Calcola i derivati ​​online con una soluzione dettagliata. Derivata di una funzione

Se segui la definizione, la derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto tra l'incremento della funzione Δ sì all'argomento incremento Δ X:

Tutto sembra essere chiaro. Ma prova a usare questa formula per calcolare, ad esempio, la derivata della funzione F(X) = X 2 + (2X+3) · e X peccato X. Se fai tutto per definizione, dopo un paio di pagine di calcoli ti addormenterai semplicemente. Pertanto, ci sono modi più semplici ed efficaci.

Per cominciare, notiamo che dall'intera varietà di funzioni possiamo distinguere le cosiddette funzioni elementari. Si tratta di espressioni relativamente semplici, le cui derivate sono state a lungo calcolate e tabulate. Tali funzioni sono abbastanza facili da ricordare, insieme ai loro derivati.

Derivate di funzioni elementari

Le funzioni elementari sono tutte quelle elencate di seguito. Le derivate di queste funzioni devono essere conosciute a memoria. Inoltre, non è affatto difficile memorizzarli, ecco perché sono elementari.

Quindi, derivate delle funzioni elementari:

Se una funzione elementare viene moltiplicata per una costante arbitraria, si calcola facilmente anche la derivata della nuova funzione:

(C · F)’ = C · F ’.

In generale, le costanti possono essere tolte dal segno della derivata. Per esempio:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Ovviamente le funzioni elementari possono essere sommate tra loro, moltiplicate, divise e molto altro ancora. Appariranno così nuove funzionalità, non più particolarmente elementari, ma anche differenziate secondo determinate regole. Queste regole sono discusse di seguito.

Derivata della somma e della differenza

Si diano le funzioni F(X) E G(X), i cui derivati ​​ci sono noti. Ad esempio, puoi prendere le funzioni elementari discusse sopra. Quindi puoi trovare la derivata della somma e della differenza di queste funzioni:

1. (F + G)’ = F ’ + G ’
2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Quindi, la derivata della somma (differenza) di due funzioni è uguale alla somma (differenza) delle derivate. Potrebbero esserci più termini. Per esempio, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

A rigor di termini, in algebra non esiste il concetto di “sottrazione”. Esiste il concetto di “elemento negativo”. Quindi la differenza F − G può essere riscritto come una somma F+ (-1) G, e quindi rimane solo una formula: la derivata della somma.

F(X) = X 2 + peccato x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funzione F(X) è la somma di due funzioni elementari, quindi:

F ’(X) = (X 2 + peccato X)’ = (X 2)’ + (peccato X)’ = 2X+ cosx;

Ragioniamo allo stesso modo per la funzione G(X). Solo che ci sono già tre termini (dal punto di vista dell'algebra):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Risposta:
F ’(X) = 2X+ cosx;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivato del prodotto

La matematica è una scienza logica, quindi molte persone credono che se la derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate, allora la derivata del prodotto sciopero">uguale al prodotto delle derivate. Ma vaffanculo! La derivata di un prodotto si calcola utilizzando una formula completamente diversa. Vale a dire:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

La formula è semplice, ma spesso viene dimenticata. E non solo gli scolari, ma anche gli studenti. Il risultato sono problemi risolti in modo errato.

Compito. Trova le derivate delle funzioni: F(X) = X 3cosx; G(X) = (X 2 + 7X−7) · e X .

Funzione F(X) è il prodotto di due funzioni elementari, quindi tutto è semplice:

F ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)’ cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (− peccato X) = X 2 (3cos X − X peccato X)

Funzione G(X) il primo fattore è un po' più complicato, ma schema generale questo non cambia. Ovviamente, il primo fattore della funzione G(X) è un polinomio e la sua derivata è la derivata della somma. Abbiamo:

G ’(X) = ((X 2 + 7X−7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · e X + (X 2 + 7X−7) · ( e X)’ = (2X+7) · e X + (X 2 + 7X−7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+9) · e X .

Risposta:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X peccato X);
G ’(X) = X(X+9) · e X .

Si noti che nell'ultimo passaggio la derivata viene fattorizzata. Formalmente non è necessario farlo, ma la maggior parte dei derivati ​​non vengono calcolati da soli, ma per esaminare la funzione. Ciò significa che inoltre la derivata sarà equiparata a zero, i suoi segni verranno determinati e così via. In tal caso, è meglio fattorizzare l'espressione.

Se ci sono due funzioni F(X) E G(X), E G(X) ≠ 0 sull'insieme che ci interessa, possiamo definire una nuova funzione H(X) = F(X)/G(X). Per tale funzione puoi anche trovare la derivata:

Non debole, eh? Da dove viene il meno? Perché G 2? E così! Questa è una delle formule più complesse: non puoi capirla senza una bottiglia. Pertanto, è meglio studiarlo con esempi specifici.

Compito. Trova le derivate delle funzioni:

Il numeratore e il denominatore di ciascuna frazione contengono funzioni elementari, quindi tutto ciò di cui abbiamo bisogno è la formula per la derivata del quoziente:

Secondo la tradizione, fattorizziamo il numeratore: questo semplificherà notevolmente la risposta:

Una funzione complessa non è necessariamente una formula lunga mezzo chilometro. Ad esempio, è sufficiente prendere la funzione F(X) = peccato X e sostituire la variabile X, diciamo, su X 2 + ln X. Funzionerà F(X) = peccato ( X 2 + ln X) - questa è una funzione complessa. Ha anche un derivato, ma non sarà possibile trovarlo utilizzando le regole discusse sopra.

Cosa dovrei fare? In questi casi, la sostituzione di una variabile e di una formula per la derivata di una funzione complessa aiuta:

F ’(X) = F ’(T) · T', Se Xè sostituito da T(X).

Di norma, la situazione con la comprensione di questa formula è ancora più triste che con la derivata del quoziente. Meglio quindi spiegarlo anche con esempi specifici, descrivendo dettagliatamente ogni passaggio.

Compito. Trova le derivate delle funzioni: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = peccato ( X 2 + ln X)

Tieni presente che se nella funzione F(X) invece dell'espressione 2 X+ 3 sarà facile X, allora otteniamo una funzione elementare F(X) = e X. Pertanto, effettuiamo una sostituzione: sia 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Cerchiamo la derivata di una funzione complessa utilizzando la formula:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

E ora - attenzione! Eseguiamo la sostituzione inversa: T = 2X+ 3. Otteniamo:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Ora diamo un'occhiata alla funzione G(X). Ovviamente è da sostituire X 2 + ln X = T. Abbiamo:

G ’(X) = G ’(T) · T' = (peccato T)’ · T' = cos T · T ’

Sostituzione inversa: T = X 2 + ln X. Poi:

G ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

È tutto! Come si può vedere dall'ultima espressione, l'intero problema è stato ridotto al calcolo della somma delle derivate.

Risposta:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) cos ( X 2 + ln X).

Molto spesso nelle mie lezioni, invece del termine “derivato”, utilizzo la parola “primo”. Ad esempio, il tratto della somma è uguale alla somma dei tratti. E' più chiaro? Va bene.

Pertanto, il calcolo della derivata si riduce all'eliminazione di questi stessi tratti secondo le regole discusse sopra. Come ultimo esempio, torniamo alla potenza derivativa con esponente razionale:

(X N)’ = N · X N − 1

Poche persone lo sanno nel ruolo N potrebbe anche essere un numero frazionario. Ad esempio, la radice è X 0,5. E se sotto la radice ci fosse qualcosa di speciale? Ancora una volta, il risultato sarà una funzione complessa: a loro piace dare tali costruzioni test ed esami.

Compito. Trova la derivata della funzione:

Innanzitutto, riscriviamo la radice come potenza con esponente razionale:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Adesso facciamo una sostituzione: let X 2 + 8X − 7 = T. Troviamo la derivata utilizzando la formula:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)’ · T’ = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Facciamo la sostituzione inversa: T = X 2 + 8X− 7. Abbiamo:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X−7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Infine, torniamo alle radici:

Navigazione della pagina.

La derivata è costante.

Per derivare la primissima formula della tabella, procederemo dalla definizione della derivata di una funzione in un punto. Prendiamo , dove x è un numero reale qualsiasi, ovvero x è un numero qualsiasi del dominio di definizione della funzione. Scriviamo il limite del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento in:

È da notare che sotto il segno limite si ottiene l'espressione, che non è , poiché il numeratore non contiene un valore infinitesimo, ma appunto zero. In altre parole, l'incremento di una funzione costante è sempre zero.

Così, la derivata di una funzione costante è uguale a zero in tutto il dominio della definizione.

Esempio.

Trova le derivate delle seguenti funzioni costanti

Soluzione.

Nel primo caso abbiamo la derivata del numero naturale 3, nel secondo caso dobbiamo prendere la derivata del parametro a, che può essere qualsiasi numero reale, nel terzo la derivata del numero irrazionale, nel quarto In questo caso abbiamo la derivata dello zero (zero è un numero intero), nella quinta la derivata di una frazione razionale.

Risposta:

Le derivate di tutte queste funzioni sono uguali a zero per qualsiasi x reale (sull'intero dominio di definizione)

Derivata di una funzione di potenza.

La formula per la derivata di una funzione di potenza ha la forma , dove l'esponente p è un numero reale qualsiasi.

Dimostriamo prima la formula per l'esponente naturale, cioè per p = 1, 2, 3, ...

Utilizzeremo la definizione di derivata. Scriviamo il limite del rapporto tra l'incremento di una funzione di potenza e l'incremento dell'argomento:

Per semplificare l'espressione al numeratore, passiamo alla formula:

Quindi,

Ciò dimostra la formula per la derivata di una funzione di potenza per un esponente naturale.

Dovrebbero essere considerati due casi: per x positivi e x negativi.

Supponiamo prima. In questo caso . Prendiamo il logaritmo dell'uguaglianza in base e e applichiamo la proprietà del logaritmo:

Siamo arrivati ​​a una funzione specificata implicitamente. Troviamo la sua derivata:

Resta da effettuare la dimostrazione per x negativo.

Quando l'esponente p è un numero pari, allora anche la funzione potenza è definita ed è pari (vedi sezione). Questo è, . In questo caso puoi anche usare la dimostrazione attraverso la derivata logaritmica.

Quando l'esponente p è un numero dispari, anche la funzione potenza è definita ed è dispari. Questo è, . In questo caso non è possibile utilizzare la derivata logaritmica. Per dimostrare la formula in questo caso puoi utilizzare le regole di derivazione e la regola per trovare la derivata di una funzione complessa:

L'ultima transizione è possibile perché se p è un numero dispari, allora p-1 è un numero pari o zero (per p=1), quindi per x negativo l'uguaglianza è vera .

Pertanto, la formula per la derivata di una funzione potenza è dimostrata per qualsiasi p reale.

Esempio.

Trova le derivate delle funzioni.

Soluzione.

Portiamo la prima e la terza funzione in forma tabellare, utilizzando le proprietà di una potenza, e applichiamo la formula per la derivata di una funzione potenza:

Derivata di una funzione esponenziale.

Presentiamo la derivazione della formula della derivata in base alla definizione:

Siamo arrivati ​​all’incertezza. Per espanderlo, introduciamo una nuova variabile e in . Poi . Nell'ultima transizione abbiamo utilizzato la formula per passare a una nuova base logaritmica.

Sostituiamo nel limite originale:

Per definizione della derivata della funzione seno che abbiamo .

Usiamo la formula della differenza dei seni:

Resta da passare al primo limite notevole:

Quindi la derivata funzioni peccato x è cos x.

La formula per la derivata del coseno si dimostra esattamente allo stesso modo.

Quando risolviamo i problemi di differenziazione, faremo costantemente riferimento alla tabella delle derivate delle funzioni di base, altrimenti perché l'abbiamo compilata e dimostrata ciascuna formula. Ti consigliamo di ricordare tutte queste formule; in futuro ti farà risparmiare molto tempo.

Copyright distudenti intelligenti

Tutti i diritti riservati.
Protetto dalla legge sul diritto d'autore. Nessuna parte del sito, incluso materiali interni E progettazione esterna, non può essere riprodotto in alcuna forma o utilizzato senza il previo consenso scritto del detentore del copyright.

Il problema di trovare la derivata di una data funzione è uno dei principali nei corsi di matematica delle scuole superiori e nell'istruzione superiore. istituzioni educative. È impossibile esplorare completamente una funzione e costruire il suo grafico senza ricavarne la derivata. La derivata di una funzione può essere trovata facilmente se si conoscono le regole di base della derivazione, nonché la tabella delle derivate delle funzioni di base. Scopriamo come trovare la derivata di una funzione.

La derivata di una funzione è il limite del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento quando l'incremento dell'argomento tende a zero.

Comprendere questa definizione è piuttosto difficile, poiché il concetto di limite non è completamente studiato a scuola. Ma per trovare le derivate di varie funzioni non è necessario capirne la definizione; lasciamo il compito ai matematici e passiamo subito alla ricerca della derivata.

Il processo per trovare la derivata è chiamato differenziazione. Quando differenziamo una funzione, otterremo una nuova funzione.

Per designarli useremo le lettere latine f, g, ecc.

Esistono molte notazioni diverse per i derivati. Useremo un tratto. Ad esempio, scrivere g" significa che troveremo la derivata della funzione g.

Tabella dei derivati

Per rispondere alla domanda su come trovare la derivata, è necessario fornire una tabella delle derivate delle funzioni principali. Per calcolare le derivate delle funzioni elementari non è necessario eseguire calcoli complessi. Basta guardare il suo valore nella tabella dei derivati.

1. (peccato x)"=cos x
2. (cos x)"= –peccato x
3. (xn)"=nxn-1
4. (ex)"=ex
5. (lnx)"=1/x
6. (ax)"=axln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= – 1/sen 2 x
10. (arcoseno x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arco x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x 2)
13. (arco x)"= - 1/(1+x 2)

Esempio 1. Trova la derivata della funzione y=500.

Vediamo che questa è una costante. Dalla tabella delle derivate si sa che la derivata di una costante è uguale a zero (formula 1).

Esempio 2. Trova la derivata della funzione y=x 100.

Questa è una funzione di potenza il cui esponente è 100 e per trovare la sua derivata devi moltiplicare la funzione per l'esponente e ridurla di 1 (formula 3).

(x 100)"=100 x 99

Esempio 3. Trova la derivata della funzione y=5 x

Questa è una funzione esponenziale, calcoliamo la sua derivata utilizzando la formula 4.

Esempio 4. Trova la derivata della funzione y= log 4 x

Troviamo la derivata del logaritmo utilizzando la formula 7.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Regole di differenziazione

Vediamo ora come trovare la derivata di una funzione se non è nella tabella. La maggior parte delle funzioni studiate non sono elementari, ma sono combinazioni di funzioni elementari mediante operazioni semplici (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione e moltiplicazione per un numero). Per trovare i loro derivati, è necessario conoscere le regole di differenziazione. Sotto, le lettere f e g indicano funzioni e C è una costante.

1. Il coefficiente costante può essere estratto dal segno della derivata

Esempio 5. Trova la derivata della funzione y= 6*x 8

Togliamo un fattore costante pari a 6 e differenziamo solo x 4. Questa è una funzione di potenza, la cui derivata si trova utilizzando la formula 3 della tabella delle derivate.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. La derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate

(f + g)"=f" + g"

Esempio 6. Trova la derivata della funzione y= x 100 +sen x

Una funzione è la somma di due funzioni, le cui derivate possiamo trovare dalla tabella. Poiché (x 100)"=100 x 99 e (sin x)"=cos x. La derivata della somma sarà uguale alla somma di queste derivate:

(x 100 +seno x)"= 100 x 99 +cos x

3. La derivata della differenza è uguale alla differenza delle derivate

(f – g)"=f" – g"

Esempio 7. Trova la derivata della funzione y= x 100 – cos x

Questa funzione è la differenza di due funzioni, le cui derivate possiamo trovarle anche dalla tabella. Allora la derivata della differenza è uguale alla differenza delle derivate e non dimenticare di cambiare segno, poiché (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x

Esempio 8. Trova la derivata della funzione y=e x +tg x– x 2.

Questa funzione ha sia una somma che una differenza; troviamo le derivate di ciascun termine:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Quindi la derivata della funzione originale è uguale a:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Derivato del prodotto

(f*g)"=f"*g + f*g"

Esempio 9. Trova la derivata della funzione y= cos x *e x

Per fare ciò, troviamo prima la derivata di ciascun fattore (cos x)"=–sin x e (e x)"=e x. Ora sostituiamo tutto nella formula del prodotto. Moltiplichiamo la derivata della prima funzione per la seconda e aggiungiamo il prodotto della prima funzione per la derivata della seconda.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Derivata del quoziente

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Esempio 10. Trova la derivata della funzione y= x 50 /sen x

Per trovare la derivata di un quoziente, dobbiamo prima trovare separatamente la derivata del numeratore e del denominatore: (x 50)"=50 x 49 e (sin x)"= cos x. Sostituendo nella formula la derivata del quoziente otteniamo:

(x 50 /sen x)"= 50x 49 *sen x – x 50 *cos x/sen 2 x

Derivata di una funzione complessa

Una funzione complessa è una funzione rappresentata da una composizione di più funzioni. Esiste anche una regola per trovare la derivata di una funzione complessa:

(u(v))"=u"(v)*v"

Scopriamo come trovare la derivata di tale funzione. Sia y= u(v(x)) una funzione complessa. Chiamiamo la funzione u esterna e v - interna.

Per esempio:

y=sen (x 3) è una funzione complessa.

Allora y=sin(t) è una funzione esterna

t=x 3 - interno.

Proviamo a calcolare la derivata di questa funzione. Secondo la formula, è necessario moltiplicare le derivate delle funzioni interna ed esterna.

(sin t)"=cos (t) - derivata della funzione esterna (dove t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - derivata della funzione interna

Allora (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 è la derivata di una funzione complessa.

Risolvere problemi fisici o esempi in matematica è completamente impossibile senza la conoscenza della derivata e dei metodi per calcolarla. La derivata è uno dei concetti più importanti nell'analisi matematica. Abbiamo deciso di dedicare l’articolo di oggi a questo argomento fondamentale. Cos'è una derivata, qual è il suo significato fisico e geometrico, come si calcola la derivata di una funzione? Tutte queste domande possono essere combinate in una sola: come comprendere la derivata?

Significato geometrico e fisico della derivata

Lascia che ci sia una funzione f(x) , specificato in un certo intervallo (a, b) . I punti x e x0 appartengono a questo intervallo. Quando x cambia, cambia la funzione stessa. Cambiare l'argomento: la differenza nei suoi valori x-x0 . Questa differenza è scritta come delta x ed è chiamato incremento dell'argomento. Una modifica o incremento di una funzione è la differenza tra i valori di una funzione in due punti. Definizione di derivato:

La derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto tra l'incremento della funzione in un dato punto e l'incremento dell'argomento quando quest'ultimo tende a zero.

Altrimenti si può scrivere così:

Che senso ha trovare un limite del genere? Ed ecco di cosa si tratta:

la derivata di una funzione in un punto è uguale alla tangente dell'angolo compreso tra l'asse OX e la tangente al grafico della funzione in un dato punto.

Significato fisico del derivato: la derivata del percorso rispetto al tempo è pari alla velocità del moto rettilineo.

Infatti, fin dai tempi della scuola tutti sanno che la velocità è un percorso particolare x=f(t) E tempo T . Velocità media in un certo periodo di tempo:

Per scoprire la velocità del movimento in un momento nel tempo t0 devi calcolare il limite:

Regola uno: imposta una costante

La costante può essere tolta dal segno della derivata. Inoltre, questo deve essere fatto. Quando risolvi esempi in matematica, prendilo come regola: Se puoi semplificare un'espressione, assicurati di semplificarla .

Esempio. Calcoliamo la derivata:

Seconda regola: derivata della somma di funzioni

La derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate di queste funzioni. Lo stesso vale per la derivata della differenza di funzioni.

Non daremo una dimostrazione di questo teorema, ma considereremo piuttosto un esempio pratico.

Trova la derivata della funzione:

Regola tre: derivata del prodotto di funzioni

La derivata del prodotto di due funzioni differenziabili si calcola con la formula:

Esempio: trova la derivata di una funzione:

Soluzione:

È importante parlare qui del calcolo delle derivate di funzioni complesse. La derivata di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata di questa funzione rispetto all'argomento intermedio e della derivata dell'argomento intermedio rispetto alla variabile indipendente.

Nell'esempio sopra ci imbattiamo nell'espressione:

In questo caso l'argomento intermedio è 8x elevato alla quinta potenza. Per calcolare la derivata di tale espressione, calcoliamo prima la derivata della funzione esterna rispetto all'argomento intermedio, quindi moltiplichiamo per la derivata dell'argomento intermedio stesso rispetto alla variabile indipendente.

Regola quattro: derivata del quoziente di due funzioni

Formula per determinare la derivata del quoziente di due funzioni:

Abbiamo provato a parlare di derivati ​​for dummies partendo da zero. Questo argomento non è così semplice come sembra, quindi attenzione: negli esempi ci sono spesso delle insidie, quindi fai attenzione quando calcoli le derivate.

Per qualsiasi domanda su questo e altri argomenti è possibile contattare il servizio studenti. In breve tempo ti aiuteremo a risolvere i test più difficili e a comprendere i compiti, anche se non hai mai fatto calcoli derivativi prima.

Il processo per trovare la derivata di una funzione si chiama differenziazione. La derivata deve essere trovata in una serie di problemi nel corso dell'analisi matematica. Ad esempio, quando si trovano i punti estremi e i punti di flesso di un grafico di funzione.

Come trovare?

Per trovare la derivata di una funzione è necessario conoscere la tabella delle derivate delle funzioni elementari e applicare le regole base della derivazione:

1. Spostando la costante oltre il segno della derivata: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Derivata della somma/differenza di funzioni: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Derivata del prodotto di due funzioni: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Derivato di una frazione: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv"))(v^2) $$
5. Derivata di una funzione complessa: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Esempi di soluzioni