Løse systemer med lineære ulikheter grafisk. Grafisk løsning av ligninger, ulikheter Løse ligninger og ulikheter grafisk

La f(x,y) Og g(x, y)- to uttrykk med variabler X Og på og omfang X. Deretter ulikheter i formen f(x, y) > g(x, y) eller f(x, y) < g(x, y) kalt ulikhet med to variabler .

Betydningen av variabler x, y fra mange X, hvor ulikheten blir til en sann numerisk ulikhet, kalles det beslutning og er utpekt (x, y). Løs ulikhet - dette betyr å finne mange slike par.

Hvis hvert par tall (x, y) fra settet med løsninger til ulikheten, match punktet M(x, y), får vi settet med punkter på planet definert av denne ulikheten. Han blir kalt graf over denne ulikheten . Grafen for en ulikhet er vanligvis et område på et plan.

Å skildre settet med løsninger på ulikheten f(x, y) > g(x, y), fortsett som følger. Bytt først ut ulikhetstegnet med et likhetstegn og finn en linje som har ligningen f(x,y) = g(x,y). Denne linjen deler flyet i flere deler. Etter dette er det nok å ta ett poeng i hver del og sjekke om ulikheten er tilfredsstilt på dette punktet f(x, y) > g(x, y). Hvis det utføres på dette punktet, vil det bli utført i hele delen der dette punktet ligger. Ved å kombinere slike deler får vi mange løsninger.

Oppgave. y > x.

Løsning. Først erstatter vi ulikhetstegnet med et likhetstegn og konstruerer en linje i et rektangulært koordinatsystem som har ligningen y = x.

Denne linjen deler flyet i to deler. Etter dette, ta ett poeng i hver del og sjekk om ulikheten er tilfredsstilt på dette punktet y > x.

Oppgave. Løs grafisk ulikheten
X 2 + på 2 £25.

La det gis to ulikheter f 1(x, y) > g 1(x, y) Og f 2(x, y) > g 2(x, y).

Systemer av sett av ulikheter med to variabler

System av ulikheter er deg selv sammen med disse ulikhetene. Systemløsning er enhver mening (x, y), som gjør hver av ulikhetene til en sann numerisk ulikhet. Mange løsninger systemer ulikheter er skjæringspunktet mellom sett med løsninger på ulikheter som danner et gitt system.

Sett med ulikheter er deg selv disjunksjon av disse ulikheter Ved helhetens løsning er enhver mening (x, y), som konverterer minst én av settet med ulikheter til en sann numerisk ulikhet. Mange løsninger helhet er en forening av sett med løsninger på ulikheter som danner et sett.

Oppgave. Løs ulikhetssystemet grafisk

Løsning. y = x Og X 2 + på 2 = 25. Vi løser hver ulikhet i systemet.

Grafen til systemet vil være settet med punkter på planet som er skjæringspunktet (dobbelt skravering) av settene med løsninger til den første og andre ulikheten.

Oppgave. Løs grafisk et sett med ulikheter

Øvelser for selvstendig arbeid

1. Løs ulikhetene grafisk: a) på> 2x; b) på< 2x + 3;

V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 £4.

2. Løs grafisk ulikhetssystemer:

a) b)

Grafisk representasjon av funksjoner tillater omtrent løse ulikheter med en ukjent og ulikhetssystemer med en og to ukjente. For å løse grafisk en ulikhet med en ukjent, det er nødvendig å overføre alle medlemmene til en del, dvs. føre til:

f(x) > 0 ,

og plott funksjonen y = f(x). Etter dette, ved hjelp av den konstruerte grafen, kan du finne funksjonsnuller, som vil dele aksen X i flere intervaller. Nå, basert på dette, bestemmer vi intervallene x, innenfor hvilket funksjonstegnet tilsvarer ulikhetstegnet. For eksempel nullene til funksjonen vår: en Og b(Fig. 30). Da er det tydelig fra grafen at intervallene innenfor hvilke f(x) > 0: x < en Og x> b(de er uthevet med fete piler). Det er tydelig at > tegnet her er betinget; i stedet for det kan det være noe annet:< , .

For å løse grafisk et system av ulikheter med en ukjent, må du overføre alle ledd i hver av dem til en del, dvs. bringe ulikhetene til formen:

og plott funksjonene y = f(x), y = g(x) , ... , y = h(x). Hver av disse ulikhetene løses ved den grafiske metoden beskrevet ovenfor. Etter dette må du finne skjæringspunktet mellom løsninger alle ulikheter, dvs. deres felles del.

EKSEMPEL Løs ulikhetssystemet grafisk:

Løsning La oss først plotte funksjonene y = - 2 / 3 x+ 2 og

y = x 2 -1 (fig. 31):

Løsningen på den første ulikheten er intervallet x> 3, indikert i fig. 31 med en svart pil; løsningen på den andre ulikheten består av to intervaller: x < -1 и x> 1, angitt i fig. 31 med grå piler.

Grafen viser at skjæringspunktet mellom disse to løsningene er intervallet x> 3. Dette er løsningen på det gitte systemet med ulikheter.

For å løse grafisk et system med to ulikheter med to ukjente, må du:

1) i hver av dem, flytt alle leddene til en del, dvs. bringe

ulikheter i formen:

2) konstruer grafer av funksjoner spesifisert implisitt: f(x, y) = 0 og g(x, y) = 0;

3) hver av disse grafene deler koordinatplanet i to deler:

i en av dem ulikhet rettferdig, i en annen - ikke;å løse

grafisk hver av disse ulikhetene, er det nok å sjekke

gyldigheten av ulikhet på ett vilkårlig punkt i enhver

deler av flyet; hvis ulikhet oppstår på dette tidspunktet, da

denne delen av koordinatplanet er dens løsning, hvis ikke, da

løsningen er den motsatte delen av flyet;

4) løsningen på et gitt system av ulikheter er skjæringspunktet

(generelt område) deler av koordinatplanet.

EKSEMPEL Løs ulikhetssystemet:

Løsning. Først bygger vi grafer av lineære funksjoner: 5 x - 7y= -11 og

2x + 3y= 10 (fig. 32). For hver av dem finner vi et halvfly,

Innenfor den tilsvarende gitt ulikhet

Rettferdig. Vi vet at det er nok å sjekke rettferdigheten

Ulikheter på ett vilkårlig punkt i regionen; i dette

Den enkleste måten å gjøre dette på er å bruke opprinnelsen til koordinatene O (0, 0).

Å erstatte dens koordinater i våre ulikheter i stedet x Og y,

Vi får: 5 0 - 7 0 = 0 > -11, derfor jo lavere

Halvplan ( gul farge) er en løsning på den første

Ulikheter; 2 0 + 3 0 = 0< 10, поэтому второе неравенство

Løsningen har også det nedre halvplanet (blått

Farger). Skjæringspunktet mellom disse halvplanene (turkisfarget område)

Er løsningen på vårt system av ulikheter.

Grafisk løsning av ligninger

Heyday, 2009

Introduksjon

Behovet for å løse andregradsligninger i antikken var forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne områder tomter og med jordarbeid av militær karakter, samt med selve utviklingen av astronomi og matematikk. Babylonerne var i stand til å løse andregradsligninger rundt 2000 f.Kr. Regelen for å løse disse ligningene, som er angitt i de babylonske tekstene, er i hovedsak sammenfallende med moderne, men det er ikke kjent hvordan babylonerne kom frem til denne regelen.

Formler for å løse kvadratiske ligninger i Europa ble først satt frem i Abacus-boken, skrevet i 1202 av den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci. Boken hans bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land.

Men generell regel løsninger på kvadratiske ligninger for alle mulige kombinasjoner av koeffisientene b og c ble formulert i Europa først i 1544 av M. Stiefel.

I 1591 Francois Viet introduserte formler for å løse andregradsligninger.

I gamle Babylon kunne løse noen typer andregradsligninger.

Diophantus av Alexandria Og Euklid, Al-Khwarizmi Og Omar Khayyam løst likninger ved hjelp av geometriske og grafiske metoder.

I 7. klasse studerte vi funksjoner y = C, y =kx, y =kx+ m, y =x 2,y = –x 2, i 8. klasse – y = √x, y =|x|, y =øks2 + bx+ c, y =k/ x. I algebra-læreboken i 9. klasse så jeg funksjoner som ennå ikke var kjent for meg: y =x 3, y =x 4,y =x 2n, y =x- 2n, y = 3√x, (x– en) 2 + (y –b) 2 = r 2 og andre. Det er regler for å konstruere grafer for disse funksjonene. Jeg lurte på om det var andre funksjoner som følger disse reglene.

Min jobb er å studere funksjonsgrafer og løse ligninger grafisk.

1. Hva er funksjonene?

Grafen til en funksjon er settet av alle punkter i koordinatplanet, hvis abscisse er lik verdiene til argumentene, og ordinatene er lik de tilsvarende verdiene til funksjonen.

Den lineære funksjonen er gitt av ligningen y =kx+ b, Hvor k Og b- noen tall. Grafen til denne funksjonen er en rett linje.

Invers proporsjonal funksjon y =k/ x, hvor k ¹ 0. Grafen til denne funksjonen kalles en hyperbel.

Funksjon (x– en) 2 + (y –b) 2 = r2 , Hvor EN, b Og r- noen tall. Grafen til denne funksjonen er en sirkel med radius r med sentrum i punktet A ( EN, b).

Kvadratisk funksjon y= øks2 + bx+ c Hvor EN,b, Med– noen tall og EN¹ 0. Grafen til denne funksjonen er en parabel.

Ligningen på2 (en– x) = x2 (en+ x) . Grafen til denne ligningen vil være en kurve som kalles en strofoid.

/>Ligning (x2 + y2 ) 2 = en(x2 – y2 ) . Grafen til denne ligningen kalles Bernoullis lemniscat.

Ligningen. Grafen til denne ligningen kalles en astroid.

Kurve (x2 y2 – 2 øks)2 =4a2 (x2 + y2 ) . Denne kurven kalles en kardioide.

Funksjoner: y =x 3 - kubisk parabel, y =x 4, y = 1/x 2.

2. Konseptet med en ligning og dens grafiske løsning

Ligningen– et uttrykk som inneholder en variabel.

Løs ligningen– dette betyr å finne alle røttene, eller bevise at de ikke eksisterer.

Roten til ligningen er et tall som, når det erstattes i en ligning, gir en korrekt numerisk likhet.

Løse ligninger grafisk lar deg finne den nøyaktige eller omtrentlige verdien av røttene, lar deg finne antall røtter til ligningen.

Ved konstruksjon av grafer og løsning av ligninger brukes egenskapene til en funksjon, derfor kalles metoden ofte funksjonell-grafisk.

For å løse ligningen «deler» vi den i to deler, introduserer to funksjoner, bygger grafene deres og finner koordinatene til grafenes skjæringspunkter. Abscissen til disse punktene er røttene til ligningen.

3. Algoritme for å plotte en funksjonsgraf

Å kjenne grafen til en funksjon y =f(x) , kan du bygge grafer over funksjoner y =f(x+ m) ,y =f(x)+ l Og y =f(x+ m)+ l. Alle disse grafene er hentet fra grafen til funksjonen y =f(x) ved hjelp av parallell bæretransformasjon: til │ m│ skalaenheter til høyre eller venstre langs x-aksen og videre │ l│ skalaenheter opp eller ned langs en akse y.

4. Grafisk løsning av andregradsligningen

Ved å bruke en kvadratisk funksjon som eksempel, vil vi vurdere den grafiske løsningen av en kvadratisk ligning. Grafen til en kvadratisk funksjon er en parabel.

Hva visste de gamle grekerne om parabelen?

Moderne matematisk symbolikk oppsto på 1500-tallet.

Det gjorde ikke de gamle greske matematikerne koordinere metode, var det ikke noe funksjonsbegrep. Likevel ble egenskapene til parablen studert i detalj av dem. Oppfinnsomheten til gamle matematikere er rett og slett fantastisk - de kunne tross alt bare bruke tegninger og verbale beskrivelser av avhengigheter.

Mest fullstendig utforsket parabelen, hyperbelen og ellipsen Apollonius av Perga, som levde i det 3. århundre f.Kr. Han ga disse kurvene navn og indikerte hvilke betingelser punktene som ligger på denne eller den kurven tilfredsstiller (det var tross alt ingen formler!).

Det er en algoritme for å konstruere en parabel:

Finn koordinatene til toppunktet til parabelen A (x0; y0): X=- b/2 en;

y0=axo2+in0+s;

Finn symmetriaksen til parabelen (rett linje x=x0);

PAGE_BREAK--

Vi setter sammen en tabell med verdier for å konstruere kontrollpunkter;

Vi konstruerer de resulterende punktene og konstruerer punkter som er symmetriske til dem i forhold til symmetriaksen.

1. Ved hjelp av algoritmen skal vi konstruere en parabel y= x2 – 2 x– 3 . Abscisse av skjæringspunkter med aksen x og det er røtter til kvadratisk ligning x2 – 2 x– 3 = 0.

Det er fem måter å løse denne ligningen grafisk på.

2. La oss dele ligningen i to funksjoner: y= x2 Og y= 2 x+ 3

3. La oss dele ligningen i to funksjoner: y= x2 –3 Og y=2 x. Røttene til ligningen er abscissen til skjæringspunktene mellom parabelen og linjen.

4. Transformer ligningen x2 – 2 x– 3 = 0 ved å isolere en komplett firkant i funksjoner: y= (x–1) 2 Og y=4. Røttene til ligningen er abscissen til skjæringspunktene mellom parabelen og linjen.

5. Del begge sider av ligningsleddet etter ledd x2 – 2 x– 3 = 0 på x, vi får x– 2 – 3/ x= 0 , la oss dele denne ligningen i to funksjoner: y= x– 2, y= 3/ x. Røttene til ligningen er abscissen til skjæringspunktene mellom linjen og hyperbelen.

5. Grafisk løsning av gradslikningern

Eksempel 1. Løs ligningen x5 = 3 – 2 x.

y= x5 , y= 3 – 2 x.

Svar: x = 1.

Eksempel 2. Løs ligningen 3 √ x= 10 – x.

Røttene til denne ligningen er abscissen til skjæringspunktet mellom grafene til to funksjoner: y= 3 √ x, y= 10 – x.

Svar: x = 8.

Konklusjon

Etter å ha sett på grafene til funksjonene: y =øks2 + bx+ c, y =k/ x, у = √x, y =|x|, y =x 3, y =x 4,y = 3√x, Jeg la merke til at alle disse grafene er bygget i henhold til regelen for parallell translasjon i forhold til aksene x Og y.

Ved å bruke eksempelet på å løse en andregradsligning kan vi konkludere med at den grafiske metoden også er anvendelig for ligninger av grad n.

Grafiske metoder for å løse ligninger er vakre og forståelige, men gir ingen 100 % garanti for å løse noen ligning. Abscissen til skjæringspunktene til grafene kan være omtrentlige.

I 9. klasse og på videregående skal jeg fortsette å sette meg inn i andre funksjoner. Jeg er interessert i å vite om disse funksjonene følger reglene for parallell overføring når de konstruerer grafene deres.

Neste år vil jeg også vurdere spørsmålene om grafisk løsning av likningssystemer og ulikheter.

Litteratur

1. Algebra. 7. klasse. Del 1. Lærebok for utdanningsinstitusjoner / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

2. Algebra. 8. klasse. Del 1. Lærebok for utdanningsinstitusjoner / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

3. Algebra. 9. klasse. Del 1. Lærebok for utdanningsinstitusjoner / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

4. Glazer G.I. Matematikkens historie på skolen. VII–VIII karakterer. – M.: Utdanning, 1982.

5. Tidsskriftsmatematikk nr. 5 2009; nr. 8 2007; nr. 23 2008.

6. Grafisk løsning av ligninger nettsteder på Internett: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.

Grafen til en lineær eller kvadratisk ulikhet er konstruert på samme måte som grafen til enhver funksjon (ligning). Forskjellen er at en ulikhet innebærer flere løsninger, så grafen til en ulikhet er ikke bare et punkt på en talllinje eller en linje på et koordinatplan. Ved å bruke matematiske operasjoner og ulikhetstegnet kan du bestemme mange løsninger på ulikheten.

Trinn

Grafisk representasjon av lineær ulikhet på tallinjen

Løs ulikheten. For å gjøre dette, isoler variabelen ved å bruke de samme algebraiske teknikkene du bruker for å løse en hvilken som helst ligning. Husk at når du multipliserer eller deler en ulikhet med et negativt tall (eller ledd), snu fortegnet på ulikheten.

Tegn en talllinje. På talllinjen merker du verdien du fant (variabelen kan være mindre enn, større enn eller lik denne verdien). Tegn en talllinje med passende lengde (lang eller kort).

Tegn en sirkel for å representere verdien som ble funnet. Hvis variabelen er mindre enn ( < {\displaystyle <} ) eller mer ( > (\displaystyle >)) av denne verdien, er ikke sirkelen fylt ut fordi løsningssettet ikke inkluderer denne verdien. Hvis variabelen er mindre enn eller lik ( ≤ (\displaystyle \leq )) eller større enn eller lik ( ≥ (\displaystyle \geq )) til denne verdien fylles sirkelen fordi løsningssettet inkluderer denne verdien.

På talllinjen skygger du for området som definerer løsningssettet. Hvis variabelen er større enn verdien som er funnet, skygger du området til høyre for den, fordi løsningssettet inkluderer alle verdier som er større enn verdien som ble funnet. Hvis variabelen er mindre enn verdien som er funnet, skygger du området til venstre for den, fordi løsningssettet inkluderer alle verdier som er mindre enn verdien som ble funnet.

Grafisk representasjon av lineær ulikhet på koordinatplanet

1. Løs ulikheten (finn verdien y (\displaystyle y) ). For å få en lineær ligning, isoler variabelen på venstre side ved å bruke kjente algebraiske teknikker. Det skal være en variabel på høyre side x (\displaystyle x) og kanskje noen konstante.

   Tegn en graf av en lineær ligning på koordinatplanet. For å gjøre dette, konverter ulikheten til en ligning og tegner den som du vil tegne en hvilken som helst lineær ligning. Plott Y-skjæringspunktet og bruk deretter skråningen til å plotte de andre punktene.

   Tegn en rett linje. Hvis ulikheten er streng (inkluderer tegnet < {\displaystyle <} eller > (\displaystyle >)), tegne en stiplet linje fordi løsningssettet ikke inkluderer verdier på linjen. Hvis ulikheten ikke er streng (inkluderer tegnet ≤ (\displaystyle \leq ) eller ≥ (\displaystyle \geq )), tegne en heltrukket linje fordi løsningssettet inkluderer verdier som ligger på linjen.

   Skyggelegg det aktuelle området. Hvis ulikheten er av formen y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), skyggelegg området over linjen. Hvis ulikheten er av formen y< m x + b {\displaystyle y, skyggelegg området under streken.

Grafisk representasjon av den kvadratiske ulikheten på koordinatplanet

Bestem at denne ulikheten er kvadratisk. Den kvadratiske ulikheten har formen a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Noen ganger inneholder ikke ulikheten en førsteordens variabel ( x (\displaystyle x)) og/eller en fri term (konstant), men inkluderer nødvendigvis en annenordens variabel ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Variabler x (\displaystyle x) Og y (\displaystyle y) må isoleres på ulike sider av ulikheten.

FORBUNDSBYRÅ FOR UTDANNING

INSTITUTT FOR UTDANNINGSUTVIKLING

"Grafiske metoder for å løse likninger og ulikheter med parametere"

Fullført

matematikklærer

Kommunal utdanningsinstitusjon ungdomsskole nr. 62

Lipetsk 2008

INTRODUKSJON................................................. ...................................................... ............ .3

X;på) 4

1.1. Parallell overføring ................................................... ........................... 5

1.2. Sving................................................. ................................................................ ...... 9

1.3. Homoteti. Kompresjon til rett linje......................................................... ..... ................. 1. 3

1.4. To rette linjer på et plan......................................... ...................................... 15

2. GRAFISKE TEKNIKK. KOORDINATE FLY ( X;EN) 17

KONKLUSJON................................................. ........................................................ 20

BIBLIOGRAFISK LISTE................................................ ........................ 22

INTRODUKSJON

Problemene som skoleelever har når de løser ikke-standardiserte likninger og ulikheter er forårsaket både av den relative kompleksiteten til disse problemene og av det faktum at skolen som regel fokuserer på å løse standardproblemer.

Mange skoleelever oppfatter parameteren som et "vanlig" tall. Faktisk, i noen problemer kan en parameter betraktes som en konstant verdi, men denne konstante verdien får ukjente verdier! Derfor er det nødvendig å vurdere problemet for alle mulige verdier av denne konstanten. I andre problemer kan det være praktisk å kunstig erklære en av de ukjente som en parameter.

Andre skoleelever behandler en parameter som en ukjent størrelse og kan uten flauhet uttrykke parameteren i form av en variabel i svaret X.

I slutt- og opptaksprøver er det hovedsakelig to typer problemer med parametere. Du kan umiddelbart skille dem ved deres ordlyd. Først: "For hver parameterverdi, finn alle løsninger på en eller annen ligning eller ulikhet." For det andre: "Finn alle verdiene av parameteren, for hver av disse er visse betingelser oppfylt for en gitt ligning eller ulikhet." Følgelig er svarene i problemer av disse to typene essensielt forskjellige. Svaret på et problem av den første typen viser alle mulige verdier av parameteren, og for hver av disse verdiene er løsningene til ligningen skrevet. Svaret på et problem av den andre typen indikerer alle parameterverdier der betingelsene spesifisert i problemet er oppfylt.

Løsningen av en ligning med en parameter for en gitt fast verdi av parameteren er en slik verdi av det ukjente, når den erstattes med ligningen, blir sistnevnte til en korrekt numerisk likhet. Løsningen på en ulikhet med en parameter bestemmes på samme måte. Å løse en ligning (ulikhet) med en parameter betyr, for hver tillatte verdi av parameteren, å finne settet med alle løsninger til en gitt ligning (ulikhet).

1. GRAFISKE TEKNIKK. KOORDINATE FLY ( X;på)

Sammen med de grunnleggende analytiske teknikkene og metodene for å løse problemer med parametere, er det måter å bruke visuelle og grafiske tolkninger på.

Avhengig av hvilken rolle parameteren er tildelt i oppgaven (ulik eller lik variabelen), kan to hovedgrafiske teknikker skilles ut tilsvarende: den første er konstruksjonen av et grafisk bilde på koordinatplanet (X;y), den andre - på (X; EN).

På planet (x; y) funksjonen y =f (X; EN) definerer en familie av kurver avhengig av parameteren EN. Det er klart at hver familie f har visse egenskaper. Vi vil først og fremst være interessert i hva slags plantransformasjon (parallell translasjon, rotasjon osv.) som kan brukes for å flytte fra en kurve i familien til en annen. Et eget avsnitt vil bli viet til hver av disse transformasjonene. Det ser ut til at en slik klassifisering gjør det lettere for den som bestemmer å finne det nødvendige grafiske bildet. Merk at med denne tilnærmingen avhenger ikke den ideologiske delen av løsningen av hvilken figur (rett linje, sirkel, parabel, etc.) som vil være medlem av kurvefamilien.

Selvfølgelig er det grafiske bildet av familien ikke alltid y =f (X;EN) beskrevet ved en enkel transformasjon. Derfor, i slike situasjoner, er det nyttig å ikke fokusere på hvordan kurvene til samme familie henger sammen, men på selve kurvene. Med andre ord, vi kan skille en annen type problem der ideen om en løsning først og fremst er basert på egenskapene til spesifikke geometriske figurer, og ikke familien som helhet. Hvilke figurer (mer presist, familier av disse figurene) vil interessere oss først og fremst? Dette er rette linjer og parabler. Dette valget skyldes den spesielle (grunnleggende) plasseringen av lineære og kvadratiske funksjoner i skolematematikk.

Når vi snakker om grafiske metoder, er det umulig å unngå et problem "født" fra praksisen med konkurrerende eksamener. Vi sikter til spørsmålet om strengheten, og dermed lovligheten, av en avgjørelse basert på grafiske betraktninger. Uten tvil, fra et formelt synspunkt, ble resultatet tatt fra "bildet", som ikke ble støttet analytisk, ikke oppnådd strengt. Men hvem, når og hvor bestemmer strenghetsnivået som en videregående elev skal følge? Etter vår mening bør kravene til nivået av matematisk strenghet for en elev bestemmes av sunn fornuft. Vi forstår graden av subjektivitet i et slikt synspunkt. Dessuten er den grafiske metoden bare ett av virkemidlene for klarhet. Og synlighet kan lure..gif" width="232" height="28"> har bare én løsning.

Løsning. For enkelhets skyld angir vi lg b = a. La oss skrive en ligning tilsvarende den opprinnelige: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

Bygge en graf for en funksjon med definisjonsdomenet og (fig. 1). Den resulterende grafen er en familie av rette linjer y = a må krysse på bare ett punkt. Figuren viser at dette kravet er oppfylt kun når a > 2, dvs. lg b> 2, b> 100.

Svar. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> bestem antall løsninger til ligningen .

Løsning. La oss plotte funksjonen 102" height="37" style="vertical-align:top">

La oss vurdere. Dette er en rett linje parallelt med OX-aksen.

Svar..gif" width="41" height="20">, deretter 3 løsninger;

hvis , så 2 løsninger;

hvis , 4 løsninger.

La oss gå videre til en ny serie med oppgaver..gif" width="107" height="27 src=">.

Løsning. La oss bygge en rett linje på= X+1 (fig. 3)..gif" width="92" height="57">

ha én løsning, som er ekvivalent for ligningen ( X+1)2 = x + EN ha én rot..gif" width="44 height=47" height="47"> den opprinnelige ulikheten har ingen løsninger. Merk at noen som er kjent med den deriverte kan oppnå dette resultatet annerledes.

Deretter, ved å flytte "semi-parabelen" til venstre, vil vi fikse det siste øyeblikket når grafene på = X+ 1 og har to felles punkter (posisjon III). Denne ordningen sikres av kravet EN= 1.

Det er klart at for segmentet [ X 1; X 2], hvor X 1 og X 2 – abscisse av skjæringspunktene til grafene, vil være løsningen på den opprinnelige ulikheten..gif" width="68 height=47" height="47">, så

Når en "semi-parabel" og en rett linje skjærer hverandre i bare ett punkt (dette tilsvarer tilfellet a > 1), så vil løsningen være segmentet [- EN; X 2", hvor X 2" - den største av røttene X 1 og X 2 (posisjon IV).

Eksempel 4..gif" width="85" height="29 src=">.gif" width="75" height="20 src="> . Herfra får vi .

La oss se på funksjonene og . Blant dem er det bare én som definerer en familie av kurver. Nå ser vi at utskiftningen ga utvilsomme fordeler. Parallelt bemerker vi at i det forrige problemet, ved å bruke en lignende erstatning, kan du ikke gjøre et "semi-parabel" -trekk, men en rett linje. La oss gå til fig. 4. Selvfølgelig, hvis abscissen til toppunktet til "semi-parabelen" er større enn én, dvs. -3 EN > 1, , da har ligningen ingen røtter..gif" width="89" height="29"> og har en annen monotonisitet.

Svar. Hvis så ligningen har én rot; hvis https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width="141" height="81 src=">

har løsninger.

Løsning. Det er tydelig at direkte familier https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155 " >

Betydning k1 finner vi ved å erstatte paret (0;0) i den første ligningen i systemet. Herfra k1 =-1/4. Betydning k 2 får vi ved å kreve fra systemet

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> når k> 0 har én rot. Herfra k2= 1/4.

Svar. .

La oss komme med en bemerkning. I noen eksempler på dette punktet må vi løse et standardproblem: for en linjefamilie, finn dens vinkelkoeffisient som tilsvarer tangensøyeblikket med kurven. Vi viser deg hvordan du gjør dette generelt syn ved å bruke den deriverte.

Hvis (x0; y 0) = rotasjonssenter, deretter koordinatene (X 1; på 1) tangenspunkter med kurven y =f(x) kan bli funnet ved å løse systemet

Den nødvendige skråningen k lik .

Eksempel 6. For hvilke verdier av parameteren har ligningen en unik løsning?

Løsning..gif" width="160" height="29 src=">..gif" width="237" height="33">, bue AB.

Alle stråler som passerer mellom OA og OB skjærer buen AB på ett punkt, og krysser også buen AB OB og OM (tangens) på ett punkt..gif" width="16" height="48 src=">. Vinkelen koeffisienten til tangenten er lik . Finnes enkelt fra systemet

Så direkte familier https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">.

Svar. .

Eksempel 7..gif" width="160" height="25 src="> har en løsning?

Løsning..gif" width="61" height="24 src="> og reduseres med . Punktet er maksimumspunktet.

En funksjon er en familie av rette linjer som går gjennom punktet https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28"> er buen AB. Den rette linjer som vil være plassert mellom rette linjer OA og OB, tilfredsstiller betingelsene for problemet..gif" width="17" height="47 src=">.

Svar..gif" width="15" height="20">ingen løsninger.

1.3. Homoteti. Kompresjon til en rett linje.

Eksempel 8. Hvor mange løsninger har systemet?

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" height="20 src="> systemet har ingen løsninger. For en fast a > 0 grafen til den første ligningen er et kvadrat med hjørner ( EN; 0), (0;-EN), (-en;0), (0;EN). Dermed er medlemmene av familien homotetiske firkanter (senteret for homoteti er punktet O(0; 0)).

La oss gå til fig. 8..gif" width="80" height="25"> hver side av kvadratet har to felles punkter med sirkelen, noe som betyr at systemet vil ha åtte løsninger. Når sirkelen viser seg å være innskrevet i kvadratet, dvs. det vil være fire løsninger igjen. Det er klart at systemet ikke har noen løsninger.

Svar. Hvis EN< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, så er det fire løsninger; hvis , så er det åtte løsninger.

Eksempel 9. Finn alle verdiene av parameteren, for hver av dem er ligningen https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" height="29 src=">. Tenk på funksjonen ..jpg" width="195" height="162">

Antall røtter vil tilsvare tallet 8 når radiusen til halvsirkelen er større og mindre enn , altså. Merk at det er .

Svar. eller .

1.4. To rette linjer på et fly

I hovedsak er ideen om å løse problemene i dette avsnittet basert på spørsmålet om å studere den relative plasseringen av to rette linjer: Og . Det er lett å vise løsningen på dette problemet i generell form. Vi vil gå direkte til spesifikke typiske eksempler, som etter vår mening ikke vil skade den generelle siden av saken.

Eksempel 10. For hva a og b gjør systemet

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width="160" height="25 src=">..gif" width="67" height="24 src="> , t..gif" width="116" height="55">

Ulikheten i systemet definerer et halvplan med grense på= 2x– 1 (fig. 10). Det er lett å innse at det resulterende systemet har en løsning hvis den rette linjen ah +av = 5 skjærer grensen til et halvplan eller, parallelt med det, ligger i halvplanet på– 2x + 1 < 0.

La oss starte med saken b = 0. Da ser det ut til at ligningen Åh+ av = 5 definerer en vertikal linje som åpenbart skjærer linjen y = 2X - 1. Dette utsagnet er imidlertid bare sant når ..gif" width="43" height="20 src="> systemet har løsninger ..gif" width="99" height="48">. I dette tilfellet oppnås betingelsen for skjæringspunktet mellom linjer ved , dvs. ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> og , eller og , eller og https ://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24 src=">.

− I koordinatplanet xOa bygger vi en graf av funksjonen.

− Vurder de rette linjene og velg de intervallene til Oa-aksen som disse rette linjene tilfredsstiller følgende forhold: a) skjærer ikke grafen til funksjonen https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24"> på ett punkt, c) ved to poeng, d) på tre poeng og så videre.

− Hvis oppgaven er å finne verdiene til x, så uttrykker vi x i form av a for hvert av de funnet intervallene til verdien av a separat.

Visningen av en parameter som en lik variabel gjenspeiles i grafiske metoder..jpg" width="242" height="182">

Svar. a = 0 eller a = 1.

KONKLUSJON

Vi håper at de analyserte problemene på en overbevisende måte viser effektiviteten til de foreslåtte metodene. Dessverre er imidlertid anvendelsesområdet for disse metodene begrenset av vanskelighetene som kan oppstå når man konstruerer et grafisk bilde. Er det virkelig så ille? Tydeligvis ikke. Med denne tilnærmingen går faktisk den viktigste didaktiske verdien av problemer med parametere som en modell for miniatyrforskning stort sett tapt. Imidlertid er de ovennevnte hensyn rettet til lærere, og for søkere er formelen ganske akseptabel: målet rettferdiggjør midlene. La oss dessuten ta oss friheten til å si at i et betydelig antall universiteter følger kompilatorer av konkurranseproblemer med parametere veien fra bildet til tilstanden.

I disse oppgavene diskuterte vi mulighetene for å løse problemer med en parameter som åpner seg for oss når vi tegner grafer over funksjoner som inngår i venstre og høyre side av ligninger eller ulikheter på et stykke papir. På grunn av det faktum at parameteren kan ta vilkårlige verdier, beveger en eller begge de viste grafene seg på en bestemt måte på flyet. Vi kan si at en hel familie med grafer oppnås tilsvarende forskjellige verdier av parameteren.

La oss sterkt understreke to detaljer.

For det første snakker vi ikke om en "grafisk" løsning. Alle verdier, koordinater, røtter beregnes strengt, analytisk, som løsninger på de tilsvarende ligningene og systemene. Det samme gjelder tilfeller av berøring eller kryssing av grafer. De bestemmes ikke av øyet, men ved hjelp av diskriminanter, derivater og andre verktøy tilgjengelig for deg. Bildet gir bare en løsning.

For det andre, selv om du ikke finner noen måte å løse problemet knyttet til grafene som vises, vil din forståelse av problemet utvides betydelig, du vil motta informasjon for selvtesting og sjansene for suksess vil øke betydelig. Ved å forstå nøyaktig hva som skjer i et problem for forskjellige parameterverdier, kan du finne riktig algoritme løsninger.

Derfor vil vi avslutte disse ordene med et presserende forslag: hvis det i selv det mest komplekse problemet er funksjoner som du vet hvordan du tegner grafer, sørg for å gjøre det, du vil ikke angre på det.

BIBLIOGRAFISK LISTE

1. Cherkasov,: Håndbok for videregående skoleelever og søkere til universiteter [Tekst] /, . – M.: AST-PRESS, 2001. – 576 s.

2. Gorshtein, med parametere [Tekst]: 3. utgave, utvidet og revidert / , . – M.: Ilexa, Kharkov: Gymnasium, 1999. – 336 s.