Prezentare pe tema aritmetică și progresie geometrică. Prezentare - progresii aritmetice si geometrice

Slide 22

1. Rezolvare: b2=3q, b3=3q2, q=-5; -4; -3; -2; -13; -15; 75 3; -12; 48;… 3; -9; 27;… 3; -6; 12;… 3; -3; 3;... Raspuns:

Slide 23

2. Trei numere formează o progresie aritmetică. Dacă adăugați 8 la primul număr, obțineți o progresie geometrică cu o sumă de termeni de 26. Aflați aceste numere. Soluție: Răspuns: -6; 6; 18 sau 10; 6; 2

Slide 24

3. O ecuație are rădăcini, iar o ecuație are rădăcini. Determinați k și m dacă numerele sunt termeni succesivi ai unei progresii geometrice crescătoare. indiciu Soluție: - progresie geometrică Răspuns: k=2, m=32

Slide 25

Teorema lui Vieta: suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse este egală cu al doilea coeficient luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber.

Slide 26

literatură

Vizualizați toate diapozitivele

Abstract

MBOU „Școala de cadeți Voronej”

scoala numita dupa A.V. Suvorov"

Semyaninova E. N.

Rezolvarea problemelor este o artă practică,

similar cu înotul sau schiul sau

imitând modele alese și antrenându-se constant.

Aflați suma a unsprezece termeni ai unei progresii aritmetice, al cărui prim termen este egal cu – 5, iar al șaselea este egal cu – 3,5.

Răspuns: 77dm

Răspuns: 18 tone

Răspuns: 4 secunde

Melc

metri. (Diapozitivul 12)

Răspuns: 30 de zile

Răspuns: 1900

Alt exemplu.

64 6 -1 6 – (-1) = 7

Nu este greu de dat seama:

2-3∙ 27 = 24, 26: 2-1 = 27

V. Număr încrucișat. (Diapozitivul 19-20)

Lucrați în grupuri.

Orizontal:

;

127; -119; …;

Vertical:

Având în vedere o progresie geometrică 3; b2; b3;…, al cărui numitor este un număr întreg. Găsiți această progresie dacă

12q2 + 72q +35 =0

Deci q=-5; -4; -3; -2; -1

Răspuns: -6; 6; 18 sau 10; 6; 2

kȘi m

Prin teorema lui Vieta

Numere necesare: 1; 2; 4; 8.

Răspuns: k= 2, m= 32

VII. Teme pentru acasă.

Rezolva probleme.

Literatură:

Algebră clasa a IX-a. Sarcini pentru învățarea și dezvoltarea elevilor / comp. Belenkova E.Yu. „Intelect – Centru”. 2005.

Biblioteca revistei „Matematica la școală”. Problema 23. Matematică în puzzle-uri, cuvinte încrucișate, cuvinte în lanț, criptograme. Khudadatova S.S. Moscova. 2003.

Matematică. Supliment la ziarul „Primul septembrie”. 2000. Nr. 46.

Multi-nivel materiale didactice la algebră pentru clasa a IX-a / comp. ACESTEA. Bondarenko. Voronej. 2001.

MBOU „Școala de cadeți Voronej”

scoala numita dupa A.V. Suvorov"

Semyaninova E. N.

Tema: Progresii aritmetice și geometrice.

1) rezumați informații despre progresii; îmbunătățirea abilităților de a găsi termenul al n-lea și suma primilor n termeni ai progresiilor date folosind formule; rezolvarea de probleme care folosesc ambele secvențe;

2) continua formarea deprinderilor practice;

3) să dezvolte interesul cognitiv al elevilor, să-i învețe să vadă legătura dintre matematică și viața din jurul lor.

Rezolvarea problemelor este o artă practică,

similar cu înotul sau schiul sau

cantand la pian; Nu poți învăța decât asta

imitând modele alese și antrenându-se constant.

I. Moment organizatoric. Explicarea obiectivelor lecției. (Diapozitivul 2)

II. Încălzire. În lumea lucrurilor interesante. (Diapozitivul 3-6)

Cuvântul francez pentru desert se referă la mâncăruri dulci servite la sfârșitul unei mese. Numele unor deserturi, prăjituri și înghețate, sunt și ele de origine franceză. De exemplu, înghețata „plombier” și-a primit numele de la orașul francez Plombieres. Unde a fost făcut prima dată după o rețetă specială.

Folosind răspunsul pe care l-ați găsit și datele din tabel, aflați cum este tradus cuvântul francez „bezea” (o prăjitură ușoară făcută din albușuri bătute spumă și zahăr)?

Aflați suma a unsprezece termeni ai unei progresii aritmetice, al cărui prim termen este egal cu – 5, iar al șaselea este egal cu – 3,5.

Cuvântul francez „bezea” înseamnă sărut. Al doilea dintre cuvintele propuse, „fulger”, este o traducere a cuvântului francez „éclair” (un aluat choux cu cremă înăuntru).

III. Progres în viață și viața de zi cu zi. (Diapozitivul 7)

Problemele de progres nu sunt formule abstracte. Sunt luate din viața noastră însăși, conectate cu ea și ajută la rezolvarea unor probleme practice.

Tijele verticale ale fermei au următoarea lungime: cea mai mică este de 5 dm, iar fiecare următoare este cu 2 dm mai lungă. Găsiți lungimea a șapte astfel de tije. (Diapozitivul 8)

Răspuns: 77dm

În condiții favorabile, bacteria se înmulțește astfel încât se împarte în trei în 1 secundă. Câte bacterii vor fi în eprubetă după 5 secunde? (Diapozitivul 9)

Camionul transportă o încărcătură de piatră spartă cu o greutate de 210 tone, crescând rata de transport cu același număr de tone în fiecare zi. Se știe că 2 tone de piatră zdrobită au fost transportate în prima zi. Determinați câte tone de piatră zdrobită au fost transportate în a noua zi dacă toată lucrarea a fost finalizată în 14 zile. (Diapozitivul 10)

Răspuns: 18 tone

Un corp cade dintr-un turn înalt de 6 m. În prima secundă parcurge 2 m, pentru fiecare secundă ulterioară parcurge cu 3 m mai mult decât precedentul. Câte secunde îi va lua corpului să ajungă la pământ? (Diapozitivul 11)

Răspuns: 4 secunde

Un melc se târăște dintr-un copac în altul. În fiecare zi, ea se târăște la aceeași distanță mai departe decât în ​​ziua precedentă. Se știe că în primele și ultimele zile melcul s-a târât în ​​total 10 metri. Determinați câte zile a petrecut melcul pe întreaga călătorie dacă distanța dintre copaci este de 150

metri. (Diapozitivul 12)

Răspuns: 30 de zile

Un camion părăsește punctul A cu o viteză de 40 km/h. Totodată, din punctul B a pornit în întâmpinarea lui o a doua mașină, care a parcurs 20 de km în prima oră, iar fiecare mașină ulterioară a parcurs cu 5 km mai mult decât precedentul. Câte ore mai târziu se vor întâlni dacă distanța de la A la B este de 125 km? (Diapozitivul 13) Răspuns: 2 ore

Amfiteatrul este format din 10 rânduri, fiecare rând următor având 20 de locuri mai multe decât cel anterior, iar ultimul rând având 280 de locuri. Câte persoane poate găzdui amfiteatrul? (Diapozitivul 14)

Răspuns: 1900

IV. Puțină istorie. (Diapozitivul 15-16)

Probleme privind progresiile geometrice și aritmetice se găsesc la babilonieni, în papirusurile egiptene și în vechiul tratat chinezesc „Matematica în 9 cărți”. Arhimede a fost aparent primul care a atras atenția asupra conexiunii dintre progresii. În 1544, a fost publicată cartea „Aritmetica generală” a matematicianului german M. Stiefel. Stiefel a compilat următorul tabel (Diapozitivul 17):

În linia de sus este o progresie aritmetică cu diferența de 1. În linia de jos există o progresie geometrică cu numitor 2. Sunt dispuse astfel încât zeroul progresiei aritmetice să corespundă unității progresiei geometrice. Acesta este un fapt foarte important.

Acum imaginați-vă că nu știm cum să înmulțim și să împărțim. Este necesar să se înmulțească, de exemplu, cu 128. În tabelul de mai sus se scrie -3, iar deasupra 128 se scrie 7. Să adunăm aceste numere. A ieșit 4. Sub 4 citim 16. Acesta este produsul necesar.

Alt exemplu.

Împărțiți 64 la. Facem la fel:

64 6 -1 6 – (-1) = 7

Linia de jos a tabelului Stiefel poate fi rescrisă după cum urmează:

2-4; 2-3; 2-2; 2-1; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27.

Nu este greu de dat seama:

2-3∙ 27 = 24, 26: 2-1 = 27

Putem spune că dacă exponenții formează o progresie aritmetică, atunci gradele în sine formează o progresie geometrică. (Diapozitivul 18)

V. Număr încrucișat. (Diapozitivul 19-20)

Lucrați în grupuri.

Crossnumber este unul dintre tipurile de puzzle-uri numerice. Tradus din cuvânt englezesc„număr încrucișat” înseamnă „număr încrucișat”. La alcătuirea numerelor încrucișate, se aplică același principiu ca și la alcătuirea cuvintelor încrucișate: un semn se potrivește în fiecare celulă, „lucrând” orizontal și vertical.

În fiecare celulă a numărului încrucișat se potrivește câte un număr (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Și pentru a evita confuzia, numerele sarcinilor sunt indicate prin litere. Numerele de ghicit sunt doar numere întregi pozitive; înregistrarea unor astfel de numere nu poate începe de la zero (adică 42 nu poate fi scris ca 042).

Unele întrebări cu numere încrucișate pot părea vagi și pot permite răspunsuri multiple (și uneori foarte multe). Dar acesta este stilul numerelor încrucișate. Dacă ar da întotdeauna doar răspunsuri clare, atunci n-ar fi un joc.

Orizontal:

a) numărul de numere impare din seria naturală, începând de la 13, a căror sumă este 3213;

c) suma primilor cinci termeni ai unei progresii geometrice, al patrulea termen este egal cu 3, iar al șaptelea este egal cu ;

e) suma primilor șase termeni pozitivi ai unei progresii aritmetice

127; -119; …;

e) al treilea termen al unei progresii geometrice (bn), în care primul termen este 5 și numitorul g este 10;

g) suma -13 + (-9) + (-5) + … + 63, dacă termenii săi sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Vertical:

A) suma tuturor numerelor de două cifre care sunt multipli ai nouă;

B) dublați termenul douăzeci și unu al unei progresii aritmetice, în care primul termen este egal cu -5 și diferența este egală cu 3;

B) al șaselea termen al șirului, care este dat de formula celui de-al n-lea termen

D) diferența unei progresii aritmetice, dacă.

VI. Rezolvarea problemelor non-standard. (Diapozitivul 21)

Având în vedere o progresie geometrică 3; b2; b3;…, al cărui numitor este un număr întreg. Găsiți această progresie dacă

b2=3q, b3=3q2, atunci. Să rezolvăm inegalitatea.

12q2 + 72q +35 =0

Deci q=-5; -4; -3; -2; -1

Secvențe căutate: 3; -15; 75;…

Trei numere formează o progresie aritmetică. Dacă adăugați 8 la primul număr, obțineți o progresie geometrică cu o sumă de termeni de 26. Aflați aceste numere. (Diapozitivul 23).

B, c sunt numerele necesare. Să facem o masă.

Prin condiție, suma a trei numere care formează o progresie geometrică este egală cu 26, adică. , в=6

Folosim proprietatea termenilor unei progresii geometrice. Obtinem ecuatia:

Răspuns: -6; 6; 18 sau 10; 6; 2

O ecuație are rădăcini, iar o ecuație are rădăcini. Defini kȘi m, dacă numerele sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice crescătoare. (Diapozitivul 24-25)

Deoarece numerele formează o progresie geometrică, avem:

Prin teorema lui Vieta

Obținem, deoarece secvența crește.

Numere necesare: 1; 2; 4; 8.

Răspuns: k= 2, m= 32

VII. Teme pentru acasă.

Rezolva probleme.

Găsiți o progresie geometrică dacă suma primilor trei termeni ai săi este 7 și produsul lor este 8.

Împărțiți numărul 2912 în 6 părți, astfel încât raportul fiecărei părți la următoarea să fie egal

În progresia aritmetică este și. Câți termeni ai acestei progresii trebuie luați pentru ca suma lor să fie 104?

Literatură:

Algebră clasa a IX-a. Sarcini pentru învățarea și dezvoltarea elevilor / comp. Belenkova E.Yu. „Intelect – Centru”. 2005.

Biblioteca revistei „Matematica la școală”. Problema 23. Matematică în puzzle-uri, cuvinte încrucișate, cuvinte în lanț, criptograme. Khudadatova S.S. Moscova. 2003.

Matematică. Supliment la ziarul „Primul septembrie”. 2000. Nr. 46.

Materiale didactice pe mai multe niveluri în algebră pentru clasa a 9-a/comp. ACESTEA. Bondarenko. Voronej. 2001.

Slide 1

Progresia aritmetică și geometrică
Proiectul elevului de clasa 9b Dmitry Tesli

Slide 2

Progresie
- o succesiune numerica, fiecare membru al carei, incepand cu al doilea, este egal cu cel precedent, adaugat la numarul constant d pentru aceasta secventa. Numărul d se numește diferență de progresie. - o succesiune numerica, fiecare membru al carei, incepand de la al doilea, este egal cu cel precedent, inmultit cu un numar constant q pentru aceasta secventa. Numărul q se numește numitorul progresiei.

Slide 3

Progresie
Aritmetică Geometrică
Orice membru al unei progresii aritmetice se calculează prin formula: an=a1+d(n–1) Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice se calculează după cum urmează: Sn=0,5(a1+an)n Orice membru al o progresie geometrică se calculează cu formula: bn=b1qn- 1 Suma primilor n termeni ai progresiei geometrice se calculează astfel: Sn=b1(qn-1)/q-1

Slide 4

Progresie aritmetică
Cunoscut interesanta poveste despre celebrul matematician german K. Gauss (1777 - 1855), care în copilărie a dat dovadă de abilități remarcabile pentru matematică. Profesorul le-a cerut elevilor să adune toate numerele naturale de la 1 la 100. Micul Gauss a rezolvat această problemă într-un minut, realizând că sumele sunt 1+100, 2+99 etc. sunt egale, el a înmulțit 101 cu 50, adică. după numărul acestor sume. Cu alte cuvinte, el a observat un model inerent progresiilor aritmetice.

Slide 5

Progresie geometrică în scădere infinită
este o progresie geometrică pentru care |q|

Slide 6

Progresiuni aritmetice și geometrice ca justificare pentru războaie
Economistul englez episcopul Malthus a folosit progresiile geometrice și aritmetice pentru a justifica războaiele: mijloacele de consum (hrană, îmbrăcăminte) cresc după legile progresiei aritmetice, iar oamenii se înmulțesc după legile progresiei geometrice. Pentru a scăpa de excesul de populație, sunt necesare războaie.

Slide 7

Aplicarea practică a progresiei geometrice
Probabil că prima situație în care oamenii au avut de-a face cu progresia geometrică a fost numărarea mărimii unui turmă, efectuată de mai multe ori la intervale regulate. Dacă nu apare nicio urgență, numărul de nou-născuți și de animale moarte este proporțional cu numărul tuturor animalelor. Aceasta înseamnă că, dacă într-o anumită perioadă de timp numărul de oi unui cioban a crescut de la 10 la 20, atunci în următoarea perioadă se va dubla din nou și va deveni egal cu 40.

Slide 8

Ecologie și industrie
Creșterea lemnului în păduri are loc conform legilor progresiei geometrice. Mai mult, fiecare specie de arbore are propriul coeficient de creștere anuală a volumului. Luarea în considerare a acestor modificări face posibilă planificarea tăierii unei părți a pădurilor și lucrările simultane de refacere a pădurilor.

Slide 9

Biologie
O bacterie se împarte în trei într-o secundă. Câte bacterii vor fi în eprubetă în cinci secunde? Primul membru al progresiei este o bacterie. Folosind formula, aflăm că în a doua secundă vom avea 3 bacterii, în a treia - 9, în a patra - 27, în a cincea - 32. Astfel, putem calcula numărul de bacterii din eprubetă la orice timp.

Slide 10

Economie
În practica de viață, progresia geometrică apare în primul rând în problema calculării dobânzii compuse. Depozit la termen plasat bancă de economii, crește anual cu 5%. Care va fi contribuția după 5 ani, dacă la început a fost egală cu 1000 de ruble? În anul următor după depozit vom avea 1050 de ruble, în al treilea an - 1102,5, în al patrulea - 1157,625, în al cincilea - 1215,50625 ruble.