorial

6. Căutăm lungimea vectorului rezultat:

7. Calculați distanța:

Avem mult de lucru, iar exemplele vor fi destul de complexe! Așa că acum concentrează-ți toată atenția!

1. Dat un pi-ra-mi-da drept triunghiular cu vârf. Suta-ro-pe baza pi-ra-mi-dy este egal, tu esti egal. Găsiți distanța de la marginea gri până la linia dreaptă, unde punctele și sunt marginile gri și de la veterinar.

2. Lungimile nervurilor și unghiul drept-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da sunt egale în consecință și Aflați distanța de la vârf la linia dreaptă

3. Într-o prismă hexagonală dreaptă, toate muchiile sunt egale, găsiți distanța de la un punct la o linie dreaptă

Solutii:

1. Facem un desen îngrijit pe care notăm toate datele:

Avem mult de lucru! În primul rând, aș dori să descriu în cuvinte ce vom căuta și în ce ordine:

1. Coordonatele punctelor și

2. Coordonatele punctului

3. Coordonatele punctelor și

4. Coordonatele vectorilor şi

5. Produsul lor încrucișat

6. Lungimea vectorului

7. Lungimea produsului vectorial

8. Distanța de la până la

Ei bine, avem multă treabă înainte! Să ajungem la asta cu mânecile suflecate!

1. Pentru a afla coordonatele înălțimii piramidei, trebuie să cunoaștem coordonatele punctului.Aplicația sa este zero, iar ordonata sa este egală cu abscisa sa este egală cu lungimea segmentului.Deoarece este înălțimea de un triunghi echilateral, se împarte în raport, numărând de la vârf, de aici. În cele din urmă, am obținut coordonatele:

Coordonatele punctului

2. - mijlocul segmentului

3. - mijlocul segmentului

Punctul de mijloc al segmentului

4.Coordonate

Coordonatele vectoriale

5. Calculați produsul vectorial:

6. Lungimea vectorului: cel mai simplu mod de a înlocui este ca segmentul să fie linia mediană a triunghiului, ceea ce înseamnă că este egal cu jumătate din bază. Asa de.

7. Calculați lungimea produsului vectorial:

8. În sfârșit, găsim distanța:

Uf, asta e! Vă spun sincer: soluția la această problemă este metode tradiționale(prin construcție), ar fi mult mai rapid. Dar aici am redus totul la un algoritm gata făcut! Cred că algoritmul de soluție este clar pentru tine? Prin urmare, vă voi cere să rezolvați singur cele două probleme rămase. Să comparăm răspunsurile?

Din nou, repet: este mai ușor (mai rapid) să rezolvi aceste probleme prin construcții, decât să recurgi la metoda coordonatelor. Am demonstrat această metodă de soluție doar pentru a vă arăta o metodă universală care vă permite să „nu terminați de construit nimic”.

În cele din urmă, luați în considerare ultima clasă de probleme:

Calcularea distanței dintre liniile care se intersectează

Aici algoritmul de rezolvare a problemelor va fi similar cu cel anterior. Ce avem:

3. Orice vector care leagă punctele primei și celei de-a doua linii:

Cum găsim distanța dintre linii?

Formula este următoarea:

Numătorul este modulul produsului mixt (l-am introdus în partea anterioară), iar numitorul este, ca și în formula anterioară (modulul produsului vectorial al vectorilor de direcție ai dreptelor, distanța între care avem cauta).

Îți voi reaminte asta

Apoi formula pentru distanță poate fi rescrisă ca:

Acesta este un determinant împărțit de un determinant! Deși, sincer să fiu, nu am timp de glume aici! Această formulă este, de fapt, foarte greoaie și duce la calcule destul de complexe. Dacă aș fi în locul tău, aș recurge la ea doar în ultimă instanță!

Să încercăm să rezolvăm câteva probleme folosind metoda de mai sus:

1. Într-o prismă triunghiulară dreptunghiulară, ale cărei margini sunt egale, găsiți distanța dintre liniile drepte și.

2. Având în vedere o prismă triunghiulară dreptunghiulară, toate marginile bazei sunt egale cu secțiunea care trece prin nervura corpului și nervurile se-re-di-well sunt pătrate. Aflați distanța dintre liniile drepte și

Eu o decid pe prima, iar pe baza ei, tu decizi pe a doua!

1. Desenez o prismă și marchez linii drepte și

Coordonatele punctului C: atunci

Coordonatele punctului

Coordonatele vectoriale

Coordonatele punctului

Coordonatele vectoriale

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(matrice))\end(matrice)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Se calculează produsul vectorial între vectori și

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array) )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(matrice)\end(matrice) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Acum îi calculăm lungimea:

Răspuns:

Acum încercați să finalizați cu atenție a doua sarcină. Răspunsul la aceasta va fi: .

Coordonate și vectori. Scurtă descriere și formule de bază

Un vector este un segment direcționat. - începutul vectorului, - sfârşitul vectorului.
Un vector este notat cu sau.

Valoare absolută vector - lungimea segmentului care reprezintă vectorul. Notat ca.

Coordonatele vectoriale:

,
unde sunt capetele vectorului \displaystyle a .

Suma vectorilor: .

Produsul vectorilor:

Produsul punctual al vectorilor:

Produsul scalar al vectorilor este egal cu produsul valorilor lor absolute și cosinusul unghiului dintre ei:

RĂMĂSUL DE 2/3 ARTICOLE SUNT DISPONIBILE NUMAI STUDENTILOR YOUCLEVER!

Deveniți student YouClever,

Pregătiți-vă pentru examenul de stat unificat sau examenul de stat unificat la matematică la prețul „o ceașcă de cafea pe lună”,

Și, de asemenea, obțineți acces nelimitat la manualul „YouClever”, Programul de pregătire (registrul de lucru) „100gia”, nelimitat proces Examenul de stat unificatși OGE, 6000 de probleme cu analiza soluțiilor și a altor servicii YouClever și 100gia.

Definiție standard: „Un vector este un segment direcționat”. Aceasta este de obicei nivelul cunoștințelor unui absolvent despre vectori. Cine are nevoie de „segmente direcționale”?

Dar cu adevărat, ce sunt vectorii și pentru ce sunt aceștia?
Prognoza meteo. „Vânt de nord-vest, viteză 18 metri pe secundă.” De acord, atât direcția vântului (de unde suflă) cât și magnitudinea (adică valoarea absolută) vitezei sale contează.

Mărimile care nu au direcție se numesc scalare. Masa, munca, sarcina electrică nu sunt direcționate nicăieri. Ele sunt caracterizate doar de o valoare numerică - „câte kilograme” sau „câți jouli”.

Mărimile fizice care au nu numai o valoare absolută, ci și o direcție, se numesc mărimi vectoriale.

Viteză, forță, accelerație - vectori. Pentru ei, „cât” este important și „unde” este important. De exemplu, accelerația gravitației este îndreptată spre suprafața Pământului, iar valoarea acesteia este de 9,8 m/s 2. Impulsul, intensitatea câmpului electric, inducția câmpului magnetic sunt, de asemenea, mărimi vectoriale.

Vă amintiți că mărimile fizice sunt notate cu litere, latină sau greacă. Săgeata de deasupra literei indică faptul că cantitatea este vectorială:

Iată un alt exemplu.
O mașină se deplasează de la A la B. Rezultatul final este mișcarea sa din punctul A în punctul B, adică mișcarea unui vector .

Acum este clar de ce un vector este un segment direcționat. Vă rugăm să rețineți că sfârșitul vectorului este unde se află săgeata. Lungimea vectorului se numește lungimea acestui segment. Indicat prin: sau

Pana acum am lucrat cu marimi scalare, dupa regulile aritmeticii si algebrei elementare. Vectorii sunt un concept nou. Aceasta este o altă clasă de obiecte matematice. Au propriile lor reguli.

Odinioară nici nu știam nimic despre numere. Cunoașterea mea cu ei a început în școala elementară. S-a dovedit că numerele pot fi comparate între ele, adunate, scăzute, înmulțite și împărțite. Am învățat că există un număr unu și un număr zero.
Acum suntem introduși în vectori.

Conceptele de „mai mult” și „mai puțin” pentru vectori nu există - la urma urmei, direcțiile lor pot fi diferite. Numai lungimile vectorului pot fi comparate.

Dar există un concept de egalitate pentru vectori.
Egal se numesc vectori care au aceeasi lungime si aceeasi directie. Aceasta înseamnă că vectorul poate fi transferat paralel cu el însuși în orice punct din plan.
Singur este un vector a cărui lungime este 1. Zero este un vector a cărui lungime este zero, adică începutul său coincide cu sfârșitul.

Cel mai convenabil este să lucrați cu vectori într-un sistem de coordonate dreptunghiular - același în care desenăm grafice ale funcțiilor. Fiecare punct din sistemul de coordonate corespunde a două numere - coordonatele sale x și y, abscisă și ordonată.
Vectorul este specificat și de două coordonate:

Aici coordonatele vectorului sunt scrise între paranteze - în x și y.
Se găsesc simplu: coordonata sfârșitului vectorului minus coordonata începutului acestuia.

Dacă sunt date coordonatele vectoriale, lungimea acestuia este găsită prin formula

Adăugarea vectorului

Există două moduri de a adăuga vectori.

1 . Regula paralelogramului. Pentru a adăuga vectorii și , plasăm originile ambilor în același punct. Construim până la un paralelogram și din același punct desenăm o diagonală a paralelogramului. Aceasta va fi suma vectorilor și .

Îți amintești fabula despre lebădă, raci și știucă? Au încercat foarte mult, dar nu au mutat niciodată căruciorul. La urma urmei, suma vectorială a forțelor pe care le aplicau căruciorului a fost egală cu zero.

2. A doua modalitate de a adăuga vectori este regula triunghiului. Să luăm aceiași vectori și . Vom adăuga începutul celui de-al doilea la sfârșitul primului vector. Acum să conectăm începutul primului și sfârșitul celui de-al doilea. Aceasta este suma vectorilor și .

Folosind aceeași regulă, puteți adăuga mai mulți vectori. Le aranjam unul după altul și apoi conectăm începutul primului cu sfârșitul ultimului.

Imaginează-ți că mergi de la punctul A la punctul B, de la B la C, de la C la D, apoi la E și la F. Rezultatul final al acestor acțiuni este deplasarea de la A la F.

Când adunăm vectori și obținem:

Scădere vectorială

Vectorul este îndreptat opus vectorului. Lungimile vectorilor și sunt egale.

Acum este clar ce este scăderea vectorială. Diferența vectorială și este suma vectorului și a vectorului .

Înmulțirea unui vector cu un număr

Când un vector este înmulțit cu numărul k, se obține un vector a cărui lungime este de k ori diferită de lungimea . Este codirecțional cu vectorul dacă k este mai mare decât zero și opus dacă k este mai mic decât zero.

Produsul punctual al vectorilor

Vectorii pot fi înmulțiți nu numai cu numere, ci și între ei.

Produsul scalar al vectorilor este produsul dintre lungimile vectorilor și cosinusul unghiului dintre ei.

Vă rugăm să rețineți că am înmulțit doi vectori, iar rezultatul a fost un scalar, adică un număr. De exemplu, în fizică, munca mecanică este egală cu produsul scalar a doi vectori - forță și deplasare:

Dacă vectorii sunt perpendiculari, produsul lor scalar este zero.
Și așa se exprimă produsul scalar prin coordonatele vectorilor și:

Din formula pentru produsul scalar puteți găsi unghiul dintre vectori:

Această formulă este deosebit de convenabilă în stereometrie. De exemplu, în problema 14 a examenului de stat Profil unificat la matematică, trebuie să găsiți unghiul dintre liniile care se intersectează sau dintre o dreaptă și un plan. Problema 14 este adesea rezolvată de câteva ori mai repede decât prin metoda clasică.

ÎN curiculumul scolar la matematică se studiază doar produsul scalar al vectorilor.
Rezultă că, pe lângă produsul scalar, există și un produs vectorial, când rezultatul înmulțirii a doi vectori este un vector. Oricine susține examenul de stat unificat în fizică știe ce sunt forța Lorentz și forța Ampere. Formulele pentru găsirea acestor forțe includ produse vectoriale.

Vectorii sunt un instrument matematic foarte util. Veți vedea asta în primul an.

Definiție

Cantitatea scalară- o cantitate care poate fi caracterizată printr-un număr. De exemplu, lungimea, suprafața, masa, temperatura etc.

Vector numit segmentul direcționat $\overline(A B)$; punctul $A$ este începutul, punctul $B$ este sfârșitul vectorului (Fig. 1).

Un vector este notat fie cu două litere mari - începutul și sfârșitul său: $\overline(A B)$, fie cu o literă mică: $\overline(a)$.

Definiție

Dacă începutul și sfârșitul unui vector coincid, atunci se numește un astfel de vector zero. Cel mai adesea, vectorul zero este notat cu $\overline(0)$.

Vectorii sunt numiți coliniare, dacă se află fie pe aceeași linie, fie pe linii paralele (Fig. 2).

Definiție

Sunt numiți doi vectori coliniari $\overline(a)$ și $\overline(b)$ co-regizat, dacă direcţiile lor coincid: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (Fig. 3, a). Sunt numiți doi vectori coliniari $\overline(a)$ și $\overline(b)$ îndreptată opus, dacă direcțiile lor sunt opuse: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (Fig. 3, b).

Definiție

Vectorii sunt numiți coplanare, dacă sunt paralele cu același plan sau se află în același plan (Fig. 4).

Doi vectori sunt întotdeauna coplanari.

Definiție

Lungime (modul) vector $\overline(A B)$ este distanța dintre începutul și sfârșitul său: $|\overline(A B)|$

Teorie detaliată despre lungimea vectorului la link.

Lungimea vectorului zero este zero.

Definiție

Un vector a cărui lungime este egală cu unu se numește vector unitar sau ortom.

Vectorii sunt numiți egal, dacă sunt situate pe una sau drepte paralele; direcțiile lor coincid și lungimile lor sunt egale.

Un astfel de concept ca vector este considerat în aproape toate științele naturii și poate avea complet sens diferit, prin urmare, este imposibil să se ofere o definiție clară a vectorului pentru toate zonele. Dar să încercăm să ne dăm seama. Deci, ce este un vector?

Conceptul de vector în geometria clasică

Un vector în geometrie este un segment pentru care se indică care dintre punctele sale este începutul și care este sfârșitul. Adică, pentru a spune simplu, un segment direcționat se numește vector.

În consecință, un vector este notat (ce este - discutat mai sus), precum și un segment, adică prin două litere mari ale alfabetului latin cu adăugarea unei linii sau a unei săgeți îndreptate spre dreapta sus. De asemenea, poate fi semnat cu o literă mică (mică) din alfabetul latin cu o linie sau săgeată. Săgeata indică întotdeauna spre dreapta și nu se modifică în funcție de locația vectorului.

Astfel, un vector are o direcție și o lungime.

Desemnarea unui vector conține și direcția acestuia. Acest lucru este exprimat ca în figura de mai jos.

Schimbarea direcției inversează valoarea vectorului.

Lungimea unui vector este lungimea segmentului din care este format. Este notat ca modulul unui vector. Acest lucru este arătat în imaginea de mai jos.

În consecință, un vector a cărui lungime este zero este zero. De aici rezultă că vectorul zero este un punct, iar punctele sale de început și de sfârșit coincid.

Lungimea unui vector este întotdeauna o mărime nenegativă. Cu alte cuvinte, dacă există un segment, atunci acesta are în mod necesar o anumită lungime sau este un punct, atunci lungimea sa este zero.

Însuși conceptul de punct este de bază și nu are definiție.

Adăugarea vectorului

Există formule și reguli speciale pentru vectori care pot fi folosite pentru a efectua adunări.

Regula triunghiului. Pentru a adăuga vectori conform acestei reguli, este suficient să combinați sfârșitul primului vector și începutul celui de-al doilea, folosind translația paralelă, și să le conectați. Al treilea vector rezultat va fi egal cu adăugarea celorlalți doi.

Regula paralelogramului. Pentru a adăuga folosind această regulă, trebuie să desenați ambii vectori dintr-un punct și apoi să desenați un alt vector de la sfârșitul fiecăruia dintre ei. Adică, al doilea va fi desenat din primul vector, iar primul din al doilea. Rezultatul este un nou punct de intersecție și se formează un paralelogram. Dacă combinați punctul de intersecție al începuturilor și sfârșitului vectorilor, atunci vectorul rezultat va fi rezultatul adunării.

Scăderea se poate face într-un mod similar.

Diferența vectorială

Similar cu adăugarea vectorilor, este, de asemenea, posibil să le scădem. Se bazează pe principiul prezentat în figura de mai jos.

Adică, este suficient să reprezentați vectorul scăzut sub forma unui vector opus acestuia și să efectuați calculul folosind principiile adunării.

De asemenea, absolut orice vector diferit de zero poate fi înmulțit cu orice număr k, acest lucru își va schimba lungimea de k ori.

Pe lângă acestea, există și alte formule vectoriale (de exemplu, pentru exprimarea lungimii unui vector prin coordonatele sale).

Locația vectorului

Cu siguranță mulți au dat peste un astfel de concept ca un vector coliniar. Ce este coliniaritatea?

Coliniaritatea vectorilor este echivalentul paralelismului liniilor. Dacă doi vectori se află pe drepte paralele între ele sau pe aceeași linie, atunci astfel de vectori se numesc coliniari.

Direcţie. Unul față de celălalt, vectorii coliniari pot fi co-direcționați sau direcționați opus, acest lucru este determinat de direcția vectorilor. În consecință, dacă un vector este codirecțional cu altul, atunci vectorul opus acestuia este direcționat opus.

Prima figură prezintă doi vectori direcționați opus și un al treilea care nu este coliniar cu ei.

După introducerea proprietăților de mai sus, este posibil să se definească vectori egali - aceștia sunt vectori care sunt direcționați într-o direcție și au aceeași lungime a segmentelor din care sunt formați.

În multe științe, este folosit și conceptul de vector cu rază. Un astfel de vector descrie poziția unui punct pe plan față de un alt punct fix (de multe ori aceasta este originea).

Vectori în fizică

Să presupunem că la rezolvarea unei probleme a apărut o condiție: corpul se mișcă cu o viteză de 3 m/s. Aceasta înseamnă că corpul se mișcă cu o direcție specifică de-a lungul unei linii drepte, deci această variabilă va fi o mărime vectorială. Pentru a rezolva, este important să cunoaștem atât valoarea, cât și direcția, deoarece în funcție de considerent, viteza poate fi fie de 3 m/s, fie de -3 m/s.

În general, un vector în fizică este folosit pentru a indica direcția unei forțe care acționează asupra unui corp și pentru a determina rezultanta.

Când aceste forțe sunt indicate în figură, ele sunt indicate prin săgeți cu o etichetă vectorială deasupra acesteia. În mod clasic, lungimea săgeții este la fel de importantă; este folosită pentru a indica ce forță este mai puternică, dar aceasta este o proprietate secundară și nu trebuie să ne bazăm.

Vector în algebră liniară și calcul

Elementele spațiilor liniare sunt numite și vectori, dar în acest caz reprezintă un sistem ordonat de numere care descriu unele dintre elemente. Prin urmare, direcția în acest caz nu mai are nicio importanță. Definiția unui vector în geometria clasică și în calcul este foarte diferită.

Proiectarea vectorilor

Vector proiectat - ce este?

Destul de des, pentru un calcul corect și convenabil, este necesară extinderea unui vector situat în spațiu bidimensional sau tridimensional de-a lungul axelor de coordonate. Această operație este necesară, de exemplu, în mecanică atunci când se calculează forțele care acționează asupra unui corp. Un vector este folosit destul de des în fizică.

Pentru a efectua o proiecție, este suficient să coborâți perpendicularele de la începutul și sfârșitul vectorului pe fiecare dintre axele de coordonate; segmentele obținute pe ele se vor numi proiecția vectorului pe axă.

Pentru a calcula lungimea unei proiecții, este suficient să-i înmulțiți lungimea inițială cu o anumită funcție trigonometrică, care se obține prin rezolvarea unei mini-probleme. În esență, există un triunghi dreptunghic în care ipotenuza este vectorul original, unul dintre catete este proiecția, iar celălalt catete este perpendiculara căzută.