Дипломная работа: Изучение метода координат в курсе геометрии основной школы. Методические рекомендации на тему "метод координат" Схема решения геометрических задач с использованием координатного метода

Министерство Образования Российской Федерации

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школы №18»

РЕФЕРАТ

ПО ГЕОМЕТРИИ

ТЕМА: МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

Выполнил ученик 11 класса «C»

Мельник Роман

Руководитель

учитель математики Бакшеева И.К.

Бийск - 2008г

Содержание

Введение ……………………………………………………………..… 3.

Глава 1.

1. Метод координат: история развития………………………….............4

   Координаты точки в пространстве……………………………….…...5

   Задание фигур в пространстве………………………………….……...8

Глава 2.

1. Разложение вектора по координатным векторам. Координаты

вектора………………………………………………………………..……..10

1. Линейные операции над векторами в координатах…………..………12

   Условие коллинеарности двух векторов в координатах……………..13

   Простейшие задачи в координатах………………………………….....14

   Скалярное произведение векторов и вычисление угла между векторами через их координатами……………………………………….…………15

   Вычисление углов между прямыми и плоскостями…………………..16

4. Глава 3.

4.1. Применение координатного метода к решению стереометрических

задач………………………………………………………..…………….. 19

Заключение. ……………………………………………………………. .26

Список литературы……………………………………………………... 27

Введение

Тема моей работы «Метод координат в пространстве». Данная тема актуальна на сегодняшний момент для любого выпускника средней школы так как:

позволяет многие экзаменационные геометрические задачи решать аналитически, что требует меньшего объема знаний по геометрии и значительно сокращает время выполнения;

данный метод лежит в основе аналитической геометрии, которая изучается в курсе высшей математики.

• Цель работы: систематизировать знания по данной теме и рассмотреть применение данного метода при решении различных стереометрических задач.

  Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

• изучить теоретический материал по теме;

  систематизировать и обобщить изученный материал;

  выявить особенности применения метода;

  рассмотреть применение метода координат к решению стереометрических задач;

  сравнить применение метода координат с другими методами к решению стереометрических задач.

Применяемые методы :

метод анализа и синтеза,

метод сравнения.

Глава 1

1. Метод координат: история развития.

Метод координат – это способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Числа, с помощью которых определяется положение точки, называют координатами точки.

Хорошо известные нам географические координаты определяют положение точки на поверхности Земли – каждая точка на земной поверхности имеет две координаты: широту и долготу.

Чтобы определить положение точки в пространстве, нужны три числа. Например, чтобы определить положение спутника, можно указать высоту его над поверхностью Земли, а также широту и долготу точки, над которой он находится.

С помощью метода координат можно изложить почти весь курс школьной геометрии без единого чертежа, используя только числа и алгебраические операции. Например, окружность можно определить как совокупность точек, удовлетворяющих уравнению, а прямую линию как совокупность точек удовлетворяющих уравнению. Таким образом, с помощью данного метода удалось связать между собой, казалось бы, совершенно разные науки алгебру и геометрию. Данное установление связи было, по существу, революцией в математике. Оно восстановило математику как единую науку.

Создателем метода координат считают французского философа и математика Рене Декарта (1596-1650), который в последней части большого философского трактата Декарта, вышедшего в 1637 году, дал описание метода координат и его применение к решению геометрических задач.

Развитие идей Декарта привело к возникновению особой ветви математики, которую теперь называют аналитической геометрией.

Само это название выражает основную идею теории. Аналитическая геометрия – это та часть математики, которая решает геометрические задачи аналитически (т.е. алгебраическими) средствами.

Наряду с Декартом основоположником аналитической геометрии является замечательный французский математик П.Ферма. С помощью метода координат Ферма изучил прямые линии и кривые второго порядка. Изучение аналитической геометрии в пространстве трех измерений существенно продвинул в XVIII веке А.Клеро. Явно и последовательно аналитическую геометрию на плоскости и в трехмерном пространстве изложил Л.Эйлер в 1748 г. в учебнике «Введение в анализ бесконечных».

В XIX веке был сделан еще один шаг в развитии геометрии – изучены многомерные пространства. Основной идеей для творцов теории была аналогия с «Геометрией» Декарта. У него точка на плоскости - это пара чисел , точка в трехмерном пространстве – тройка чисел ; в новой теории точка четырехмерного пространства – это четверка чисел . У Декарта - уравнение окружности на плоскости, - уравнение поверхности шара в трехмерном пространстве; в новой теории поверхность сферы в четырехмерном пространстве. Аналогичным образом в n - мерной геометрии рассматриваются плоскости, прямые, расстояния между точками, углы между прямыми и т.д.

Идеи многомерной геометрии прочно вошли в математику в конце XIX века, а в самом начале XX века, они нашли применение в специальной теории относительности, где к трем пространственным координатам добавляется четвертая – время. Таким образом, идеи геометрии Декарта, развитые учеными последующих поколений, лежат в основе современной науки.

2. Координаты точки в пространстве .

Говорят, что задана прямоугольная (декартовая) система координат, если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление и выбрана единица измерения отрезков. Плоскости, проходящие соответственно через оси координат и , и , и , называются координатными плоскостями и обозначаются , ,.

Координатами точки в пространстве называются координаты проекций этой точки на координатные оси.

Координаты точек: , , , , , , .

В пространстве, кроме координатных осей, удобно рассматривать еще координатные плоскости, т.е. плоскости, проходящие через две какие-либо оси. Таких плоскостей три:

Плоскость (проходящая через оси и )- множество точек вида, где и - любые числа;

Плоскость (проходящая через оси и )- множество точек вида , где и - любые числа;

Плоскость (проходящая через оси и )- множество точек вида , где и - любые числа.

Для любой точки М пространства можно найти три числа , которые будут служить ее координатами.

Чтобы найти первое число , проведем через точку М плоскость, параллельную координатной плоскость (перпендикулярную к оси x ).Точка пересечения этой плоскости с осью (точка М 1 ) имеет на этой оси координату .Это число - координата точки М 1 на оси - называется абсциссой точки М.

Чтобы найти вторую координату, через точку М проводят плоскость параллельную плоскости (перпендикулярную к оси y ), находят на оси y точку М 2 . Число y – координата точки М 2 на оси y – называется ординатой точки М.

Третью координату точки М найдем, проведя аналогичные построения, но перпендикулярно оси z . Полученное число z назовем аппликатой точки М.

3. Задание фигур в пространстве.

Также как на плоскости, координаты в пространстве дают возможность задавать с помощью чисел и числовых соотношений не только точки, но и линии, поверхности и другие множества точек. Посмотрим, например, какое множество точек получится, если задать только две координаты, а третью считать произвольной.

(например, ), задают в пространстве прямую, параллельную оси .

Все точки такой прямой имеют одну и ту же абсциссу и одну ординату. Координата может принимать любые значения.

Рассмотрим еще несколько примеров, показывающих как можно задать в

пространстве различные множества с помощью уравнений и других соотношений между координатами.

1). Рассмотрим уравнение .

Поскольку расстояние точки от начала координат задается выражением , то ясно, что в переводе на геометрический язык соотношение означает, что точка с координатами , находится на расстоянии R от начала координат. Значит, множеством всех точек, для которых выполняется соотношение , является поверхность шара - сфера с центром в начале координат и радиусом R .

2). Рассмотрим, где расположены точки, координаты которых удовлетворяют соотношению .

Так как это соотношение означает, что расстояние точки от начала координат меньше единицы, то искомое множество - это множество точек, лежащих внутри шара с центром в начале координат и радиусом, равным единице.

Глава 2

1.Разложение вектора по координатным векторам. Координаты вектора.

Базисом пространства называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов , , , обозначаемая символом .

Частным случаем является прямоугольный ортонормированный базис , где - единичный вектор оси абсцисс, через - единичный вектор оси ординат и через -единичный вектор оси аппликат, т.е. , , , .

Этот базис и начало отсчета О определяют прямоугольную декартову систему координат в пространстве.

Теорема 1

Любой вектор пространства можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде -

причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Числа называются координатами вектора , т.е. . Так как нулевой вектор можно представить в виде , то все координаты нулевого вектора равны нулю, .

2. Линейные операции над векторами в координатах.

Правило 1.

Координаты равных векторов соответственно равны, т.е. если векторы и равны, то ,и .

Правило 2.

Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Другими словами, если и -данные векторы, то вектор имеет координаты .

Правило 3.

Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов .

Другими словами, если и -данные векторы, то вектор имеет координаты

Правило 4.

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующих координат вектора на это число.

Другими словами, если -данный вектор, -данное число, то вектор имеет координаты. .

Пример .

Найти координаты вектора , если , , .

Решение.

Вектор имеет координаты , а вектор - координаты .

Так как , то его координаты можно вычислить как: , , Значит вектор имеет координаты .

3.Связь между координатами векторов и координатами точек.

Определение.

Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало - с началом координат, называется радиус-вектором данной точки.

Радиус вектор

Правило 5.

Координаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиус - вектора. ,.

Правило 6.

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

4.Условие коллинеарности двух векторов в координатах.

Пусть в системе координат заданы два вектора своими координатами и .

Правило 7.

Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, .

Пример.

а) Рассмотрим векторы и .

Координаты вектора пропорциональны соответствующим координатам вектора : Поэтому , и, следовательно векторы коллинеарны.

б) Рассмотрим векторы и .

Координаты вектора не пропорциональны соответствующим координатам вектора , например Значит векторы не являются коллинеарными.

5.Простейшие задачи в координатах .

Задача 1.

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Где , и .

,, ,

б) Вычисление длины вектора по его координатам.

Рассмотрим вектор ,

длина вектора вычисляется по формуле .

Так как ==, ==, ==, и , то из равенства получаем формулу: .

в) Расстояние между двумя точками.

Рассмотрим две произвольные точки: точку и точку . Выразим расстояние d между точками и через их координаты.

Рассмотрим вектор , где .

Но . Таким образом, расстояние между точками и

вычисляется по формуле .

6.Скалярное произведение векторов и вычисление угла между векторами через их координаты.

1) Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

т.е. - острый.

Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами - тупой,

т.е. - тупой.

Для любых векторов , , , и любого числа k справедливы равенства:

1. 0, причем >0 при 0.

2. (переместительный закон).

3. (распределительный закон).

4. (сочетательный закон).

2) Вычисление угла между векторами через их координаты.

Косинус угла между ненулевыми векторами и вычисляется по формуле ,

где

7. Вычисление углов между прямыми и плоскостями.

1) Угол между прямыми .

Для решения данной задачи введем понятие направляющего вектора прямой.

Определение.

Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой a , если он лежит, либо на прямой a , либо на прямой, параллельной a .

Пример

Векторы и направляющие прямых a и b , соответственно.

Определение.

Углом между прямыми называется угол между направляющими векторами данных прямых.

Угол между прямыми a и b равен углу между направляющими векторами данных прямых, и .

2).Угол между прямой и плоскостью .

Определение.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между направляющим вектором данной прямой и ненулевым вектором перпендикулярным плоскости (нормаль).

Пусть , ( , а - искомый угол ().

Тогда

Значит .

Глава 3.

Применение координатного метода к решению стереометрических задач.

Задача.1

В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный треугольник АВС. , AC =3, BC =5. Ребро АМ перпендикулярно АС, АМ=4, . Найти объем пирамиды.

Решение.

1) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке . Ось направим вдоль ребра АС , а плоскость Ох y вдоль основания пирамиды АВС.

В этой системе координат: , , . Так как по условию , то точка М лежит в плоскости xz и имеет координаты .

2) , .

Найдем высоту пирамиды. Опустим из точки М перпендикуляр М D на плоскость (АВС), тогда , т.к. . Следовательно, и расстояние между точками М и D равно , т.к. .

Найдем значение координаты z используя расстояния между точками, содержащими данную координату: , . , т.е. .

Имеем:

Так как , то Значит высота пирамиды равна . Следовательно .

Ответ: .

Задача.2.

В прямоугольном параллелепипеде , , . Найти: угол между прямыми и .

Решение.

1).Введем систему координат с началом в точке . Оси , и направим вдоль ребер , и соответственно. Так как угол между прямыми изменяется от до , а угол между векторами от до , то угол между прямыми и равен углу между векторами и , если он острый, или смежному с ним, если угол между векторами тупой.

Таким образом,

2).Вычислим угол между векторами и .

Найдем координаты векторов, используя координаты точек и :

, ,, .

Тогда координаты векторов и .

===

Следовательно,

Ответ: .

Задача 3.

Дан прямоугольный параллелепипед . Найти угол между прямой и плоскостью основания .

Решение.

1) Угол между прямой и плоскостью АВ 1 С – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Угол между нормалью к плоскости и прямой дополняет его до 90 0 , поэтому .

Значит для того, чтобы найти угол между прямой и плоскостью (), следует найти угол между прямой и нормалью к плоскости () .

2) Введем систему координат с началом в точке . Оси , и направим вдоль ребер , и соответственно.

Координаты точек:

, , ,

а .

3) Найдем координаты нормали плоскости (). Напишем уравнение плоскости (), подставив координаты точек A , B 1 и С в уравнение плоскости .

Получим систему линейных уравнений:

Следовательно, уравнение плоскости () имеет вид , или , а вектор нормали имеет координаты .

Значит

И .

Ответ: .

Рассмотрим решение задачи двумя способами.

Задача 4. 1 способ: геометрический.

На ребрах , и. . Проведем прямую - средняя линия треугольника и, т.е. и,

Изученный теоретический материал был систематизирован.

При использовании метода к решению задач были выявлены особенности применения метода:

• умение правильного введения системы координат,

  правильное определения координат точек,

  знание аналитического аппарата метода.

• Было рассмотрено применение метода как к решению различных видов задач, так и в сравнении с другими методами.

При выполнении работы столкнулся с трудностями:

• • при постановке цели и задач;

    недостаточный объем теоретического материала в школьном учебнике;

    при выявлении особенностей применения метода,

    при отборе материала для презентации реферата.

Список литературы.

Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Л.С.Киселева, Э.Г.Позняк . Геометрия, 10-11.М.,Просвещение, 2003.

В.Н.Литвиненко . Практикум по элементарной математике. Стереометрия: Учебное пособие.-М.:Вербум-М, 2000.

И.М .Гельфанд, Е.Г.Глаголева, А.А.Кириллов. Метод координат.-М.:Наука, 1968.

С.Г.Григорьев. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие по высшей математике.-М.:Информационно-внедренческий центр «Маркетинг», 2000.

И.Иванова, З.Ильченкова. Применение координатного вектора к решению стереометрических задач.//Математика, 2007, №2.

А.В.Дорофеев. Декарт и его геометрия.//Математика, 1992, №4.

Метод координат

В тестах ЕГЭ задания части 1 (В 1 –В 14) и заданиях С 1 , С 2 являются стандартными с точки зрения школьной программы. Помимо заданий практико-ориентированного блока здесь предлагаются задачи на понимание основных фактов и идей школьного курса математики, а также задачи, где нужно решить уравнения, найти элементы пространственной фигуры, исследовать функцию и т.д. Для решения заданий С 2 необходим очень большой багаж знаний по геометрии, а также умение изображать пространственные фигуры на плоскости. Я остановлюсь только на одном виде решений задач С 2 . Это метод координат. Иногда он очень удобен для нахождения углов между плоскостями, между прямыми, между прямой и плоскостью и т.п. Для решения таких задач нам понадобятся уравнения плоскости и прямой.

1. а) Уравнение плоскости

где А (x 1 ; y 1 ; z 1), B (x 2 ; y 2 ; z 2), C (x 3 ; y 3 ; z 3) – точки данной плоскости.

б) Уравнение прямой

где M (x 1 ; y 1), N (x 2 ; y 2) – точки данной прямой.

Зная уравнения плоскостей, мы можем найти угол между ними по формуле

если α – угол между плоскостями

Зная уравнения прямых, мы можем найти угол между ними по формуле

если α – угол между прямыми с направляющими векторами) и).

Рассмотрим некоторые задания С 2 , где можно использовать метод координат.

Задача 1. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 5. На ребре DD 1 отмечена точка F так, что DF : FD 1 = 2:3. Найдите угол между плоскостями ADC и AFC 1 .

Введем прямоугольную систему координат. Вершины А (3; 0; 0); B (0; 0; 0); C (0; 3; 0) принадлежат плоскости (ABC ).

Можем составить уравнение этой плоскости.

Упростим и получим уравнение плоскости (ABC ):

Вершины А (3; 0; 0); F (3; 3; 2); C 1 (0; 3; 5) принадлежат плоскости (AFC 1). Можем составить уравнение этой плоскости.

упростим и получим уравнение.

Теперь найдем косинус угла между этими плоскостями

Часто ответы в этих задачах дают через тангенсы. Можно найти tgα по формуле; и.

Примечание: вычислить определитель третьего порядка можно по формуле

Можно эту формулу записать по-другому

Задача 2. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 сторона основания равна 2, высота равна 3. В треугольнике ABC проведена биссектриса AM . Найдите косинус угла между прямыми A 1 M и B 1 C .

Решение

Введем прямоугольную систему координат. Векторы и являются направляющими векторами прямых AC 1 и B 1 C . Найдем координаты этих векторов. Сначала находим координаты точек A 1 ; M ; B 1 ; C .

А 1 (0; 0; 3); B 1 (; 1; 3); С (0; 2; 0); M (; ; 0).

Теперь координаты направляющего вектора находим по следующему правилу: чтобы найти координаты вектора, надо из координат конца вычесть координаты начала . (; ; –3) и также (; 1; –3).

А теперь находим косинус угла между прямыми A 1 M и B 1 C по формуле

2. Рассмотрим формулу нахождения угла между прямой и плоскостью.

если α – угол между прямой и плоскостью

, (– направляющий вектор.

Задача 3. В прямоугольном параллелепипеде MNPQM 1 N 1 P 1 Q 1 ребра MN =15, MQ =MM 1 =8. Найдите угол между QP 1 и плоскостью QPN 1 .

Решение

Введем прямоугольную систему координат. Вектор направляющий для прямой QP 1 . Найдем его координаты.

Q (15; 8; 0); P 1 (0; 8; 8); (–15; 0; 8).

Теперь найдем уравнение плоскости (QPN 1).

Q (15; 8; 0); P (0; 8; 0); N (0; 0; 8).

Теперь найдем угол между и плоскостью

Задача 4. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 высота равна 4, AB =4. Найдите угол между прямой AC 1 и плоскостью ACD 1 .

Решения

А (; –2; 0); C 1 (0; 4; 4); (; –6; 4).

Составим уравнение плоскости (ACD 1). А (; –2; 0); C (0; 4; 0); D 1 (; 6; 4).

Теперь найдем угол между прямой AC 1 и плоскостью (ACD 1).

Международный Университет природы, общества и человека «Дубна»

Проект программы по курсу

Разработка уроков по теме:

«Расстояние от точки до прямой»

«Расстояние между параллельными прямыми»

Дмитров, 2013 год

1. Введение…………………………………………………………………………………......…3

2. Проект программы по курсу

«Метод координат и основы аналитической геометрии на плоскости» ……………………………………………………………………………….......4

3. Разработка уроков:

Урок-лекция «Расстояние от точки до прямой»…………………….…...8

Урок-лекция «Расстояние между параллельными прямыми»…..17

4. Заключение……………………………………………………………………………………..23

5. Список литературы…………………………………………………………………………23

6. Приложения…………………………………………………………………………………….24

1.ВВЕДЕНИЕ

Стратегия развития современного общества на основе знаний и высокоэффективных технологий объективно требует внесения значительных корректив в педагогическую теорию и практику, активизации поиска новых моделей образования.

Изучение геометрии на ступени основного общего образова­ния направлено на достижение следующих целей:

- овладение системой знаний и умений , необ­ходимых для применения в практической деятельности, изу­чения смежных дисциплин, продолжения образования;

- интеллектуальное развитие , формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современ­ном обществе, свойственных математической деятельности: ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, элементов алгоритмической культуры, пространственных представлений, способности к преодолению трудностей;

- формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства модели­рования явлений и процессов;

- воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии.

В данном проекте изучение основ аналитической геометрии начинается с 7 класса , что позволит учащимся подойти к решению стереометрических задач с использованием метода координат на более осознанном и качественном уровне.

2.ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Проект программы по курсу

«Метод координат и основы аналитической геометрии на плоскости»

для учащихся 7-8 классов основной школы

,

(Международный Университет природы, общества и человека «Дубна»)

и слушатели курсов ПК Международного университета «Дубна

1. Идея курса, цели и задачи –

Актуальность данной темы обусловлена тем, что используемые в основной школе содержание и методы преподавания математики в некоторой части не соответствуют современным потребностям подготовки специалистов в технических направлениях.

Цель : Приблизить содержание и методы преподавания математики в основной школе к современным потребностям технологического общества.

Задачи :

1. Проанализировать потребности современного технологического общества и сопоставить аппарат математики, используемый при решении прикладных задач с содержанием математики в основной школе.

2. Создание проекта программы по курсу «Метод координат и основы аналитической геометрии на плоскости»

3. Разработка уроков по теме «Расстояние от точки до прямой», «Расстояние между параллельными прямыми» р аздела «Взаимное расположение объектов на плоскости»

2. Место в программе общеобразовательной школы – 7-9 класс. Объем – 1 урок в неделю, параллельно с основным курсом традиционной геометрии, преподаваемой, например, по учебнику Атанасяна (с соавторами). Общий объём – 70 часов, что составляет 1/3 от общего объема курса по геометрии для 7-9 класса. Рекомендуемые сроки прохождения курса: начало – второе полугодие 7-го класса, окончание – 1-е полугодие 9-го класса. Однако в зависимости от конкретных условий освоения программы в каждой конкретной школе (учебные планы, рабочие программы, базовые учебники, наличие дополнительных часов в учебной сетке на геометрию) возможны другие сроки её освоения. Например, при наличии дополнительных часов срок освоения может быть сокращен за счет увеличения числа часов в неделю

3. Основные разделы и содержание.

3.РАЗРАБОТКА УРОКОВ

Урок-лекция: «Расстояние от точки до прямой»

Цели: ввести понятия расстояния от точки до прямой, показать, как они применяются при решении задач.

1. Объяснение нового материала

Определение.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой

Следует обратить внимание на то, что расстояние от точки до прямой – это наименьшее из расстояний от этой точки до точек заданной прямой. Покажем это.

Возьмем на прямой a точку Q , не совпадающую с точкой M1 . Отрезок M1Q называют наклонной , проведенной из точки M1 к прямой a . Нам нужно показать, что перпендикуляр, проведенный из точки M1 к прямой a , меньше любой наклонной, проведенной из точки M1 к прямой a . Это действительно так: треугольник M1QH1 прямоугольный с гипотенузой M1Q , а длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов, следовательно, font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.

font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">Если же при нахождении расстояния от точки до прямой есть возможность ввести прямоугольную систему координат, то можно воспользоваться методом координат. В этом уроке мы подробно остановимся на двух способах нахождения расстояния от точки M1 до прямой a , которые заданы в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости. В первом случае расстояние от точки M1 до прямой a мы будем искать как расстояние от точки M1 до точки H1 , где H1 – основание перпендикуляра, опущенного из точки M1 на прямую a . Во втором способе нахождения расстояния от точки M1 до прямой a будем использовать нормальное уравнение прямой a .

Итак, поставим перед собой следующую задачу: пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная система координат Oxy мы сможем вычислить, используя формулу для нахождения расстояния от точки M1 до точки H1 по их координатам: .

Осталось разобраться с нахождением координат точки H1 .

Мы знаем, что прямой линии в прямоугольной системе координат Oxy соответствует некоторо уравнение прямой на плоскости. Будем считать, что способ задания прямой a в условии задачи позволяет написать общее уравнение прямой a ил уравнение прямой с угловым коэффициентом. После этого мы можем составить уравнение прямой, проходящей через заданную точку М1, перпендикулярно прямой a . Обозначим эту прямую буквой b . Тогда точка H1 – это точка пересечения прямых a a и b , решая систему линейных уравнений font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana;color:#32322E">или ;

4) вычисляем требуемое расстояние от точки M1 до прямой a по формуле .

Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации: Учебный комплекс авторской физико-математической школы-лицея № 61.ПРОЕКТ«Метод координат в математике и географии»Выполнили: учащиеся 7 Б и 7 В классов УК АФМШЛ № 61 Евлашков Даниил Литтау Роман Хегай ВладимирРуководитель: Горборукова Н.В.г. Бишкек – 2012 г. Определение местоположения того или иногопредмета на поверхности Земли или какой-либо точки на плоскости – это определение их адреса. «Адрес» в географии – географическая широта; географическая долгота; абсолютная высота.«Адрес» в математике – абсцисса, ордината точки на координатной плоскости Цель проекта:Исследовать и сравнить способы определения «адреса» объекта в географии и математики. Задачи проекта:Ответить на следующие вопросы:Кто, когда и для чего впервые ввел понятие «координаты»?Существует ли генетическая связь между понятиями «географические координаты» и «координатный метод» в математике? Или это слова-омонимы?На развитие каких наук оказал влияние метод координат?Какие еще виды систем координат помимо прямоугольной существуют и используются человеком в настоящее время в практической деятельности? Историческая справка.Во II – III веках до н. э. меридианы и параллели впервые появились на карте Эратосфена. Однако, они еще не представляли собой координатной сетки. Карта Эратосфена Во II в. до н. э. Гиппарх впервые разделил круг на 360 частей и предложил опоясать на карте Земной шар меридианами и параллелями. Ввел понятие – экватор, провел параллели и через полюса провел меридианы. Таким образом, была создана картографическая сеть и стало возможным наносить на карту географические объекты. Карта Гиппарха Завершил плеяду великих античных астрономов и географов Клавдий Птолемей (190 – 168 г.г. до н. э.). В своем труде «Руководство по географии» в 8 книгах дал описание свыше 8000 географических объектов с указанием их географических координат: широты и долготы. 1. География: «geo» – Земля, «grafo» – пишу.2. Геометрия: «geo» – земля, «metreo» - измерять.Как видно, эти две науки были тесно связаны между собой, их возникновение обусловлено практической деятельностью людей того времени. Почему географические широта и долгота измеряются в градусах?Географическая широта – это величина дуги меридиана от экватора до заданной точки. Из курса геометрии известно, что дуги измеряются как в линейных величинах, так и в угловых: градусах и радианах.Географическая долгота – это величина дуги параллели от нулевого меридиана до заданной точки. Видно, что географические координаты – понятие математическое. Появление алгебры, как ветви математики.В IX веке узбекский математик и астроном Мухаммед аль-Хорезми пишет трактат «Китаб аль-джебр валь-мукабала» , где дал общие правила для решения уравнений 1 степени. Слово «аль-джебр» («восстановление») означало перенос отрицательных членов уравнений из одной его части в другую с изменением знака. От него новая наука получила свое название – алгебра. Долгое время алгебра и геометрия развивались параллельно и представляли собой две ветви математики. В XIV в. французский математик Никола Орезм предложил ввести, по аналогии с географическими, координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой. Это положило начало созданию метода координат и связало алгебру и геометрию. Метод координатАлгебраТочка плоскости задается парой чисел М (x;y) - алгебраический объектПрямая линия задается уравнением у=ах+вГеометрияТочка плоскости - геометрический объект Рене Декарт (1596-1650) – французский математик, философ, физик и физиолог.Декарт является одним из создателей аналитической геометрии, современной алгебраической символики, а метод задания кривой с помощью уравнения был решающим шагом к понятию функции.В математике именно ему принадлежит основная заслуга в создании метода координат, который был положен в основу аналитической геометрии. 1. Нужно отметить, что у Декарта еще не было того, что мы сегодня называем Декартовой системой координат. Декарт начал с того, что перевел на алгебраический язык задачи на построение циркулем и линейкой.2. Немалой заслугой Декарта было введение удобных обозначений, используемых сегодня: x, y, z – для неизвестных, a, b, с - для коэффициентов, а также обозначение степеней.3. В настоящее время декартовы координаты представляют собой ортогональные оси с одинаковым масштабом по всем направлениям, т.О является началом координат. Сравним системы координат в математике и географии.1. Для определения положения объекта на поверхности Земли необходимы 2 координаты: долгота и широта.2. Для определения положения точки на плоскости необходимы 2 координаты: абсцисса и ордината.3. Параллели и меридианы взаимно перпендикулярны.4. Оси OX и OY взаимно перпендикулярны.5. Для определения точки в пространстве требуется 3 – я координата:абсолютная высота (в географии); аппликата в математике.6. Экватор и нулевой меридиан делят поверхность земного шара на 4 части7. Координатные оси делят плоскость на 4 части, а пространство на 8 частей. Полярные и сферические координаты.Полярная система координат включает в себя т.О – полюс и луч – полярную ось. Каждой точке на плоскости соответствует пара чисел Р(r; ф), угол между направлением на объект и полярной осью и расстояние до объектаВ географии аналогом полярных координат является азимут. Для определения местоположения объекта требуется знать угол между направлением на предмет и направлением на север и расстояние до объекта. Сферической системой координат пользуются, если необходимо определить положение точки в пространстве.Этот метод используется в аэронавигации.С помощью радара определяют 3 координаты: кратчайшее расстояние по прямой до самолета; угол, под которым самолет виден над горизонтом;угол между направлением на самолет и направлением на север КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ КАРТАГеографияКартографияСистема координат1. Прямоугольные- географическая широта- географическая долгота- абсолютная высота2. Полярные- азимут- расстояние до объекта- абсолютная высотаМатематикаАлгебра ГеометрияМетод координат1. Прямоугольные- абсцисса- ордината- аппликата2. Полярные- угол поворота- расстояние от начала координат до точки Диаграмма Эйлера – Венна(для прямоугольных систем координат) Диаграмма Эйлера – Венна(для полярных систем координат). Выводы:1. Слова «геометрия» и «география» имеют древнегреческое происхождение и связаны с практической деятельностью людей на поверхности Земли.2. Географические широта и долгота измеряются в градусах, так как представляют собой дуги окружностей, стягивающих центральные углы, т. е. являются математическими величинами.3. И в математике, и в географии используются как прямоугольные, так и полярные координаты.4. В прямоугольных системах координат оси (экватор и нулевой меридиан, оси OX и OY) взаимно перпендикулярны и делят плоскость на 4 части: Северное, Южное, Западное и Восточное полушария в географии и I, II, III, IV квадранты. 5. Положение точки на плоскости задается 2 координатами: широтой и долготой в географии, абсциссой и ординатой в математике.6. При определении положения объекта в пространстве появляется третья координата: абсолютная высота в географии и аппликата в математике.7.Для задания полярных координат необходимы: точка отсчета, угол поворота, расстояние от полюса до заданной точки. Таким образом, понятия «координаты» в географии и математике не являются словами-омонимами. Между ними существует тесная генетическая связь. Возникнув в Древней Греции для решения практических задач того времени они трансформировались в математическое понятие, связавшее между собой алгебру и геометрию, создав новую ветвь математики. Благодаря координатному методу стало возможным решать задачи, которые не невозможно было решить методами алгебры и геометрии: описывать в виде формул кривые линии и поверхности, решать алгебраические выражения графическим путем. Метод координат используется в различных сферах деятельности человека, помогая нам определять «адреса» , интересующих нас объектов и описывать траектории их движения. Литература:1. «География. Справочные материалы». Под ред. Максаковского.-М., «Просвещение», 1989.2. Прочухаев В.Г. «Измерения в курсе математики средней школы».- М., «Просвещение», 19653. Маслов А.В. «Геодезия».- М., Недра, 19724. Знаменский М.А. «Измерительные работы на местности».- М., «Учпедгиз», 1986.5. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. Л.П. Савин, - М., «Педагогика», 1985.6. https://www.10489.jpg7. https://www.dekart2d.gif8. https.//www.image100.jpg9. https.//www.edumedia-sciences.com10. https.//www.k08-latlon.gif СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

Учебный комплекс авторской физико-математической школы-лицея № 61. ПРОЕКТ «Метод координат в математике и географии» Выполнили: учащиеся 7 Б и 7 В классов УК АФМШЛ № 61 Евлашков Даниил Литтау Роман Хегай Владимир Руководитель: Горборукова Н.В. г. Бишкек – 2012 г.

2 слайд

Описание слайда:

Определение местоположения того или иного предмета на поверхности Земли или какой-либо точки на плоскости – это определение их адреса. «Адрес» в географии – географическая широта; географическая долгота; абсолютная высота. «Адрес» в математике – абсцисса, ордината точки на координатной плоскости

3 слайд

Описание слайда:

Цель проекта: Исследовать и сравнить способы определения «адреса» объекта в географии и математики.

4 слайд

Описание слайда:

Задачи проекта: Ответить на следующие вопросы: Кто, когда и для чего впервые ввел понятие «координаты»? Существует ли генетическая связь между понятиями «географические координаты» и «координатный метод» в математике? Или это слова-омонимы? На развитие каких наук оказал влияние метод координат? Какие еще виды систем координат помимо прямоугольной существуют и используются человеком в настоящее время в практической деятельности?

5 слайд

Описание слайда:

Историческая справка. Во II – III веках до н. э. меридианы и параллели впервые появились на карте Эратосфена. Однако, они еще не представляли собой координатной сетки.

6 слайд

Описание слайда:

7 слайд

Описание слайда:

Во II в. до н. э. Гиппарх впервые разделил круг на 360 частей и предложил опоясать на карте Земной шар меридианами и параллелями. Ввел понятие – экватор, провел параллели и через полюса провел меридианы. Таким образом, была создана картографическая сеть и стало возможным наносить на карту географические объекты.

8 слайд

Описание слайда:

9 слайд

Описание слайда:

Завершил плеяду великих античных астрономов и географов Клавдий Птолемей (190 – 168 г.г. до н. э.). В своем труде «Руководство по географии» в 8 книгах дал описание свыше 8000 географических объектов с указанием их географических координат: широты и долготы.

10 слайд

Описание слайда:

1. География: «geo» – Земля, «grafo» – пишу. 2. Геометрия: «geo» – земля, «metreo» - измерять. Как видно, эти две науки были тесно связаны между собой, их возникновение обусловлено практической деятельностью людей того времени.

11 слайд

Описание слайда:

Почему географические широта и долгота измеряются в градусах? Географическая широта – это величина дуги меридиана от экватора до заданной точки. Из курса геометрии известно, что дуги измеряются как в линейных величинах, так и в угловых: градусах и радианах. Географическая долгота – это величина дуги параллели от нулевого меридиана до заданной точки. Видно, что географические координаты – понятие математическое.

12 слайд

Описание слайда:

Появление алгебры, как ветви математики. В IX веке узбекский математик и астроном Мухаммед аль-Хорезми пишет трактат «Китаб аль-джебр валь-мукабала» , где дал общие правила для решения уравнений 1 степени. Слово «аль-джебр» («восстановление») означало перенос отрицательных членов уравнений из одной его части в другую с изменением знака. От него новая наука получила свое название – алгебра. Долгое время алгебра и геометрия развивались параллельно и представляли собой две ветви математики.

13 слайд

Описание слайда:

В XIV в. французский математик Никола Орезм предложил ввести, по аналогии с географическими, координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой. Это положило начало созданию метода координат и связало алгебру и геометрию.

14 слайд

Описание слайда:

Метод координат Алгебра Точка плоскости задается парой чисел М (x;y) - алгебраический объект Прямая линия задается уравнением у=ах+в Геометрия Точка плоскости - геометрический объект

15 слайд

Описание слайда:

Рене Декарт (1596-1650) – французский математик, философ, физик и физиолог. Декарт является одним из создателей аналитической геометрии, современной алгебраической символики, а метод задания кривой с помощью уравнения был решающим шагом к понятию функции. В математике именно ему принадлежит основная заслуга в создании метода координат, который был положен в основу аналитической геометрии.

16 слайд

Описание слайда:

1. Нужно отметить, что у Декарта еще не было того, что мы сегодня называем Декартовой системой координат. Декарт начал с того, что перевел на алгебраический язык задачи на построение циркулем и линейкой. 2. Немалой заслугой Декарта было введение удобных обозначений, используемых сегодня: x, y, z – для неизвестных, a, b, с - для коэффициентов, а также обозначение степеней. 3. В настоящее время декартовы координаты представляют собой ортогональные оси с одинаковым масштабом по всем направлениям, т.О является началом координат.

17 слайд

Описание слайда:

Сравним системы координат в математике и географии. 1. Для определения положения объекта на поверхности Земли необходимы 2 координаты: долгота и широта. 2. Для определения положения точки на плоскости необходимы 2 координаты: абсцисса и ордината. 3. Параллели и меридианы взаимно перпендикулярны. 4. Оси OX и OY взаимно перпендикулярны. 5. Для определения точки в пространстве требуется 3 – я координата: абсолютная высота (в географии); аппликата в математике. 6. Экватор и нулевой меридиан делят поверхность земного шара на 4 части 7. Координатные оси делят плоскость на 4 части, а пространство на 8 частей.

18 слайд

Описание слайда:

Полярные и сферические координаты. Полярная система координат включает в себя т.О – полюс и луч – полярную ось. Каждой точке на плоскости соответствует пара чисел Р(r; ф), угол между направлением на объект и полярной осью и расстояние до объекта В географии аналогом полярных координат является азимут. Для определения местоположения объекта требуется знать угол между направлением на предмет и направлением на север и расстояние до объекта.

19 слайд

Описание слайда:

Сферической системой координат пользуются, если необходимо определить положение точки в пространстве. Этот метод используется в аэронавигации. С помощью радара определяют 3 координаты: кратчайшее расстояние по прямой до самолета; угол, под которым самолет виден над горизонтом; угол между направлением на самолет и направлением на север

20 слайд

Описание слайда:

КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ КАРТА География Картография Система координат 1. Прямоугольные - географическая широта - географическая долгота - абсолютная высота 2. Полярные - азимут - расстояние до объекта - абсолютная высота Математика Алгебра Геометрия Метод координат 1. Прямоугольные - абсцисса - ордината - аппликата 2. Полярные - угол поворота - расстояние от начала координат до точки

21 слайд