Beregn derivater online med detaljert løsning. Derivert av en funksjon

Hvis du følger definisjonen, er den deriverte av en funksjon i et punkt grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen Δ y til argumentøkningen Δ x:

Alt ser ut til å være klart. Men prøv å bruke denne formelen til å beregne for eksempel den deriverte av funksjonen f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x synd x. Hvis du gjør alt per definisjon, vil du bare sovne etter et par sider med beregninger. Derfor finnes det enklere og mer effektive måter.

Til å begynne med merker vi at fra hele utvalget av funksjoner kan vi skille de såkalte elementære funksjonene. Dette er relativt enkle uttrykk, hvis deriverte lenge har vært beregnet og tabellert. Slike funksjoner er ganske enkle å huske - sammen med deres derivater.

Derivater av elementære funksjoner

Elementære funksjoner er alle de som er oppført nedenfor. Derivatene av disse funksjonene må være kjent utenat. Dessuten er det slett ikke vanskelig å huske dem - det er derfor de er elementære.

Så, derivater av elementære funksjoner:

Hvis en elementær funksjon multipliseres med en vilkårlig konstant, beregnes også den deriverte av den nye funksjonen:

(C · f)’ = C · f ’.

Generelt kan konstanter tas ut av tegnet til den deriverte. For eksempel:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Det er klart at elementære funksjoner kan legges til hverandre, multipliseres, deles – og mye mer. Slik vil nye funksjoner fremstå, ikke lenger spesielt elementære, men også differensierte etter visse regler. Disse reglene er omtalt nedenfor.

Derivert av sum og differanse

La funksjonene være gitt f(x) Og g(x), hvis derivater er kjent for oss. For eksempel kan du ta de elementære funksjonene som er diskutert ovenfor. Deretter kan du finne den deriverte av summen og differansen av disse funksjonene:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Så den deriverte av summen (forskjellen) av to funksjoner er lik summen (forskjellen) av de deriverte. Det kan være flere vilkår. For eksempel, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strengt tatt er det ikke noe begrep om "subtraksjon" i algebra. Det er et konsept om "negativt element". Derfor forskjellen f − g kan skrives om som en sum f+ (−1) g, og da gjenstår bare én formel - den deriverte av summen.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funksjon f(x) er summen av to elementære funksjoner, derfor:

f ’(x) = (x 2 + synd x)’ = (x 2)’ + (synd x)’ = 2x+ cos x;

Vi resonnerer tilsvarende for funksjonen g(x). Bare det er allerede tre begreper (fra algebras synspunkt):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Svar:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat av produktet

Matematikk er en logisk vitenskap, så mange tror at hvis den deriverte av en sum er lik summen av deriverte, så er den deriverte av produktet streik">lik produktet av derivater. Men tull! Den derivative av et produkt beregnes ved hjelp av en helt annen formel. Nemlig:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formelen er enkel, men den blir ofte glemt. Og ikke bare skoleelever, men også studenter. Resultatet er feil løste problemer.

Oppgave. Finn deriverte av funksjoner: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funksjon f(x) er produktet av to elementære funksjoner, så alt er enkelt:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− synd x) = x 2 (3cos x − x synd x)

Funksjon g(x) den første faktoren er litt mer komplisert, men generell ordning dette endrer seg ikke. Tydeligvis den første faktoren til funksjonen g(x) er et polynom og dens deriverte er den deriverte av summen. Vi har:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Svar:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x synd x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Vær oppmerksom på at i siste trinn blir den deriverte faktorisert. Formelt sett trenger ikke dette å gjøres, men de fleste derivater beregnes ikke på egen hånd, men for å undersøke funksjonen. Dette betyr at videre vil den deriverte bli likestilt til null, dens fortegn vil bli bestemt, og så videre. For et slikt tilfelle er det bedre å få et uttrykk faktorisert.

Hvis det er to funksjoner f(x) Og g(x), og g(x) ≠ 0 på settet vi er interessert i, kan vi definere en ny funksjon h(x) = f(x)/g(x). For en slik funksjon kan du også finne den deriverte:

Ikke svak, hva? Hvor kom minuset fra? Hvorfor g 2? Og sånn! Dette er en av de mest komplekse formlene - du kan ikke finne ut av det uten en flaske. Derfor er det bedre å studere det med spesifikke eksempler.

Oppgave. Finn deriverte av funksjoner:

Telleren og nevneren til hver brøk inneholder elementære funksjoner, så alt vi trenger er formelen for den deriverte av kvotienten:

I følge tradisjonen, la oss faktorisere telleren - dette vil i stor grad forenkle svaret:

En kompleks funksjon er ikke nødvendigvis en halv kilometer lang formel. For eksempel er det nok å ta funksjonen f(x) = synd x og erstatte variabelen x, si, på x 2 + ln x. Det ordner seg f(x) = synd ( x 2 + ln x) - dette er en kompleks funksjon. Den har også et derivat, men det vil ikke være mulig å finne det ved å bruke reglene diskutert ovenfor.

Hva burde jeg gjøre? I slike tilfeller hjelper det å erstatte en variabel og formel for den deriverte av en kompleks funksjon:

f ’(x) = f ’(t) · t', hvis x er erstattet av t(x).

Som regel er situasjonen med å forstå denne formelen enda mer trist enn med den deriverte av kvotienten. Derfor er det også bedre å forklare det ved hjelp av spesifikke eksempler, med en detaljert beskrivelse av hvert trinn.

Oppgave. Finn deriverte av funksjoner: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = synd ( x 2 + ln x)

Merk at hvis i funksjonen f(x) i stedet for uttrykk 2 x+ 3 vil være enkelt x, så får vi en elementær funksjon f(x) = e x. Derfor gjør vi en erstatning: la 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Vi ser etter den deriverte av en kompleks funksjon ved å bruke formelen:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Og nå - oppmerksomhet! Vi utfører omvendt erstatning: t = 2x+ 3. Vi får:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

La oss nå se på funksjonen g(x). Det er klart at det må skiftes ut x 2 + ln x = t. Vi har:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (synd t)’ · t’ = cos t · t ’

Omvendt erstatning: t = x 2 + ln x. Deretter:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Det er alt! Som det fremgår av det siste uttrykket, er hele problemet redusert til å beregne den deriverte summen.

Svar:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) fordi ( x 2 + ln x).

Svært ofte i timene mine, i stedet for begrepet "derivat", bruker jeg ordet "prime". For eksempel er streken til summen lik summen av strekene. Er det klarere? Vel, det er bra.

Dermed kommer beregning av derivatet ned til å bli kvitt de samme slagene i henhold til reglene diskutert ovenfor. Som et siste eksempel, la oss gå tilbake til den deriverte potensen med en rasjonell eksponent:

(x n)’ = n · x n − 1

De færreste vet det i rollen n kan godt være et brøktall. For eksempel er roten x 0,5. Hva om det er noe fancy under roten? Igjen vil resultatet bli en kompleks funksjon – de gir gjerne slike konstruksjoner til tester og eksamener.

Oppgave. Finn den deriverte av funksjonen:

La oss først omskrive roten som en potens med en rasjonell eksponent:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Nå gjør vi en erstatning: la x 2 + 8x − 7 = t. Vi finner den deriverte ved å bruke formelen:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.

La oss gjøre omvendt erstatning: t = x 2 + 8x− 7. Vi har:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Til slutt, tilbake til røttene:

Sidenavigering.

Den deriverte er konstant.

Når vi utleder den aller første formelen i tabellen, vil vi gå ut fra definisjonen av den deriverte av en funksjon i et punkt. La oss ta , hvor x er et hvilket som helst reelt tall, det vil si at x er et hvilket som helst tall fra definisjonsdomenet til funksjonen. La oss skrive ned grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet ved:

Det skal bemerkes at under grensetegnet oppnås uttrykket, som ikke er , siden telleren ikke inneholder en uendelig verdi, men nøyaktig null. Med andre ord er økningen av en konstant funksjon alltid null.

Dermed, den deriverte av en konstant funksjon er lik null gjennom hele definisjonsdomenet.

Eksempel.

Finn deriverte av følgende konstantfunksjoner

Løsning.

I det første tilfellet har vi den deriverte av det naturlige tallet 3, i det andre tilfellet må vi ta den deriverte av parameteren a, som kan være et hvilket som helst reelt tall, i det tredje - den deriverte av det irrasjonelle tallet, i det fjerde tilfelle har vi den deriverte av null (null er et heltall), i den femte – deriverte av en rasjonell brøk.

Svar:

De deriverte av alle disse funksjonene er lik null for enhver reell x (over hele definisjonsdomenet)

Derivat av en potensfunksjon.

Formelen for den deriverte av en potensfunksjon har formen , hvor eksponenten p er et hvilket som helst reelt tall.

La oss først bevise formelen for den naturlige eksponenten, det vil si for p = 1, 2, 3, ...

Vi vil bruke definisjonen av derivat. La oss skrive ned grensen for forholdet mellom økningen av en potensfunksjon og økningen av argumentet:

For å forenkle uttrykket i telleren, går vi til formelen:

Derfor,

Dette beviser formelen for den deriverte av en potensfunksjon for en naturlig eksponent.

To tilfeller bør vurderes: for positiv x og negativ x.

La oss anta først. I dette tilfellet . La oss ta logaritmen til likheten til basen e og bruke egenskapen til logaritmen:

Vi kom frem til en implisitt spesifisert funksjon. Vi finner dens deriverte:

Det gjenstår å utføre beviset for negativ x.

Når eksponenten p er et partall, er potensfunksjonen også definert for og er partall (se avsnitt). Det er, . I dette tilfellet kan du også bruke beviset gjennom den logaritmiske deriverte.

Når eksponenten p er et oddetall, er potensfunksjonen også definert for og er oddetall. Det er, . I dette tilfellet kan den logaritmiske deriverte ikke brukes. For å bevise formelen i dette tilfellet kan du bruke differensieringsreglene og regelen for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

Den siste overgangen er mulig på grunn av det faktum at hvis p er et oddetall, så er p-1 enten et partall eller null (for p=1), derfor er likheten sann for negativ x .

Dermed er formelen for den deriverte av en potensfunksjon bevist for enhver reell p.

Eksempel.

Finn deriverte av funksjoner.

Løsning.

Vi bringer den første og tredje funksjonen til tabellform ved å bruke egenskapene til en potens, og bruker formelen for den deriverte av en potensfunksjon:

Derivert av en eksponentiell funksjon.

Vi presenterer avledningen av derivatformelen basert på definisjonen:

Vi har kommet til usikkerhet. For å utvide den introduserer vi en ny variabel, og på . Deretter . I den siste overgangen brukte vi formelen for overgang til en ny logaritmisk base.

La oss bytte inn i den opprinnelige grensen:

Per definisjon av den deriverte for sinusfunksjonen vi har .

La oss bruke forskjellen på sines-formelen:

Det gjenstår å vende seg til den første bemerkelsesverdige grensen:

Altså den deriverte funksjoner synd x er cos x.

Formelen for derivatet av cosinus er bevist på nøyaktig samme måte.

Når vi løser differensieringsproblemer, vil vi hele tiden referere til tabellen over derivater av grunnleggende funksjoner, ellers hvorfor kompilerte vi den og beviste hver formel. Vi anbefaler at du husker alle disse formlene; i fremtiden vil det spare deg for mye tid.

Opphavsrett av smartstudenter

Alle rettigheter forbeholdt.
Beskyttet av lov om opphavsrett. Ingen del av nettstedet, inkludert indre materialer Og utvendig design, kan ikke reproduseres i noen form eller brukes uten skriftlig forhåndstillatelse fra opphavsrettsinnehaveren.

Problemet med å finne den deriverte av en gitt funksjon er en av de viktigste i matematikkkurs på videregående skole og i høyere utdanning. utdanningsinstitusjoner. Det er umulig å utforske en funksjon fullstendig og konstruere grafen uten å ta den deriverte. Den deriverte av en funksjon kan lett finnes hvis du kjenner de grunnleggende reglene for differensiering, samt tabellen over avledede funksjoner. La oss finne ut hvordan du finner den deriverte av en funksjon.

Den deriverte av en funksjon er grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet når økningen av argumentet har en tendens til null.

Å forstå denne definisjonen er ganske vanskelig, siden konseptet med en grense ikke er fullt studert på skolen. Men for å finne deriverte av ulike funksjoner, er det ikke nødvendig å forstå definisjonen; la oss overlate det til matematikere og gå rett til å finne den deriverte.

Prosessen med å finne den deriverte kalles differensiering. Når vi differensierer en funksjon, får vi en ny funksjon.

For å angi dem vil vi bruke de latinske bokstavene f, g, etc.

Det finnes mange forskjellige notasjoner for derivater. Vi vil bruke et slag. For eksempel, å skrive g" betyr at vi finner den deriverte av funksjonen g.

Derivattabell

For å svare på spørsmålet om hvordan du finner derivatet, er det nødvendig å gi en tabell over derivater av hovedfunksjonene. For å beregne deriverte av elementære funksjoner, er det ikke nødvendig å utføre komplekse beregninger. Det er nok bare å se på verdien i tabellen over derivater.

1. (sin x)"=cos x
2. (cos x)"= –sin x
3. (x n)"=n x n-1
4. (e x)"=e x
5. (ln x)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= – 1/sin 2 x
10. (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Eksempel 1. Finn den deriverte av funksjonen y=500.

Vi ser at dette er en konstant. Fra tabellen over deriverte er det kjent at den deriverte av en konstant er lik null (formel 1).

Eksempel 2. Finn den deriverte av funksjonen y=x 100.

Dette er en potensfunksjon hvis eksponent er 100, og for å finne dens deriverte må du multiplisere funksjonen med eksponenten og redusere den med 1 (formel 3).

(x 100)"=100 x 99

Eksempel 3. Finn den deriverte av funksjonen y=5 x

Dette er en eksponentiell funksjon, la oss beregne dens deriverte ved å bruke formel 4.

Eksempel 4. Finn den deriverte av funksjonen y= log 4 x

Vi finner den deriverte av logaritmen ved å bruke formel 7.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Regler for differensiering

La oss nå finne ut hvordan du finner den deriverte av en funksjon hvis den ikke er i tabellen. De fleste funksjonene som er studert er ikke elementære, men er kombinasjoner av elementære funksjoner ved bruk av enkle operasjoner (addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og multiplikasjon med et tall). For å finne deres derivater, må du kjenne reglene for differensiering. Under angir bokstavene f og g funksjoner, og C er en konstant.

1. Konstantkoeffisienten kan tas ut av fortegnet til den deriverte

Eksempel 5. Finn den deriverte av funksjonen y= 6*x 8

Vi tar ut en konstant faktor på 6 og differensierer kun x 4. Dette er en potensfunksjon, hvis deriverte er funnet ved hjelp av formel 3 i tabellen over deriverte.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Den deriverte av en sum er lik summen av de deriverte

(f + g)"=f" + g"

Eksempel 6. Finn den deriverte av funksjonen y= x 100 +sin x

En funksjon er summen av to funksjoner, de deriverte vi kan finne fra tabellen. Siden (x 100)"=100 x 99 og (sin x)"=cos x. Den deriverte av summen vil være lik summen av disse derivatene:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x

3. Den deriverte av differansen er lik differansen av de deriverte

(f – g)"=f" – g"

Eksempel 7. Finn den deriverte av funksjonen y= x 100 – cos x

Denne funksjonen er forskjellen mellom to funksjoner, de deriverte som vi også kan finne fra tabellen. Da er den deriverte av forskjellen lik forskjellen av de deriverte og ikke glem å endre tegnet, siden (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x

Eksempel 8. Finn den deriverte av funksjonen y=e x +tg x– x 2.

Denne funksjonen har både en sum og en forskjell; la oss finne de deriverte av hvert ledd:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Da er den deriverte av den opprinnelige funksjonen lik:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Avledet av produktet

(f * g)"=f" * g + f * g"

Eksempel 9. Finn den deriverte av funksjonen y= cos x *e x

For å gjøre dette finner vi først den deriverte av hver faktor (cos x)"=–sin x og (e x)"=e x. La oss nå erstatte alt i produktformelen. Vi multipliserer den deriverte av den første funksjonen med den andre og adderer produktet av den første funksjonen med den deriverte av den andre.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Derivat av kvotienten

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Eksempel 10. Finn den deriverte av funksjonen y= x 50 /sin x

For å finne den deriverte av en kvotient, finner vi først den deriverte av telleren og nevneren hver for seg: (x 50)"=50 x 49 og (sin x)"= cos x. Ved å erstatte den deriverte av kvotienten i formelen får vi:

(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Derivat av en kompleks funksjon

En kompleks funksjon er en funksjon representert ved en sammensetning av flere funksjoner. Det er også en regel for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

(u (v))"=u"(v)*v"

La oss finne ut hvordan du finner den deriverte av en slik funksjon. La y= u(v(x)) være en kompleks funksjon. La oss kalle funksjonen u ekstern, og v - intern.

For eksempel:

y=sin (x 3) er en kompleks funksjon.

Da er y=sin(t) en ekstern funksjon

t=x 3 - intern.

La oss prøve å beregne den deriverte av denne funksjonen. I henhold til formelen må du multiplisere derivatene til de interne og eksterne funksjonene.

(sin t)"=cos (t) - derivert av den eksterne funksjonen (der t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - derivert av den interne funksjonen

Da er (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 den deriverte av en kompleks funksjon.

Å løse fysiske problemer eller eksempler i matematikk er helt umulig uten kunnskap om den deriverte og metoder for å regne den ut. Den deriverte er et av de viktigste begrepene i matematisk analyse. Vi bestemte oss for å vie dagens artikkel til dette grunnleggende emnet. Hva er en derivert, hva er dens fysiske og geometriske betydning, hvordan beregner man den deriverte av en funksjon? Alle disse spørsmålene kan kombineres til ett: hvordan forstå den deriverte?

Geometrisk og fysisk betydning av derivat

La det være en funksjon f(x) , spesifisert i et visst intervall (a, b) . Punktene x og x0 tilhører dette intervallet. Når x endres, endres selve funksjonen. Endring av argumentet - forskjellen i verdiene x-x0 . Denne forskjellen er skrevet som delta x og kalles argumentøkning. En endring eller økning av en funksjon er forskjellen mellom verdiene til en funksjon ved to punkter. Definisjon av derivat:

Den deriverte av en funksjon i et punkt er grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen ved et gitt punkt og økningen av argumentet når sistnevnte har en tendens til null.

Ellers kan det skrives slik:

Hva er vitsen med å finne en slik grense? Og her er hva det er:

den deriverte av en funksjon i et punkt er lik tangenten til vinkelen mellom OX-aksen og tangenten til grafen til funksjonen i et gitt punkt.

Fysisk betydning av derivatet: den deriverte av banen med hensyn til tid er lik hastigheten på rettlinjet bevegelse.

Faktisk, siden skoledagene vet alle at hastighet er en spesiell vei x=f(t) og tid t . Gjennomsnittlig hastighet over en viss tidsperiode:

For å finne ut bevegelseshastigheten på et øyeblikk t0 du må beregne grensen:

Regel én: sett en konstant

Konstanten kan tas ut av det deriverte tegnet. Dessuten må dette gjøres. Når du løser eksempler i matematikk, ta det som en regel - Hvis du kan forenkle et uttrykk, sørg for å forenkle det .

Eksempel. La oss beregne den deriverte:

Regel to: derivert av summen av funksjoner

Den deriverte av summen av to funksjoner er lik summen av de deriverte av disse funksjonene. Det samme gjelder for den deriverte av funksjonsforskjellen.

Vi vil ikke gi et bevis på denne teoremet, men heller vurdere et praktisk eksempel.

Finn den deriverte av funksjonen:

Regel tre: derivert av produktet av funksjoner

Den deriverte av produktet av to differensierbare funksjoner beregnes med formelen:

Eksempel: finn den deriverte av en funksjon:

Løsning:

Det er viktig å snakke om beregning av deriverte av komplekse funksjoner her. Den deriverte av en kompleks funksjon er lik produktet av den deriverte av denne funksjonen med hensyn til det mellomliggende argumentet og den deriverte av det mellomliggende argumentet med hensyn til den uavhengige variabelen.

I eksemplet ovenfor kommer vi over uttrykket:

I dette tilfellet er det mellomliggende argumentet 8x til femte potens. For å beregne den deriverte av et slikt uttrykk, beregner vi først den deriverte av den eksterne funksjonen med hensyn til det mellomliggende argumentet, og deretter multiplisere med den deriverte av selve mellomargumentet med hensyn til den uavhengige variabelen.

Regel fire: derivert av kvotienten til to funksjoner

Formel for å bestemme den deriverte av kvotienten til to funksjoner:

Vi prøvde å snakke om derivater for dummies fra bunnen av. Dette emnet er ikke så enkelt som det ser ut til, så vær advart: det er ofte fallgruver i eksemplene, så vær forsiktig når du beregner derivater.

Ved spørsmål om dette og andre temaer kan du kontakte studenttjenesten. I løpet av kort tid vil vi hjelpe deg med å løse den vanskeligste testen og forstå oppgavene, selv om du aldri har gjort derivatberegninger før.

Prosessen med å finne den deriverte av en funksjon kalles differensiering. Den deriverte må finnes i en rekke problemer i løpet av matematisk analyse. For eksempel når du finner ekstremumpunkter og infleksjonspunkter for en funksjonsgraf.

Hvordan finne?

For å finne den deriverte av en funksjon må du kjenne tabellen over deriverte av elementære funksjoner og bruke de grunnleggende reglene for differensiering:

1. Flytte konstanten forbi tegnet til den deriverte: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Derivert av summen/forskjellen av funksjoner: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Derivert av produktet av to funksjoner: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Derivat av en brøk: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv"))(v^2) $$
5. Derivat av en kompleks funksjon: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Eksempler på løsninger