Lungimea altitudinii trasate la ipotenuza triunghiului. Triunghi dreptunghic

Proprietate: 1.În orice triunghi dreptunghic, altitudinea luată din unghiul drept (de către ipotenuză) împarte triunghiul dreptunghic în trei triunghiuri similare.

Proprietate: 2.Înălțimea unui triunghi dreptunghic, coborât la ipotenuză, este egală cu media geometrică a proiecțiilor catetelor pe ipotenuză (sau media geometrică a acelor segmente în care înălțimea împarte ipotenuza).

Proprietate: 3. Catonul este egal cu media geometrică a ipotenuzei și proiecția acestui catet pe ipotenuză.

Proprietate: 4. Un catet opus unui unghi de 30 de grade este egal cu jumătate din ipotenuză.

Formula 1.

Formula 2., unde este ipotenuza; , picioare.

Proprietate: 5.Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasată de ipotenuză este egală cu jumătate din aceasta și egală cu raza cercului circumscris.

Proprietate: 6. Relația dintre laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghic:

44. Teorema cosinusurilor. Corolare: relația dintre diagonalele și laturile unui paralelogram; determinarea tipului de triunghi; formula pentru calcularea lungimii medianei unui triunghi; Calculul cosinusului unui unghi triunghi.

Sfârșitul lucrării -

Acest subiect aparține secțiunii:

Clasă. Program de colocviu despre planimetrie de bază

Proprietatea unghiurilor adiacente.. definiția a două unghiuri adiacente dacă au o latură în comun și celelalte două formează o linie dreaptă..

Dacă aveți nevoie material suplimentar pe acest subiect, sau nu ați găsit ceea ce căutați, vă recomandăm să utilizați căutarea în baza noastră de date de lucrări:

Ce vom face cu materialul primit:

Dacă acest material ți-a fost util, îl poți salva pe pagina ta de pe rețelele sociale:

De fapt, totul nu este deloc atât de înfricoșător. Desigur, definiția „reala” a sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei ar trebui să fie analizată în articol. Dar chiar nu vreau, nu? Ne putem bucura: pentru a rezolva probleme despre un triunghi dreptunghic, puteți completa pur și simplu următoarele lucruri simple:

Dar unghiul? Există un picior care este opus colțului, adică un picior opus (pentru un unghi)? Desigur că au! Acesta este un picior!

Dar unghiul? Priveste cu atentie. Care picior este adiacent colțului? Desigur, piciorul. Aceasta înseamnă că pentru unghi piciorul este adiacent și

Acum, fii atent! Uite ce avem:

Vezi ce tare este:

Acum să trecem la tangentă și cotangentă.

Cum pot scrie asta în cuvinte acum? Care este piciorul în raport cu unghiul? Vizavi, desigur - „se află” vizavi de colț. Dar piciorul? Adiacent colțului. Deci ce avem?

Vedeți cum numărătorul și numitorul au schimbat locurile?

Și acum colțurile din nou și au făcut un schimb:

rezumat

Să scriem pe scurt tot ce am învățat.

Teorema lui Pitagora:

Principala teoremă despre triunghiuri dreptunghiulare este teorema lui Pitagora.

teorema lui Pitagora

Apropo, vă amintiți bine ce sunt catetele și ipotenuza? Dacă nu este foarte bun, atunci uită-te la imagine - reîmprospătează-ți cunoștințele

Este foarte posibil să fi folosit deja teorema lui Pitagora de multe ori, dar te-ai întrebat vreodată de ce o astfel de teoremă este adevărată? Cum pot dovedi asta? Să facem ca grecii antici. Să desenăm un pătrat cu o latură.

Vezi cât de inteligent i-am împărțit laturile în lungimi și!

Acum să conectăm punctele marcate

Aici, totuși, am notat altceva, dar tu însuți te uiți la desen și te gândești de ce este așa.

Care este aria pătratului mai mare?

Dreapta, .

Dar o zonă mai mică?

Cu siguranță, .

Suprafața totală a celor patru colțuri rămâne. Imaginează-ți că i-am luat câte doi și i-am sprijinit unul de celălalt cu ipotenuzele lor.

Ce s-a întâmplat? Două dreptunghiuri. Aceasta înseamnă că aria „tăierilor” este egală.

Să punem totul împreună acum.

Să transformăm:

Așa că l-am vizitat pe Pitagora - i-am demonstrat teorema într-un mod antic.

Triunghi dreptunghic și trigonometrie

Pentru un triunghi dreptunghic sunt valabile următoarele relații:

Sinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul dintre latura opusă ipotenuzei

Cosinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetei adiacente și ipotenuză.

Tangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.

Cotangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre latura adiacentă și latura opusă.

Și încă o dată toate acestea sub formă de tabletă:

Este foarte confortabil!

Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare

I. Pe două laturi

II. Prin catete și ipotenuză

III. Prin ipotenuză și unghi ascuțit

IV. De-a lungul piciorului și unghi ascuțit

A)

b)

Atenţie! Este foarte important aici ca picioarele să fie „potrivite”. De exemplu, dacă merge așa:

ATUNCI TRIANGULILE NU SUNT EGALE, în ciuda faptului că au un unghi ascuțit identic.

Trebuie sa în ambele triunghiuri piciorul era adiacent, sau în ambele era opus.

Ați observat cum diferă semnele de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare de semnele obișnuite de egalitate ale triunghiurilor?

Aruncă o privire la subiectul „și acordă atenție faptului că pentru egalitatea triunghiurilor „obișnuite”, trei dintre elementele lor trebuie să fie egale: două laturi și unghiul dintre ele, două unghiuri și latura dintre ele sau trei laturi.

Dar pentru egalitatea triunghiurilor dreptunghiulare sunt suficiente doar două elemente corespunzătoare. Grozav, nu?

Situația este aproximativ aceeași cu semnele de similitudine ale triunghiurilor dreptunghiulare.

Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare

I. De-a lungul unui unghi ascuțit

II. Pe două laturi

III. Prin catete și ipotenuză

Mediana într-un triunghi dreptunghic

De ce este așa?

În loc de un triunghi dreptunghic, luați în considerare un întreg dreptunghi.

Să desenăm o diagonală și să luăm în considerare un punct - punctul de intersecție al diagonalelor. Ce știi despre diagonalele unui dreptunghi?

Și ce rezultă din asta?

Deci s-a dovedit că

1. - mediana:

Amintiți-vă acest fapt! Ajută mult!

Ceea ce este și mai surprinzător este că și contrariul este adevărat.

La ce bun se poate obține din faptul că mediana trasată la ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză? Să ne uităm la poză

Priveste cu atentie. Avem: , adică distanțele de la punct la toate cele trei vârfuri ale triunghiului s-au dovedit a fi egale. Dar există un singur punct în triunghi, distanțele de la care toate cele trei vârfuri ale triunghiului sunt egale și acesta este CENTRU CERCULUI. Deci ce s-a întâmplat?

Deci, să începem cu acest „în afară de...”.

Să ne uităm la și.

Dar triunghiuri similare au toate unghiurile egale!

Același lucru se poate spune despre și

Acum să o desenăm împreună:

Ce beneficii pot fi obținute din această similitudine „trilă”?

Ei bine, de exemplu - două formule pentru înălțimea unui triunghi dreptunghic.

Să notăm relațiile părților corespunzătoare:

Pentru a găsi înălțimea, rezolvăm proporția și obținem prima formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghic”:

Ei bine, acum, aplicând și combinând aceste cunoștințe cu altele, vei rezolva orice problemă cu un triunghi dreptunghic!

Deci, să aplicăm asemănarea: .

Ce se va întâmpla acum?

Din nou rezolvăm proporția și obținem a doua formulă:

Trebuie să vă amintiți foarte bine ambele formule și să o utilizați pe cea mai convenabilă.

Să le scriem din nou

Teorema lui Pitagora:

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: .

Semne de egalitate a triunghiurilor dreptunghiulare:

• pe doua laturi:
• prin catete și ipotenuză: or
• de-a lungul piciorului și unghiului acut adiacent: sau
• de-a lungul piciorului și unghiului acut opus: or
• prin ipotenuză şi unghi ascuţit: or.

Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare:

• un colț ascuțit: sau
• din proporționalitatea a două picioare:
• din proporţionalitatea catetei şi ipotenuzei: or.

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă într-un triunghi dreptunghic

• Sinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă ipotenuzei:
• Cosinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză:
• Tangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă:
• Cotangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre latura adiacentă și latura opusă: .

Înălțimea unui triunghi dreptunghic: sau.

Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasă din vârful unghiului drept este egală cu jumătate din ipotenuză: .

Aria unui triunghi dreptunghic:

• prin picioare:

(ABC)și proprietățile sale, care sunt prezentate în figură. Triunghi dreptunghic are o ipotenuză - latura care se află opusă unghiului drept.

Sfat 1: Cum să găsiți înălțimea unui triunghi dreptunghic

Laturile care formează un unghi drept se numesc picioare. Imaginea arată părțile laterale AD, DC și BD, DC- picioare și laterale ACȘi NE- ipotenuza.

Teorema 1. Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30° catetul opus acestui unghi va rupe jumătate din ipotenuză.

hC

AB- ipotenuza;

ANUNȚȘi DВ

Triunghi
Există o teoremă:
sistem de comentarii CACKLE

Rezolvare: 1) Diagonalele oricărui dreptunghi sunt egale.Adevărat 2) Dacă un triunghi are un unghi ascuțit, atunci acest triunghi este ascuțit. Neadevarat. Tipuri de triunghiuri. Un triunghi se numește acut dacă toate cele trei unghiuri ale sale sunt acute, adică mai mici de 90° 3) Dacă punctul se află pe.

Sau, într-o altă intrare,

Conform teoremei lui Pitagora

Care este formula pentru înălțimea unui triunghi dreptunghic?

Înălțimea unui triunghi dreptunghic

Înălțimea unui triunghi dreptunghic trasat de ipotenuză poate fi găsită într-un fel sau altul în funcție de datele din enunțul problemei.

Sau, într-o altă intrare,

Unde BK și KC sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză (segmentele în care înălțimea împarte ipotenuza).

Altitudinea până la ipotenuză poate fi găsită prin aria unui triunghi dreptunghic. Dacă aplicăm formula pentru a găsi aria unui triunghi

(jumătate din produsul unei laturi și înălțimea trasă de această latură) la ipotenuză și înălțimea trasă la ipotenuză, obținem:

De aici putem găsi înălțimea ca raportul de două ori aria triunghiului și lungimea ipotenuzei:

Deoarece aria unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din produsul catetelor:

Adică, lungimea înălțimii trasate la ipotenuză este egală cu raportul dintre produsul catetelor la ipotenuză. Dacă notăm lungimile catetelor cu a și b, lungimea ipotenuzei cu c, formula poate fi rescrisă ca

Deoarece raza cercului circumferitor al unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din ipotenuză, lungimea altitudinii poate fi exprimată în termeni de catete și raza cercului circumferitor:

Deoarece înălțimea trasată la ipotenuză formează încă două triunghiuri dreptunghiulare, lungimea acesteia poate fi găsită prin relațiile din triunghiul dreptunghic.

Din triunghiul dreptunghic ABK

Din triunghiul dreptunghic ACK

Lungimea altitudinii unui triunghi dreptunghic poate fi exprimată în termeni de lungimi ale catetelor. Deoarece

Conform teoremei lui Pitagora

Dacă pătram ambele părți ale ecuației:

Puteți obține o altă formulă pentru a raporta înălțimea unui triunghi dreptunghic cu picioarele sale:

Care este formula pentru înălțimea unui triunghi dreptunghic?

Triunghi dreptunghic. Nivel mediu.

Doriți să vă testați puterea și să aflați rezultatul cât de pregătit sunteți pentru examenul de stat unificat sau examenul de stat unificat?

Principala teoremă despre triunghiuri dreptunghiulare este teorema lui Pitagora.

teorema lui Pitagora

Apropo, vă amintiți bine ce sunt catetele și ipotenuza? Dacă nu este foarte bun, atunci uită-te la imagine - reîmprospătează-ți cunoștințele

Este foarte posibil să fi folosit deja teorema lui Pitagora de multe ori, dar te-ai întrebat vreodată de ce o astfel de teoremă este adevărată? Cum pot dovedi asta? Să facem ca grecii antici. Să desenăm un pătrat cu o latură.

Vezi cât de inteligent i-am împărțit laturile în lungimi și!

Acum să conectăm punctele marcate

Aici, totuși, am notat altceva, dar tu însuți te uiți la desen și te gândești de ce este așa.

Care este aria pătratului mai mare? Dreapta, . Dar o zonă mai mică? Cu siguranță, . Suprafața totală a celor patru colțuri rămâne. Imaginează-ți că i-am luat câte doi și i-am sprijinit unul de celălalt cu ipotenuzele lor. Ce s-a întâmplat? Două dreptunghiuri. Aceasta înseamnă că aria „tăierilor” este egală.

Să punem totul împreună acum.

Așa că l-am vizitat pe Pitagora - i-am demonstrat teorema într-un mod antic.

Triunghi dreptunghic și trigonometrie

Pentru un triunghi dreptunghic sunt valabile următoarele relații:

Sinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul dintre latura opusă ipotenuzei

Cosinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetei adiacente și ipotenuză.

Tangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.

Cotangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre latura adiacentă și latura opusă.

Și încă o dată toate acestea sub formă de tabletă:

Ai observat un lucru foarte convenabil? Privește cu atenție semnul.

Este foarte confortabil!

Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare

II. Prin catete și ipotenuză

III. Prin ipotenuză și unghi ascuțit

IV. De-a lungul piciorului și unghi ascuțit

Atenţie! Este foarte important aici ca picioarele să fie „potrivite”. De exemplu, dacă merge așa:

ATUNCI TRIANGULILE NU SUNT EGALE, în ciuda faptului că au un unghi ascuțit identic.

Trebuie sa În ambele triunghiuri piciorul era adiacent, sau în ambele era opus.

Ați observat cum diferă semnele de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare de semnele obișnuite de egalitate ale triunghiurilor? Aruncați o privire la subiectul „Triunghi” și acordați atenție faptului că, pentru egalitatea triunghiurilor „obișnuite”, trei dintre elementele lor trebuie să fie egale: două laturi și unghiul dintre ele, două unghiuri și latura dintre ele sau trei laturi. Dar pentru egalitatea triunghiurilor dreptunghiulare sunt suficiente doar două elemente corespunzătoare. Grozav, nu?

Situația este aproximativ aceeași cu semnele de similitudine ale triunghiurilor dreptunghiulare.

Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare

III. Prin catete și ipotenuză

Mediana într-un triunghi dreptunghic

În loc de un triunghi dreptunghic, luați în considerare un întreg dreptunghi.

Să desenăm o diagonală și să luăm în considerare punctul în care se intersectează diagonalele. Ce știi despre diagonalele unui dreptunghi?

Punctul de intersecție al diagonalelor se împarte la jumătate Diagonalele sunt egale.

Și ce rezultă din asta?

Deci s-a dovedit că

Amintiți-vă acest fapt! Ajută mult!

Ceea ce este și mai surprinzător este că și contrariul este adevărat.

La ce bun se poate obține din faptul că mediana trasată la ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză? Să ne uităm la poză

Priveste cu atentie. Avem: , adică distanțele de la punct la toate cele trei vârfuri ale triunghiului s-au dovedit a fi egale. Dar există un singur punct în triunghi, distanțele de la care toate cele trei vârfuri ale triunghiului sunt egale și acesta este CENTRU CERCULUI. Deci ce s-a întâmplat?

Să începem cu acest „în afară de aceasta”. "

Dar triunghiuri similare au toate unghiurile egale!

Același lucru se poate spune despre și

Acum să o desenăm împreună:

Au aceleași unghiuri ascuțite!

Ce beneficii pot fi obținute din această similitudine „trilă”?

Ei bine, de exemplu - Două formule pentru înălțimea unui triunghi dreptunghic.

Să notăm relațiile părților corespunzătoare:

Pentru a găsi înălțimea, rezolvăm proporția și obținem Prima formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghic”:

Cum să obțineți al doilea?

Acum să aplicăm asemănarea triunghiurilor și.

Deci, să aplicăm asemănarea: .

Ce se va întâmpla acum?

Din nou rezolvăm proporția și obținem a doua formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghic”:

Trebuie să vă amintiți foarte bine ambele formule și să o utilizați pe cea mai convenabilă. Să le scriem din nou

Ei bine, acum, aplicând și combinând aceste cunoștințe cu altele, vei rezolva orice problemă cu un triunghi dreptunghic!

Comentarii

Distribuirea materialelor fără aprobare este permisă dacă există un link dofollow către pagina sursă.

Politica de confidențialitate

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare. Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante. De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.

Proprietatea altitudinii unui triunghi dreptunghic coborât la ipotenuză

Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Daca este necesar, in conditiile legii, procedura judiciara, în proceduri judiciare și/sau pe baza unor solicitări publice sau solicitări din partea agențiilor guvernamentale din Federația Rusă - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică. În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Multumesc pentru mesaj!

Comentariul dumneavoastră a fost acceptat și după moderare va fi publicat pe această pagină.

Doriți să aflați ce se ascunde sub tăietură și să primiți materiale exclusive despre pregătirea pentru examenul de stat unificat și examenul de stat unificat? Lasă-ți e-mailul

Proprietățile unui triunghi dreptunghic

Luați în considerare un triunghi dreptunghic (ABC)și proprietățile sale, care sunt prezentate în figură. Un triunghi dreptunghic are o ipotenuză - latura care se află opusă unghiului drept. Laturile care formează un unghi drept se numesc picioare. Imaginea arată părțile laterale AD, DC și BD, DC- picioare și laterale ACȘi NE- ipotenuza.

Semne de egalitate ale unui triunghi dreptunghic:

Teorema 1. Dacă ipotenuza și catetul unui triunghi dreptunghic sunt similare cu ipotenuza și catetul altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Teorema 2. Dacă două catete ale unui triunghi dreptunghic sunt egale cu două catete ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Teorema 3. Dacă ipotenuza și unghiul ascuțit al unui triunghi dreptunghic sunt similare cu ipotenuza și unghiul ascuțit al altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Teorema 4. Dacă un catete și un unghi ascuțit adiacent (opus) unui triunghi dreptunghic sunt egali cu un catete și un unghi ascuțit adiacent (opus) altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Proprietățile unui picior opus unui unghi de 30°:

Teorema 1.

Înălțimea într-un triunghi dreptunghic

Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30°, catetul opus acestui unghi va rupe jumătate din ipotenuză.

Teorema 2. Dacă într-un triunghi dreptunghic catetul este egal cu jumătate din ipotenuză, atunci unghiul opus acestuia este de 30°.

Dacă altitudinea este trasă de la vârful unghiului drept la ipotenuză, atunci un astfel de triunghi este împărțit în două mai mici, similare cu cel de ieșire și asemănătoare unul cu celălalt. De aici rezultă următoarele concluzii:

1. Înălțimea este media geometrică (media proporțională) a celor două segmente ale ipotenuzei.
2. Fiecare catetă a triunghiului este media proporțională cu ipotenuza și segmentele adiacente.

Într-un triunghi dreptunghic, picioarele acționează ca altitudini. Ortocentrul este punctul în care are loc intersecția altitudinilor triunghiului. El coincide cu vârful unghiului drept al figurii.

hC- înălțimea care iese din unghiul drept al triunghiului;

AB- ipotenuza;

ANUNȚȘi DВ- segmente care apar la împărțirea ipotenuzei la înălțime.

Reveniți la vizualizarea informațiilor despre disciplina „Geometrie”

Triunghi- Acest figură geometrică, format din trei puncte (vârfurile) care nu se află pe aceeași linie dreaptă și trei segmente care leagă aceste puncte. Un triunghi dreptunghic este un triunghi care are unul dintre unghiurile sale la 90° (un unghi drept).
Există o teoremă: suma unghiurilor ascuțite ale unui triunghi dreptunghic este de 90°.
sistem de comentarii CACKLE

Cuvinte cheie: triunghi, unghi drept, catetă, ipotenuză, teorema lui Pitagora, cerc

Triunghiul se numește dreptunghiular dacă are unghi drept.
Un triunghi dreptunghic are două laturi reciproc perpendiculare numite picioare; a treia sa latură se numește ipotenuză.

• După proprietățile perpendicularului și oblicului, ipotenuza este mai lungă decât fiecare catete (dar mai mică decât suma lor).
• Suma a două unghiuri ascuțite ale unui triunghi dreptunghic este egală cu un unghi drept.
• Două altitudini ale unui triunghi dreptunghic coincid cu catetele sale. Prin urmare, unul dintre cele patru puncte remarcabile cade la vârfurile unghiului drept al triunghiului.
• Circumcentrul unui triunghi dreptunghic se află la mijlocul ipotenuzei.
• Mediana unui triunghi dreptunghic trasat de la vârful unghiului drept la ipotenuză este raza cercului circumscris acestui triunghi.

Luați în considerare un triunghi dreptunghic arbitrar ABC și trageți înălțimea CD = hc din vârful C al unghiului său drept.

Acesta va împărți triunghiul dat în două triunghiuri dreptunghiulare ACD și BCD; fiecare dintre aceste triunghiuri are un unghi ascuțit comun cu triunghiul ABC și, prin urmare, este similar cu triunghiul ABC.

Toate cele trei triunghiuri ABC, ACD și BCD sunt similare unul cu celălalt.

Din asemănarea triunghiurilor se determină următoarele relații:

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• c = ac + bc;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

teorema lui Pitagora una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relația dintre laturile unui triunghi dreptunghic.

Formulare geometrică.Într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete.

Formulare algebrică.Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.
Adică, notând lungimea ipotenuzei triunghiului cu c și lungimile catetelor cu a și b:
a2 + b2 = c2

Conversați teorema lui Pitagora.

Înălțimea unui triunghi dreptunghic

Pentru orice triplu de numere pozitive a, b și c astfel încât
a2 + b2 = c2,
Există un triunghi dreptunghic cu catetele a și b și ipotenuza c.

Semne de egalitate a triunghiurilor dreptunghiulare:

• de-a lungul piciorului și ipotenuzei;
• pe două picioare;
• de-a lungul piciorului și unghi ascuțit;
• de-a lungul ipotenuzei și unghiului ascuțit.

Vezi si:
Aria unui triunghi, triunghi isoscel, triunghi echilateral

Geometrie. 8 Clasă. Test 4. Opțiune 1 .

ANUNȚ : CD = CD : B.D. Prin urmare, CD2 = AD ∙ B.D. Ei spun:

ANUNȚ : AC = AC : AB. Prin urmare, AC2 = AB ∙ ANUNȚ. Ei spun:

BD : BC = BC : AB. Prin urmare BC2 = AB ∙ B.D.

Rezolva probleme:

1.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Altitudinea unui triunghi dreptunghic trasat la ipotenuză împarte ipotenuza în segmentele 9 și 36.

Determinați lungimea acestei înălțimi.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7.

8. catetul unui triunghi dreptunghic este 30.

Cum să găsești înălțimea într-un triunghi dreptunghic?

Aflați distanța de la vârful unghiului drept la ipotenuză dacă raza cercului circumscris acestui triunghi este 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Verificați răspunsurile!

G8.04.1. Segmente proporționale într-un triunghi dreptunghic

Geometrie. 8 Clasă. Test 4. Opțiune 1 .

În Δ ABC ∠ACV = 90°. Cattele AC și BC, ipotenuza AB.

CD este altitudinea triunghiului trasat la ipotenuză.

proiecția AD a catetului AC pe ipotenuză,

Proiecția BD a catetei BC pe ipotenuză.

Altitudinea CD împarte triunghiul ABC în două triunghiuri similare cu acesta (și unul cu celălalt): Δ ADC și Δ CDB.

Din proporționalitatea laturilor Δ ADC și Δ CDB similare rezultă:

ANUNȚ : CD = CD : B.D.

Proprietatea altitudinii unui triunghi dreptunghic coborât la ipotenuză.

Prin urmare, CD2 = AD ∙ B.D. Ei spun: altitudinea unui triunghi dreptunghic trasat de ipotenuză,este valoarea proporțională medie dintre proiecțiile catetelor pe ipotenuză.

Din similitudinea dintre Δ ADC și Δ ACB rezultă:

ANUNȚ : AC = AC : AB. Prin urmare, AC2 = AB ∙ ANUNȚ. Ei spun: fiecare catenă este valoarea proporțională medie dintre întreaga ipotenuză și proiecția acestui catet pe ipotenuză.

În mod similar, din similitudinea dintre Δ CDB și Δ ACB rezultă:

BD : BC = BC : AB. Prin urmare BC2 = AB ∙ B.D.

Rezolva probleme:

1. Aflați altitudinea unui triunghi dreptunghic trasat de ipotenuză dacă împarte ipotenuza în segmente de 25 cm și 81 cm.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Altitudinea unui triunghi dreptunghic trasat la ipotenuză împarte ipotenuza în segmentele 9 și 36. Determinați lungimea acestei altitudini.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. Altitudinea unui triunghi dreptunghic trasat la ipotenuză este 22, proiecția unuia dintre catete este 16. Aflați proiecția celuilalt catete.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. catetul unui triunghi dreptunghic este 18, iar proiecția lui la ipotenuză este 12. Aflați ipotenuza.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. Ipotenuza este egală cu 32. Aflați latura a cărei proiecție pe ipotenuză este egală cu 2.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este 45. Aflați latura a cărei proiecție pe ipotenuză este 9.

8. catetul unui triunghi dreptunghic este 30. Aflați distanța de la vârful unghiului drept la ipotenuză dacă raza cercului circumscris acestui triunghi este 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este 41, iar proiecția unuia dintre catete este 16. Aflați lungimea altitudinii trasate de la vârful unghiului drept la ipotenuză.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. Diferența dintre proiecțiile catetelor pe ipotenuză este 15, iar distanța de la vârful unghiului drept la ipotenuză este 4. Aflați raza cercului circumscris.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Triunghi dreptunghic- acesta este un triunghi în care unul dintre unghiuri este drept, adică egal cu 90 de grade.

• Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză (în figura indicată ca c sau AB)
• Latura adiacentă unghiului drept se numește picior. Fiecare triunghi dreptunghic are două catete (în figură sunt desemnate ca Ași b sau AC și BC)

Formule și proprietăți ale unui triunghi dreptunghic

(vezi poza de mai sus)

a, b- catetele unui triunghi dreptunghic

c- ipotenuza

α, β - unghiurile ascuțite ale unui triunghi

S- pătrat

h- înălțimea coborâtă de la vârful unui unghi drept la ipotenuză

m a A din coltul opus ( α )

m b- mediana trasă în lateral b din coltul opus ( β )

m c- mediana trasă în lateral c din coltul opus ( γ )

ÎN triunghi dreptunghic oricare dintre catete este mai mic decât ipotenuza(Formula 1 și 2). Această proprietate este o consecință a teoremei lui Pitagora.

Cosinusul oricărui unghi ascuțit mai puțin de unu (Formula 3 și 4). Această proprietate urmează de la precedenta. Deoarece oricare dintre catete este mai mic decât ipotenuză, raportul dintre catete și ipotenuză este întotdeauna mai mic de unu.

Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor (teorema lui Pitagora). (Formula 5). Această proprietate este utilizată în mod constant la rezolvarea problemelor.

Aria unui triunghi dreptunghic egal cu jumătate din produsul picioarelor (Formula 6)

Suma medianelor pătrate la catete este egal cu cinci pătrate ale medianei ipotenuzei și cinci pătrate ale ipotenuzei împărțite la patru (Formula 7). Pe lângă cele de mai sus, există Încă 5 formule, prin urmare, este recomandat să citiți și lecția „Media unui triunghi dreptunghic”, care descrie proprietățile medianei mai detaliat.

Înălţime a unui triunghi dreptunghic este egal cu produsul catetelor împărțit la ipotenuză (Formula 8)

Pătratele catetelor sunt invers proporționale cu pătratul înălțimii coborâte la ipotenuză (Formula 9). Această identitate este și una dintre consecințele teoremei lui Pitagora.

Lungimea ipotenuzei egal cu diametrul (două raze) cercului circumscris (Formula 10). Hipotenuza unui triunghi dreptunghic este diametrul cercului circumferitor. Această proprietate este adesea folosită în rezolvarea problemelor.

Raza înscrisă V triunghi dreptunghic cerc poate fi găsită ca jumătate din expresia incluzând suma catetelor acestui triunghi minus lungimea ipotenuzei. Sau ca produsul catetelor împărțit la suma tuturor laturilor (perimetrului) unui triunghi dat. (Formula 11)
Sinusul unghiului raport cu opusul acest unghi picior la ipotenuză(prin definiția sinusului). (Formula 12). Această proprietate este utilizată la rezolvarea problemelor. Cunoscând dimensiunile laturilor, puteți găsi unghiul pe care acestea îl formează.

Cosinusul unghiului A (α, alfa) dintr-un triunghi dreptunghic va fi egal cu atitudine adiacent acest unghi picior la ipotenuză(prin definiția sinusului). (Formula 13)

Triunghiuri.

Noțiuni de bază.

Triunghi este o figură formată din trei segmente și trei puncte care nu se află pe aceeași linie dreaptă.

Segmentele sunt numite petreceri, iar punctele sunt culmi.

Suma unghiurilor triunghiul este de 180º.

Înălțimea triunghiului.

Înălțimea triunghiului- aceasta este o perpendiculară trasată de la vârf spre partea opusă.

Într-un triunghi ascuțit, înălțimea este conținută în triunghi (Fig. 1).

Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt altitudinile triunghiului (Fig. 2).

Într-un triunghi obtuz, altitudinea se extinde în afara triunghiului (Fig. 3).

Proprietățile altitudinii unui triunghi:

Bisectoarea unui triunghi.

Bisectoarea unui triunghi- acesta este un segment care împarte colțul vârfului în jumătate și leagă vârful de un punct din partea opusă (Fig. 5).

Proprietățile bisectoarei:

Mediana unui triunghi.

Mediana unui triunghi- acesta este un segment care leagă vârful cu mijlocul laturii opuse (Fig. 9a).

Linia de mijloc a triunghiului.

Linia de mijloc a triunghiului- acesta este un segment care leagă punctele medii ale celor două laturi ale sale (Fig. 10).

Linia de mijloc a triunghiului este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătatea acesteia

Unghiul exterior al unui triunghi.

Colț exterior a unui triunghi este egală cu suma a două unghiuri interne neadiacente (Fig. 11).

Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decât orice unghi neadiacent.

Triunghi dreptunghic.

Triunghi dreptunghic este un triunghi care are un unghi drept (Fig. 12).

Latura unui triunghi dreptunghic opus unghiului drept se numește ipotenuză.

Celelalte două părți sunt numite picioare.

Segmente proporționale într-un triunghi dreptunghic.

1) Într-un triunghi dreptunghic, altitudinea trasată din unghiul drept formează trei triunghiuri similare: ABC, ACH și HCB (Fig. 14a). În consecință, unghiurile formate de înălțime sunt egale cu unghiurile A și B.

Fig.14a

Triunghi isoscel.

Triunghi isoscel este un triunghi ale cărui două laturi sunt egale (Fig. 13).

Aceste laturi egale sunt numite laturi, iar al treilea - bază triunghi.

Într-un triunghi isoscel, unghiurile de bază sunt egale. (În triunghiul nostru, unghiul A este egal cu unghiul C).

Într-un triunghi isoscel, mediana trasată la bază este atât bisectoarea, cât și altitudinea triunghiului.

Triunghi echilateral.

Un triunghi echilateral este un triunghi în care toate laturile sunt egale (Fig. 14).

Proprietățile unui triunghi echilateral:

Proprietăți remarcabile ale triunghiurilor.

Triunghiurile au proprietăți unice care vă vor ajuta să rezolvați cu succes problemele care implică aceste forme. Unele dintre aceste proprietăți sunt prezentate mai sus. Dar le repetăm ​​din nou, adăugându-le și alte câteva caracteristici minunate:

Semne de egalitate a triunghiurilor.

Primul semn de egalitate: dacă două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt egale cu două laturi și unghiul dintre ele ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Al doilea semn de egalitate: dacă o latură și unghiurile ei adiacente ale unui triunghi sunt egale cu latura și unghiurile ei adiacente ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Al treilea semn de egalitate: Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Inegalitatea triunghiulară.

În orice triunghi, fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două laturi.

Teorema lui Pitagora.

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor:

c 2 = A 2 + b 2 .

Aria unui triunghi.

1) Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul laturii sale și altitudinea trasată de această latură:

Ah
S = ——
2

2) Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul dintre oricare două dintre laturile sale și sinusul unghiului dintre ele:

1
S = — AB · A.C. · păcat A
2

Un triunghi circumscris unui cerc.

Un cerc se numește înscris într-un triunghi dacă atinge toate laturile sale (Fig. 16 A).

Un triunghi înscris într-un cerc.

Se spune că un triunghi este înscris într-un cerc dacă îl atinge cu toate vârfurile sale (Fig. 17). A).

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic (Fig. 18).

Sinusul unghi ascutit X opus picior la ipotenuză.
Se notează astfel: păcatX.

Cosinus unghi ascutit X al unui triunghi dreptunghic este raportul adiacent picior la ipotenuză.
Notat astfel: cos X.

Tangentă unghi ascutit X- acesta este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.
Se desemnează astfel: tgX.

Cotangentă unghi ascutit X- acesta este raportul dintre latura adiacentă și latura opusă.
Se desemnează astfel: ctgX.

Reguli:

Picior opus colțului X, este egal cu produsul dintre ipotenuză și sin X:

b = c păcat X

Picior adiacent colțului X, este egal cu produsul ipotenuzei și cos X:

a = c cos X

Picior opus colțului X, este egal cu produsul celui de-al doilea segment cu tg X:

b = a tg X

Picior adiacent colțului X, este egal cu produsul celui de-al doilea segment prin ctg X:

a = b· ctg X.

Pentru orice unghi ascuțit X:

păcat (90° - X) = cos X

cos (90° - X) = păcat X