Presentazione sul tema Progressione aritmetica e geometrica. Presentazione - Progressioni aritmetiche e geometriche

Diapositiva 22

1. Soluzione: b2=3q, b3=3q2, q=-5; -4; -3; -2; -13; -15; 753; -12; 48;… 3; -9; 27;… 3; -6; 12;… 3; -3; 3;... Risposta:

Diapositiva 23

2. Tre numeri formano una progressione aritmetica. Se aggiungi 8 al primo numero, ottieni una progressione geometrica con una somma di termini pari a 26. Trova questi numeri. Soluzione: Risposta: -6; 6; 18 o 10; 6; 2

Diapositiva 24

3. Un'equazione ha radici e un'equazione ha radici. Determina k e m se i numeri sono termini successivi di una progressione geometrica crescente. suggerimento Soluzione: - progressione geometrica Risposta: k=2, m=32

Diapositiva 25

Teorema di Vieta: la somma delle radici dell'equazione quadratica ridotta è uguale al secondo coefficiente preso con il segno opposto, e il prodotto delle radici è uguale al termine libero.

Diapositiva 26

letteratura

Visualizza tutte le diapositive

Astratto

MBOU "Scuola dei cadetti di Voronezh"

scuola intitolata a AV. Suvorov"

Semyaninova E. N.

Risolvere i problemi è un’arte pratica,

simile al nuoto o allo sci, o

imitando modelli selezionati e allenandosi costantemente.

Trova la somma di undici termini di una progressione aritmetica, il cui primo termine è uguale a – 5 e il sesto è uguale a – 3,5.

Risposta: 77 dm

Risposta: 18 tonnellate

Risposta: 4 secondi

Lumaca

metri. (Diapositiva 12)

Risposta: 30 giorni

Risposta: 1900

Un altro esempio.

64 6 -1 6 – (-1) = 7

Non è difficile capirlo:

2-3∙ 27 = 24, 26: 2-1 = 27

V. Numero incrociato. (Diapositiva 19-20)

Lavorare in gruppi.

Orizzontalmente:

;

127; -119; …;

Verticalmente:

Data una progressione geometrica 3; b2; b3;…, il cui denominatore è un numero intero. Trova questa progressione se

12q2 + 72q +35 =0

Quindi q=-5; -4; -3; -2; -1

Risposta: -6; 6; 18 o 10; 6; 2

K E M

Per il teorema di Vieta

Numeri necessari: 1; 2; 4; 8.

Risposta: k= 2, m= 32

VII. Compiti a casa.

Risolvere problemi.

Letteratura:

Algebra 9a elementare. Compiti per l'apprendimento e lo sviluppo degli studenti / comp. Belenkova E.Yu. "Intelletto - Centro". 2005.

Biblioteca della rivista "La Matematica a Scuola". Numero 23. La matematica nei puzzle, cruciverba, catene di parole, crittogrammi. Khudadatova S.S. Mosca. 2003.

Matematica. Supplemento al quotidiano “Primo Settembre”. 2000. N. 46.

Multilivello materiali didattici in algebra per la 9a elementare / comp. QUELLI. Bondarenko. Voronezh. 2001.

MBOU "Scuola dei cadetti di Voronezh"

scuola intitolata a AV. Suvorov"

Semyaninova E. N.

Argomento: Progressioni aritmetiche e geometriche.

1) riassumere le informazioni sulle progressioni; migliorare la capacità di trovare l'ennesimo termine e la somma dei primi n termini di determinate progressioni utilizzando formule; risolvere problemi che utilizzano entrambe le sequenze;

2) continuare la formazione di abilità pratiche;

3) sviluppare l'interesse cognitivo degli studenti, insegnare loro a vedere la connessione tra la matematica e la vita che li circonda.

Risolvere i problemi è un’arte pratica,

simile al nuoto o allo sci, o

suonare il pianoforte; Puoi solo imparare questo

imitando modelli selezionati e allenandosi costantemente.

I. Momento organizzativo. Spiegazione degli obiettivi della lezione. (Diapositiva 2)

II. Riscaldamento. Nel mondo delle cose interessanti. (Diapositiva 3-6)

La parola francese dessert si riferisce ai piatti dolci serviti alla fine del pasto. Anche i nomi di alcuni dolci, torte e gelati, sono di origine francese. Ad esempio, il gelato “plombier” prende il nome dalla città francese di Plombieres. Dove è stato preparato per la prima volta secondo una ricetta speciale.

Utilizzando la risposta che hai trovato e i dati della tabella, scopri come viene tradotta la parola francese “meringa” (una torta leggera a base di albumi sbattuti e zucchero)?

Trova la somma di undici termini di una progressione aritmetica, il cui primo termine è uguale a – 5 e il sesto è uguale a – 3,5.

La parola francese "meringa" significa bacio. La seconda delle parole proposte, “fulmine”, è una traduzione della parola francese “éclair” (una pasta choux con crema all'interno).

III. Progressione nella vita e nella quotidianità. (Diapositiva 7)

I problemi di progressione non sono formule astratte. Sono presi dalla nostra vita stessa, collegati ad essa e aiutano a risolvere alcuni problemi pratici.

Le aste verticali della travatura reticolare hanno la seguente lunghezza: la più piccola è 5 dm e ciascuna successiva è più lunga di 2 dm. Trova la lunghezza di sette di queste aste. (Diapositiva 8)

Risposta: 77 dm

In condizioni favorevoli, il batterio si moltiplica fino a dividersi in tre in 1 secondo. Quanti batteri ci saranno nella provetta dopo 5 secondi? (Diapositiva 9)

Il camion trasporta un carico di pietrisco del peso di 210 tonnellate, aumentando ogni giorno la velocità di trasporto della stessa quantità di tonnellate. È noto che il primo giorno sono state trasportate 2 tonnellate di pietrisco. Determina quante tonnellate di pietrisco sono state trasportate il nono giorno se tutto il lavoro è stato completato in 14 giorni. (Diapositiva 10)

Risposta: 18 tonnellate

Un corpo cade da una torre alta 6 m, nel primo secondo percorre 2 m, per ogni secondo successivo percorre 3 m in più del precedente. Quanti secondi impiegherà il corpo a raggiungere il suolo? (Diapositiva 11)

Risposta: 4 secondi

Una lumaca striscia da un albero all'altro. Ogni giorno gattona per la stessa distanza in più rispetto al giorno precedente. È noto che durante il primo e l'ultimo giorno la lumaca ha strisciato per un totale di 10 metri. Determina quanti giorni ha impiegato la lumaca nell'intero viaggio se la distanza tra gli alberi è 150

metri. (Diapositiva 12)

Risposta: 30 giorni

Un camion parte dal punto A alla velocità di 40 km/h. Allo stesso tempo, dal punto B è partita per incontrarlo una seconda macchina, che nella prima ora ha percorso 20 km, e ogni macchina successiva ha percorso 5 km in più della precedente. Quante ore dopo si incontreranno se la distanza da A a B è 125 km? (Diapositiva 13) Risposta: 2 ore

L'anfiteatro è composto da 10 file, ciascuna fila successiva ha 20 posti in più rispetto alla precedente e l'ultima fila ha 280 posti. Quante persone può ospitare l'anfiteatro? (Diapositiva 14)

Risposta: 1900

IV.Un po' di storia. (Diapositiva 15-16)

Problemi sulle progressioni geometriche e aritmetiche si trovano tra i babilonesi, nei papiri egiziani e nell’antico trattato cinese “La matematica in 9 libri”. Archimede fu apparentemente il primo a richiamare l'attenzione sulla connessione tra le progressioni. Nel 1544 fu pubblicato il libro “Aritmetica generale” del matematico tedesco M. Stiefel. Stiefel ha compilato la seguente tabella (Diapositiva 17):

Nella riga superiore c'è una progressione aritmetica con una differenza di 1. Nella riga inferiore c'è una progressione geometrica con un denominatore 2. Sono disposti in modo che lo zero della progressione aritmetica corrisponda all'unità della progressione geometrica. Questo è un fatto molto importante.

Ora immagina di non sapere come moltiplicare e dividere. È necessario moltiplicare, ad esempio, per 128. Nella tabella sopra è scritto -3, e sopra 128 è scritto 7. Aggiungiamo questi numeri. Si è scoperto 4. Sotto 4 leggiamo 16. Questo è il prodotto richiesto.

Un altro esempio.

Dividi 64 per. Facciamo lo stesso:

64 6 -1 6 – (-1) = 7

La riga inferiore della tabella Stiefel può essere riscritta come segue:

2-4; 2-3; 2-2; 2-1; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27.

Non è difficile capirlo:

2-3∙ 27 = 24, 26: 2-1 = 27

Possiamo dire che se gli esponenti formano una progressione aritmetica, allora i gradi stessi formano una progressione geometrica. (Diapositiva 18)

V. Numero incrociato. (Diapositiva 19-20)

Lavorare in gruppi.

Crossnumber è uno dei tipi di puzzle numerici. Tradotto da parola inglese"numero incrociato" significa "numero incrociato". Quando si compongono i cruciverba, si applica lo stesso principio di quando si compongono i cruciverba: un segno si inserisce in ogni cella, “lavorando” orizzontalmente e verticalmente.

Un numero si inserisce in ciascuna cella del numero incrociato (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). E per evitare confusione, i numeri delle attività sono indicati da lettere. I numeri da indovinare sono solo numeri interi positivi; la registrazione di tali numeri non può iniziare da zero (cioè 42 non può essere scritto come 042).

Alcune domande sui numeri incrociati possono sembrare vaghe e consentire risposte multiple (e talvolta moltissime). Ma questo è lo stile dei numeri incrociati. Se dessero sempre e solo risposte chiare, non sarebbe un gioco.

Orizzontalmente:

a) il numero dei numeri dispari della serie naturale, a partire da 13, la cui somma è 3213;

c) la somma dei primi cinque termini di una progressione geometrica, il cui quarto termine è uguale a 3, e il settimo è uguale a ;

e) la somma dei primi sei termini positivi di una progressione aritmetica

127; -119; …;

e) il terzo termine di una progressione geometrica (bn), in cui il primo termine è 5 e il denominatore g è 10;

g) la somma -13 + (-9) + (-5) + … + 63, se i suoi termini sono termini consecutivi di una progressione aritmetica.

Verticalmente:

A) la somma di tutti i numeri di due cifre che sono multipli di nove;

B) raddoppiare il ventunesimo termine di una progressione aritmetica, in cui il primo termine è pari a -5 e la differenza è pari a 3;

B) il sesto termine della successione, che è dato dalla formula dell'ennesimo termine

D) la differenza di una progressione aritmetica, se.

VI. Risoluzione di problemi non standard. (Diapositiva 21)

Data una progressione geometrica 3; b2; b3;…, il cui denominatore è un numero intero. Trova questa progressione se

b2=3q, b3=3q2, quindi. Risolviamo la disuguaglianza.

12q2 + 72q +35 =0

Quindi q=-5; -4; -3; -2; -1

Sequenze cercate: 3; -15; 75;...

Tre numeri formano una progressione aritmetica. Se aggiungi 8 al primo numero, ottieni una progressione geometrica con una somma di termini pari a 26. Trova questi numeri. (Diapositiva 23).

B, c sono i numeri richiesti. Facciamo un tavolo.

Per condizione, la somma di tre numeri che formano una progressione geometrica è uguale a 26, cioè , ×=6

Usiamo la proprietà dei termini di una progressione geometrica. Otteniamo l'equazione:

Risposta: -6; 6; 18 o 10; 6; 2

Un'equazione ha radici e un'equazione ha radici. Definire K E M, se i numeri sono termini consecutivi di una progressione geometrica crescente. (Diapositiva 24-25)

Poiché i numeri formano una progressione geometrica, abbiamo:

Per il teorema di Vieta

Otteniamo, poiché la sequenza è crescente.

Numeri necessari: 1; 2; 4; 8.

Risposta: k= 2, m= 32

VII. Compiti a casa.

Risolvere problemi.

Trova una progressione geometrica se la somma dei suoi primi tre termini è 7 e il loro prodotto è 8.

Dividi il numero 2912 in 6 parti in modo che il rapporto tra ciascuna parte e quella successiva sia uguale

Nella progressione aritmetica è e. Quanti termini di questa progressione devono essere presi affinché la loro somma sia 104?

Letteratura:

Algebra 9a elementare. Compiti per l'apprendimento e lo sviluppo degli studenti / comp. Belenkova E.Yu. "Intelletto - Centro". 2005.

Biblioteca della rivista "La Matematica a Scuola". Numero 23. La matematica nei puzzle, cruciverba, catene di parole, crittogrammi. Khudadatova S.S. Mosca. 2003.

Matematica. Supplemento al quotidiano “Primo Settembre”. 2000. N. 46.

Materiali didattici multilivello in algebra per il grado 9/comp. QUELLI. Bondarenko. Voronezh. 2001.

Diapositiva 1

Progressione aritmetica e geometrica
Progetto dello studente di grado 9b Dmitry Tesli

Diapositiva 2

Progressione
- una sequenza numerica, ciascun membro della quale, a partire dal secondo, è uguale al precedente, sommato al numero costante d di tale sequenza. Il numero d è chiamato differenza di progressione. - una sequenza numerica, ciascun membro della quale, a partire dal secondo, è uguale al precedente, moltiplicato per un numero costante q per tale sequenza. Il numero q è chiamato denominatore della progressione.

Diapositiva 3

Progressione
Aritmetica geometrica
Qualsiasi membro di una progressione aritmetica viene calcolato con la formula: an=a1+d(n–1) La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica viene calcolata come segue: Sn=0.5(a1+an)n Qualsiasi membro di una progressione geometrica si calcola con la formula: bn=b1qn- 1 La somma dei primi n termini della progressione geometrica si calcola come segue: Sn=b1(qn-1)/q-1

Diapositiva 4

Progressione aritmetica
Conosciuto storia interessante sul famoso matematico tedesco K. Gauss (1777-1855), che da bambino mostrò eccezionali capacità matematiche. L'insegnante ha chiesto agli studenti di sommare tutti i numeri naturali da 1 a 100. Il piccolo Gauss ha risolto questo problema in un minuto, rendendosi conto che le somme sono 1+100, 2+99, ecc. sono uguali, moltiplicò 101 per 50, cioè dal numero di tali importi. In altre parole, notò uno schema inerente alle progressioni aritmetiche.

Diapositiva 5

Progressione geometrica infinitamente decrescente
è una progressione geometrica per la quale |q|

Diapositiva 6

Progressioni aritmetiche e geometriche come giustificazione delle guerre
L'economista inglese Bishop Malthus ha utilizzato progressioni geometriche e aritmetiche per giustificare le guerre: i mezzi di consumo (cibo, vestiario) crescono secondo le leggi della progressione aritmetica e le persone si moltiplicano secondo le leggi della progressione geometrica. Per eliminare la popolazione in eccesso sono necessarie le guerre.

Diapositiva 7

Applicazione pratica della progressione geometrica
Probabilmente la prima situazione in cui le persone dovettero confrontarsi con la progressione geometrica fu il conteggio delle dimensioni di una mandria, effettuato più volte a intervalli regolari. Se non si verifica alcuna emergenza, il numero di neonati e di animali morti è proporzionale al numero di tutti gli animali. Ciò significa che se in un certo periodo di tempo il numero delle pecore di un pastore è aumentato da 10 a 20, nello stesso periodo successivo raddoppierà nuovamente e diventerà pari a 40.

Diapositiva 8

Ecologia e industria
La crescita del legno nelle foreste avviene secondo le leggi della progressione geometrica. Inoltre, ogni specie di albero ha il proprio coefficiente di crescita del volume annuo. Tenendo conto di questi cambiamenti è possibile pianificare il taglio di parte delle foreste e contemporaneamente il lavoro di ripristino delle foreste.

Diapositiva 9

Biologia
Un batterio si divide in tre in un secondo. Quanti batteri ci saranno nella provetta in cinque secondi? Il primo membro della progressione è un batterio. Usando la formula, troviamo che nel secondo secondo avremo 3 batteri, nel terzo - 9, nel quarto - 27, nel quinto - 32. Pertanto, possiamo calcolare il numero di batteri nella provetta in qualsiasi momento tempo.

Diapositiva 10

Economia
Nella pratica della vita, la progressione geometrica appare principalmente nel problema del calcolo dell’interesse composto. Deposito vincolato effettuato cassa di risparmio, aumenta ogni anno del 5%. Quale sarà il contributo dopo 5 anni, se all'inizio era pari a 1000 rubli? L'anno successivo al deposito avremo 1050 rubli, nel terzo anno - 1102,5, nel quarto - 1157,625, nel quinto - 1215,50625 rubli.