Grafico della funzione y sin 2x. Grafico della funzione y=sen x

Lezione e presentazione sul tema: "Funzione y=sin(x). Definizioni e proprietà"

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Cosa studieremo:

• Proprietà della funzione Y=sen(X).
• Grafico della funzione.
• Come costruire un grafico e la sua scala.
• Esempi.

Proprietà del seno. Y=peccato(X)

Ragazzi, abbiamo già conosciuto le funzioni trigonometriche di un argomento numerico. Te li ricordi?

Diamo uno sguardo più da vicino alla funzione Y=sin(X)

Scriviamo alcune proprietà di questa funzione:
1) Il dominio di definizione è l'insieme dei numeri reali.
2) La funzione è strana. Ricordiamo la definizione di funzione dispari. Una funzione è detta dispari se vale l'uguaglianza: y(-x)=-y(x). Come ricordiamo dalle formule fantasma: sin(-x)=-sin(x). La definizione è soddisfatta, il che significa che Y=sin(X) è una funzione dispari.
3) La funzione Y=sin(X) aumenta sul segmento e diminuisce sul segmento [π/2; π]. Quando ci muoviamo lungo il primo quarto (in senso antiorario), l'ordinata aumenta, mentre quando ci muoviamo nel secondo quarto diminuisce.

4) La funzione Y=sin(X) è limitata dal basso e dall'alto. Questa proprietà deriva dal fatto che
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Il valore più piccolo della funzione è -1 (a x = - π/2+ πk). Il valore più grande della funzione è 1 (in x = π/2+ πk).

Usiamo le proprietà 1-5 per tracciare la funzione Y=sin(X). Costruiremo il nostro grafico in sequenza, applicando le nostre proprietà. Iniziamo a costruire un grafico sul segmento.

Attenzione speciale Vale la pena prestare attenzione alla scala. Sull'asse delle ordinate è più conveniente prendere un segmento unitario pari a 2 celle, mentre sull'asse delle ascisse è più conveniente prendere un segmento unitario (due celle) pari a π/3 (vedi figura).

Tracciare la funzione seno x, y=sin(x)

Calcoliamo i valori della funzione sul nostro segmento:

Costruiamo un grafico utilizzando i nostri punti, tenendo conto della terza proprietà.

Tabella di conversione per formule fantasma

Usiamo la seconda proprietà, che dice che la nostra funzione è dispari, cioè può riflettersi simmetricamente rispetto all'origine:

Sappiamo che sin(x+ 2π) = sin(x). Ciò significa che nell'intervallo [- π; π] il grafico appare uguale a quello del segmento [π; 3π] o o [-3π; - π] e così via. Tutto quello che dobbiamo fare è ridisegnare attentamente il grafico della figura precedente lungo tutto l'asse x.

Il grafico della funzione Y=sin(X) è chiamato sinusoide.

Scriviamo alcune altre proprietà secondo il grafico costruito:
6) La funzione Y=sin(X) cresce su qualsiasi segmento della forma: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k è un intero e decresce su qualsiasi segmento della forma: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – intero.
7) La funzione Y=sin(X) è una funzione continua. Diamo un'occhiata al grafico della funzione e assicuriamoci che la nostra funzione non abbia interruzioni, questo significa continuità.
8) Intervallo di valori: segmento [- 1; 1]. Ciò è chiaramente visibile anche dal grafico della funzione.
9) Funzione Y=sin(X) - funzione periodica. Diamo nuovamente un'occhiata al grafico e vediamo che la funzione assume gli stessi valori a determinati intervalli.

Esempi di problemi con il seno

1. Risolvi l'equazione sin(x)= x-π

Soluzione: Costruiamo 2 grafici della funzione: y=sin(x) e y=x-π (vedi figura).
I nostri grafici si intersecano in un punto A(π;0), questa è la risposta: x = π

2. Rappresentare graficamente la funzione y=sen(π/6+x)-1

Soluzione: Il grafico desiderato sarà ottenuto spostando il grafico della funzione y=sin(x) π/6 unità verso sinistra e 1 unità verso il basso.

Soluzione: tracciamo la funzione e consideriamo il nostro segmento [π/2; 5π/4].
Il grafico della funzione mostra che i valori più grande e più piccolo si ottengono alle estremità del segmento, rispettivamente nei punti π/2 e 5π/4.
Risposta: sin(π/2) = 1 – il valore più grande, sin(5π/4) = il valore più piccolo.

Problemi sinusoidali per soluzione indipendente

• Risolvi l'equazione: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Rappresentare graficamente la funzione y=sen(π/3+x)-2
• Rappresentare graficamente la funzione y=sin(-2π/3+x)+1
• Trova il valore più grande e più piccolo della funzione y=sin(x) sul segmento
• Trova il valore più grande e più piccolo della funzione y=sin(x) sull'intervallo [- π/3; 5π/6]

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Come rappresentare graficamente la funzione y=sen x? Per prima cosa, diamo un'occhiata al grafico sinusoidale sull'intervallo.

Prendiamo un singolo segmento lungo 2 celle nel notebook. Sull'asse Oy ne segniamo uno.

Per comodità, arrotondiamo il numero π/2 a 1,5 (e non a 1,6, come richiesto dalle regole di arrotondamento). In questo caso, un segmento di lunghezza π/2 corrisponde a 3 celle.

Sull'asse del Bue non segniamo singoli segmenti, ma segmenti di lunghezza π/2 (ogni 3 celle). Di conseguenza, un segmento di lunghezza π corrisponde a 6 celle e un segmento di lunghezza π/6 corrisponde a 1 cella.

Con questa scelta di segmento unitario, il grafico raffigurato su un foglio di quaderno in una scatola corrisponde il più possibile al grafico della funzione y=sen x.

Creiamo una tabella dei valori del seno sull'intervallo:

Contrassegniamo i punti risultanti sul piano delle coordinate:

Poiché y=sen x è una funzione dispari, il grafico seno è simmetrico rispetto al punto origine O(0;0). Tenendo conto di questo fatto, continuiamo a tracciare il grafico a sinistra, poi i punti -π:

La funzione y=sen x è periodica con periodo T=2π. Pertanto il grafico di una funzione presa sull'intervallo [-π;π] si ripete un numero infinito di volte a destra e a sinistra.